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1[1].2.3空间中的垂直关系(2)



平面与平面垂直

直线⊥直线 <===>直线⊥平面

a与 平 面

a与b成90?角

线⊥线

a?m a?n ?内m ? n ?

? ? ? ?? a ? ? A? ?

?内 任 意 直线垂直

?

? ?
面⊥面

线⊥面

a ? ?? ? ?? a ? b b ? ??

一.两个平面垂直的定义

一.两个平面垂直的定义
如果两个相交平面 的交线与第三个平面垂 直,又这两个平面与第 三个平面相交所得的两 条交线互相垂直,就称 这两个平面互相垂直。
Aα D

β
C

B

E

平面?和?垂直,记作 ? ? ?.

二.两个平面垂直的判定定理
建筑工人砌墙时,常用一端系有铅锤的 线来检查所砌的墙面是否和地面垂直,如果 那么所砌的墙面与 系有铅锤的线和墙面紧贴, 地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗?

——它就是本节课的内容之一:平面与平面垂 直的判定定理。

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直。 已知:AB⊥β,AB α 求证:α⊥β.
α A

证明:设α∩β=CD,则B∈CD. ∵AB⊥β,CD β,∴AB⊥CD. ∪
D B E



C
β

在平面β内过B点作直线BE⊥CD, 则CD ⊥ 平面ABE ∪

∵AB⊥β,BE β,

∴AB⊥

∴α⊥β.

平面与平面垂直的判定定理:

如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面相互垂直。

线线垂直

线面垂直

面面垂直

例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1) 求证:平面A1C⊥平面B1D (2) 若E、F分别是AB、BC的中点,
D C F E B G G G

求证: 平面A1C1FE⊥平面B1D (3) 若G是BB1的中点
A

求证:平面A1C1G⊥平面B1D
D1 A1

G
C1 B1

如果两个平面垂直,能否得出直线 与平面垂直呢? 若α⊥β,α∩β=CD Aα
直线AB在平面α内 且AB⊥CD于点B, 则AB⊥β吗? D E

β

B

C 证明:在平面β内过点B作直线CD的垂线BE ∵α⊥β ∴AB⊥BE 又∵AB⊥CD 且CD∩BE=B ∴AB⊥β

三.两个平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直,那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线垂 直于另一个平面. 面面垂直
线面垂直 线线垂直

例2 已知平面α ⊥平面β ,在α 与β 的交线上 取线段AB=4cm,AC、BD分别在平面α 和平 面β 内,且都垂直于AB ,并且AC=3cm, BD=12cm,求CD长 ? 解: 连结BC. ∵DB⊥AB, DB在β内 ∴DB⊥β, DB⊥BC
α
A C B D

∴CD2=DB2+BC2 =DB2+(AC2+AB2)=169 即CD= 13 cm.

β

例2 已知:Rt△ABC中,AB=AC=a,AD是斜 边BC上的高,以AD为折痕使∠BDC成直角。 求证:① 平面ABD⊥平面BDC,平面ACD⊥平面BDC 。 A ② ∠ BAC = 60 证明: ① 在图乙中 ∵AD⊥BD,AD⊥DC, ∴AD⊥平面BDC, 又∵AD 平面ABD, AD 平面ACD, ∴平面ABD⊥平面BDC, 平面ACD⊥平面BDC.
B D C

A



D
B

C 乙

例3 已知:Rt△ABC中,AB=AC=a,AD是斜 边BC上的高,以AD为折痕使∠BDC成直角。 求证:① 平面ABD⊥平面BDC,平面ACD⊥平面BDC 。 A ② ∠ BAC = 60 证明: ② 在图甲中 。 ∵AB=AC=a,∠BAC=90 1 2 ∴BD=DC= BC= a 2 2 在图乙中 ∵△BDC是等腰直角三角形
2 ∴ BC= 2 BD= 2× a=a , 2 。 B

B

D

C

A



D

C 乙

∴ AB=AC=BC ∴ ∠BAC=60

本节课涉及两个 垂直平面结论:
a ??? ??? ? ? a ? ??
直线⊥直线 直线⊥平面
?? ? ? , ? ? ? ? b ? a ? ? ?? ? a?? ? a?b ?

平面∥平面

? ??? ??? ? ? ? // ? ?

平面⊥平面

?与?成
90?角

直线a与直线b 成90?角

直线a与平面

?成90?角

课堂练习:
一、判断: 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面 β内的一条直线,则α⊥β.( ) ×

2. 如果平面 α 内有一条直线垂直于平面 β内的两条直线,则α⊥β.( × )
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β √ 内的两条相交直线, 则α⊥β.( ) 4.若m⊥α,m β,则α⊥β.(


√ )

二、填空题:
无数 1.过平面α的一条垂线可作_____ 个平面与平面 α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____

一 个平面与平 3.过平面α的一条斜线,可作____ 面α垂直.
一 个平面与α 4.过平面α的一条平行线可作____ 垂直.

3、如右图:A是ΔBCD所在平面外一点, AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的 中点,求证:平面AEC⊥平面ABD
A

B

C

E
D

4、已知:ABCD为正方形,SD⊥平面AC,

问:图中所示的7个平面中,共有多少对互相 垂直的平面?
1.平面SAD⊥平面 ABCD 2.平面SBD⊥平面 ABCD 3.平面SCD⊥平面 ABCD 4.平面SAD⊥平面 SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
S

D O
B

C

A

归纳小结:
(1)判定面面垂直的两种方法: ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面

互相垂直的依据,而且是找出垂直于一个平
面的另一个平面的依据; (3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来 解决.



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