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江苏省常州市高级中学2016届高三上学期阶段调研(二)数学(文)试卷



江苏省常州高级中学 2015-2016 学年第一学期高三年级阶段调研(二)

数 学 试 卷
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题 的相应答题线上)

1.函数 y=

1 的定义域是 x ?1





2.设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? (1 ? i ) ,则复数 z 的模 z = 3.“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 和直线 3 x ? (a ? 1) y ? 7 ? 0 平行”的 ▲ 条件;(选“充分不必要” “必要不充分” “充 要” “既不充分也不必要”填空) 4.若样本数据 x1 , x2 , ??? , x10 的标准差为 8 ,则数据 2 x1 ? 1 ,





2 x2 ? 1 , ??? , 2 x10 ? 1 的标准差为





5. 阅读右面的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 i 的值为





6.已知等差数列 {an } 的公差为 2 ,若 a1 , a2 , a4 成等比数列,那 么 a1 等于 ▲ ;

7.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随 机摸出 2 只球,则这 2 只球中有黄球的概率为 ▲ ;

8.圆锥的侧面展开图是圆心角为 3π,面积为 2 3π 的扇形,则圆锥的体积是 ▲ ; ▲ ;

9.已知 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 cos(2 x ? ? ) (?? ? ? ? ? ) ,则 ? =

10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 a 2 b2

?

?

,且双曲线的一个

焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为_______ ▲_______; 11.已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上,

??? ? ??? ? BC ? 3BE , DC ? ? DF ,若 AE ? AF ? 1 ,则 ? 的值为
12.如果函数 f ? x ? ?





1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 上单调递 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ?
▲ ;

减,则 mn 的最大值为

?1 ? x ? 1, x ? 1 13.已知函数 f ( x) ? ? 4 ,则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的 ? ?ln x, x ? 1
取值范围是 ▲ ;

14.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 ,点 M(1,0)圆内定点,过 M 作两条互相垂直的直线与圆 O 交于 AB、CD,则弦长 AC 长的取值范围 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A ? (1)求 sin( B ? ▲ ;

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 , 4

?
4

) 的值;

(2)若点 D 在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 的长。

16.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,DC∥AB,DC=2,AB=4,BC=2 3 ,∠CBA= 30°. (1)求证:AC⊥PB;

(2)若 PC=2,点 M 是棱 PB 上的点,且 CM∥平面 PAD,求 BM 的长。 P

M C AD

B 17.(本小题满分 14 分) 某油库的设计容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起计划每月购进石油 m 万 吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油 1 万吨,区域外前 x 个月的需求
* 量 y (万吨)与 x 的函数关系为 y ? 2 px ( p ? 0,1 ? x ? 16, x ? N ) ,并且前 4 个月,区

域外的需求量为 20 万吨. (1)试写出第 x 个月石油调出后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系式; (2) 要使 16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且 每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定 m 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,左、右焦点 2 a b 2 分别是 F1 , F2 ,以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在 椭圆 C 上.
平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 上一动点 P ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 线记为 l1 ,右准线记为 l2 ; ①设直线 l 与直线 l1 相交于点 M,直线 l 与直线 l2 相交于点 N,证明 此定值。 ②若连接 F1 P 并延长与直线 l2 相交于点 Q,椭圆 C 的右顶点 A,设直线 PA 的斜率为 k1 , 直线 QA 的斜率为 k2 ,求 k1 ? k2 的取值范围.

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ,过 F2 与 x 轴垂直的直 a2 b

MF2 恒为定值,并求 NF2

19.(本小题满分 16 分) 设数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 0 , a1 ? 1 , a 2 ? 3 ,且当 n ? 2 时,

a n a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ) S n .
(1)求证:数列 ?S n ?是等比数列,并求数列 ?a n ?的通项公式;

(2)令 bn ?

9a n ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .设 ? 是整数,问是否存在 (a n ? 3)(a n ?1 ? 3)
3? 7 ? 成立?若存在,求出 n 和相应的 ? 值;若不存在,说明 5a n ?1 8

正整数 n ,使等式 Tn ? 理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知 a 为实常数,函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 有两个不同的零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ; ①求实数 a 的取值范围; ②求证: x1 ? x2 ? 2 .

