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圆锥曲线之双曲线学生



圆锥曲线之双曲线

【例 1】已知圆 C :(x+3) +y =1 和圆 C :(x-3) +y =9,动圆 M
2 2 2 2 1 2

同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为________.

【变式】已知 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上

的动点,则
|PF|+|PA|的最小值为____________.

x2

y2

总结:双曲线定义的应用主要有两个方面:
一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程; 二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||= 2a,运用平方的方法,建立与|PF1|、|PF2|的联系.

【例 2】已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|, 则 cos ∠F1PF2=( ) 1 3 3 4 A. B. C. D. 4 5 4 5
2 2

x2 y2 【变式 1】过双曲线 C:a2-b2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方
程为( ) A. - =1 4 12

x

2

y

2

B. - =1 7 9

x2 y 2

C. - =1 D. - =1 8 8 12 4

x2 y2

x2

y2

【变式 2】(2016?沈阳四校联考)设双曲线与椭圆27+36=1 有共同的焦点,且与椭圆

x2

y2

相交,一个交点的坐标为( 15,4),则此双曲线的标准方程是________.

总结:求双曲线标准方程的一般方法:
(1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数 a、b、c 的 方程并求出 a、 b、c 的值与双曲线 2- 2=1 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 2- 2=

x2 y2 a b

x2 y2 a b

λ(λ≠0).
(2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出 a 的值,由定点位置确定 c 的 值.

【变式 2】已知双曲线a -b =1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近
2 2

x2 y2

线与圆(x-2) +y =3 相切,则双曲线的方程为( ) A. - =1 9 13

2

2

x

2

y

2

B. - =1 13 9

x2

y2

C. -y =1 D.x - =1 3 3

x2

2

2

y2

【例 3】(2015?山东卷)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :a -b =1(a>0,b>0)的渐
1 2 2

x2 y2

近线与抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心 率为________.

2

总结
(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率, 在双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)中, 离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k=± 满足关系式 e =1+k . (2)求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a,b,c 的方程或不等式,利用 b =c -a 和 e= 转化为关于 e 的方程或不等式,通过解方程或不 等式求得离心率的值或取值范围.
2 2 2

x2 y2 a b

b a

2

2

c a

【变式 3】

(2015? 全国Ⅱ卷)已知 A, B 为双曲线 E 的左, 右顶点, 点 M 在 E 上, △ABM 为等腰三角形, 且顶角为 120°, 则 E 的离心率为( )

A. 5

B.2

C. 3

D. 2

x2 y2 【变式 4】 设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点 是 F,左、右顶点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲 线交于 B,C 两点,若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率
为( 1 A.± 2 ) B.± 2 2 C.±1 D.± 2.

总结
1.与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为 2- 2=t (t≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“ 1”为 “0”就得到两渐近线方程,即方程 2- 2=0 就是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两条渐近 线方程. 3.研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于 x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直 线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式Δ来判定.

x2 y2 a b

x2 y 2 a b

x2 y2 a b

x2 y2 a b

易错
1.双曲线方程中 c =a +b ,说明双曲线方程中 c 最大,解决双曲线问题时不要忽视了这 个结论,不要与椭圆中的知识相混淆. 2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是 (1,+∞)这个 前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
2 2 2

x2 y2 a b a 方程是 y=± x. b

3.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线

b a

y2 x2 a b

沙场点兵

x2 y2 a b sin∠PF1F2 a 0),F2(c,0),若双曲线存在一点 P 使 = ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin∠PF2F1 c
________.

1.(2016?湖北七市(州)联考)已知双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,

2.已知双曲线



=1(b>0) ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲 )

线的两条渐近线相交于 A, B, C, D 四点, 四边形 ABCD 的面积为 2b, 则双曲线的方程为 ( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

3 已知椭圆 C1:

+y =1(m>1)与双曲线 C2:

2

﹣y =1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别

2

为 C1,C2 的离心率,则( ) A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1

C.m<n 且 e1e2>1

D.m<n 且 e1e2<1

4(2016? 北京)双曲线



=1(a>0,b>0)的渐近线为

正方形 OABC 的边 OA, OC 所在的直线, 点 B 为该双曲线的焦点. 若 正方形 OABC 的边长为 2,则 a= .

5(2016? 重庆)已知 F1,F2 是双曲线 E:



=1

的左、 右焦点, 点 M 在 E 上, MF1 与 x 轴垂直, sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( A. B. C. ) D.2

6 已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0) ,若矩形 ABCD

的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 .

7 (2016? 天津)已知双曲线



=1(b>0) ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半

径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双 曲线的方程为( ) A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1



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