江苏省常州高级中学 2015-2016 学年第一学期高三年级阶段调研

数学试卷答案
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题 的相应答题线上) 1.函数 y=

1 的定义域是 x ?1



; (-1,+∞) ▲ ;

2.设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? (1 ? i ) ,则复数 z 的模 z = 1 3.“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 和直线 3 x ? (a ? 1) y ? 7 ? 0 平行”的 ▲ 条件;(选“充分不必要” “必要不充分” “充 要” “既不充分也不必要”填空) 充分不必要 4.若样本数据 x1 , x2 , ??? , x10 的标准差为 8 ,则数据 2 x1 ? 1 ,

2 x2 ? 1 , ??? , 2 x10 ? 1 的标准差为



;16

5. 阅读右面的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 i 的值为 ▲ ; 4 6.已知等差数列 {an } 的公差为 2 ,若 a1 , a2 , a4 成等比数列,那么

a1 等于





2

7.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红 球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球中有黄球的 概率为 ▲ ;

5 6

8.圆锥的侧面展开图是圆心角为 3π,面积为 2 3π 的扇形,则圆锥的体积是 ▲ ;? ▲ ; ?

9.已知 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 cos(2 x ? ? ) (?? ? ? ? ? ) ,则 ? =

5 6

10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 a 2 b2

?

?

,且双曲线的一个

x2 y 2 ? ?1 焦点在抛物线 y ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为______________; 4 3
2

11.已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上,

??? ? ??? ? BC ? 3BE , DC ? ? DF ,若 AE ? AF ? 1 ,则 ? 的值为



;2

12.如果函数 f ? x ? ?

1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 上单调递 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ?
▲ ; 18

减,则 mn 的最大值为

?1 ? x ? 1, x ? 1 13.已知函数 f ( x) ? ? 4 ,则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的 ? ?ln x, x ? 1
取值范围是 ▲ ;? , ?

?1 1 ? ?4 e ?
; ? 7 ? 1, 7 ? 1?

14.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 ,点 M(1,0)圆内定点,过 M 作两条互相垂直的直线与圆 O 交于 AB、CD,求弦长 AC 长的取值范围 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A ? (1)求 sin( B ? ▲

?

?

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 , 4

?
4

) 的值;

(2)若点 D 在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 的长。

解:如图, 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ?BAC ? (3 2) 2 ? 62 ? 2 ? 3 2 ? 6 ? cos
所以 a ? 3 10 . 又由正弦定理得 sin B ?

3? ? 18 ? 36 ? (?36) ? 90 , 4
4分

b sin ?BAC 3 10 . ? ? a 10 3 10

6分

由题设知 0 ? B ?

?
4

2 ,所以 cos B ? 1 ? sin B ? 1 ?

1 3 10 ? . 10 10
10 分

8分

? 2 5 sin( B ? ) ? 4 5

在 ?ABD 中,由正弦定理得 AD ? 16.(本小题满分 14 分)

AB ? sin B 6sin B 3 ? ? ? 10 . sin(? ? 2 B) 2sin B cos B cos B

14 分

在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,DC∥AB,DC=2,AB=4,BC=2 3 ,∠CBA= 30°. (1)求证:AC⊥PB; (2)若 PC=2,点 M 是棱 PB 上的点,且 CM∥平面 PAD,求 BM 的长。

16.(1)∵PC⊥平面 ABCD,∴PC⊥AC, 又∠CBA=30°,BC=2 3 ,AB=4, ∴AC= AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?CBA

P

M D C

3 = 16 ? 12 ? 2 ? 4 ? 2 3 ? ? 2, 2
∴AC2+BC2=4+12=16=AB2,∴∠ACB=90°, 故 AC⊥BC.又∵PC、BC 是平面 PBC 内的两条相交直 线, 故 AC⊥平面 PBC,∴AC⊥PB. (2) BM=2 17. (本小题满分 14 分) …………7 分 ………………14 分 A

B

某油库的设计容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起计划每月购进石油 m 万 吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油 1 万吨,区域外前 x 个月的需求
* 量 y (万吨)与 x 的函数关系为 y ? 2 px ( p ? 0,1 ? x ? 16, x ? N ) ,并且前 4 个月,区

域外的需求量为 20 万吨. (1)试写出第 x 个月石油调出后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系式; (2) 要使 16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且 每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定 m 的取值范围. 解:(1) M ? mx ? x ? 10 x ? 10(1 ? x ? 16, x ? N * ) ………………………4 分

(2)根据题意 0 ? M ? 30 ,

所以 ?

? ? mx ? x ? 10 x ? 10 ? 0 ? ?mx ? x ? 10 x ? 10 ? 30

(1 ? x ? 16, x ? N * ) 恒成立

………………………6 分



10 10 ? m?? ? ?1 ? x x ? (1 ? x ? 16, x ? N * ) 恒成立 ? ? m ? 20 ? 10 ? 1 ? x x ?

…………………8 分

…14 分(2+2+2)

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 1 平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,左、右焦点 a b 2 分别是 F1 , F2 ,以 F1 错误!未找到引用源。为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 错误!未找到 引用源。为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 上一动点 P ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 线记为 l1 ,右准线记为 l2 ; ①设直线 l 与直线 l1 相交于点 M,直线 l 与直线 l2 相交于点 N,证明 此定值。

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ,过 F2 与 x 轴垂直的直 a2 b

MF2 恒为定值,并求 NF2

②若连接 F1 P 并延长与直线 l2 相交于点 Q,椭圆 C 的右顶点 A,设直线 PA 的斜率为 k1 , 直线 QA 的斜率为 k2 ,求 k1 ? k2 的取值范围.

(1)由题意知 2a ? 4 ,则 a ? 2 ,又

c 1 2 2 ? , a ? c ? b 2 可得 c ? 1 , a 2
………………4 分

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)①M ?1,

? 3( x0 ? 4) ? ? 4 y0 ? ?
3 x0 ? 4 4 y0

N ? 4,

? ?

3 x0 ? 3 ? ? y0 ?
x0 ? 4 x0 ? 4

………………6 分

MF2 ? ? 2 NF2 4 ? 3 x0 ? 3 ? ? ? ?9 ? y0 ?

? x0 ? 1?

2

? y0 2

?

2 x0 ? 8 x0 ? 16
2

?

1 2

………9 分

②点 P( x0 , y0 ) ( ?1 ? x0 ? 2 ),点 Q (4, ∵ k1 ?
y0 5 y0 , k2 ? , x0 ? 2 2( x0 ? 1)

5 y0 ), x0 ? 1

………………10 分

∴ k1 ? k2 =

5 y0 2 y0 5 y0 = . ? x0 ? 2 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1)( x0 ? 2)

……………………12 分

∵点 P 在椭圆 C 上, ∴ k1 ? k2 = ?



x0 2 y0 2 ? ?1, 4 3

15 x0 ? 2 15 1 = ? ? (1 ? ? ) .……………14 分 8 x0 ? 1 8 x0 ? 1

∵ ?1 ? x0 ? 2 , ∴ k1 ? k2 ? ?

5 . 2
5 2

∴ k1 ? k2 的取值范围是 (??, ? ) .

……………………………16 分

19. (本小题满分 16 分) 设数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 0 , a1 ? 1 , a 2 ? 3 ,且当 n ? 2 时,

a n a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ) S n .
(1)求证:数列 ?S n ?是等比数列,并求数列 ?a n ?的通项公式; (2)令 bn ?

9a n ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .设 ? 是整数,问是否存在 (a n ? 3)(a n ?1 ? 3)
3? 7 ? 成立?若存在,求出 n 和相应的 ? 值;若不存在,说明 5a n ?1 8

正整数 n ,使等式 Tn ? 理由.

19.解:(1)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 , a n ?1 ? S n ?1 ? S n , 代入 a n a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ) S n 并化简得 S n2 ? S n ?1 S n ?1 (n ? 2) , ………………………4 分

而 S n 恒为正值,∴

S n ?1 S S S ? n ? n ?1 ? ?? ? 2 ? 4 Sn S n ?1 S n ? 2 S1
………………………5 分

∴数列 ?S n ?是等比数列. ∴ S n ? 4 n ?1 .当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 3 ? 4 n ? 2 ,

又 a1 ? S1 ? 1 ,∴ a n ? ?

n ?1 ? 1, n?2 ?3 ? 4 , n ? 2

………………………7 分

(2)当 n ? 2 时, a n ? 3 ? 4 n ? 2 ,此时 bn ?

9a n 9 ? 3 ? 4 n?2 ? (a n ? 3)(a n ?1 ? 3) (3 ? 4 n ? 2 ? 3)(3 ? 4 n ?1 ? 3)

?

1 4
n?2

?1

?

1 4
n ?1

?1

,又 b1 ?

9a1 3 ? (a1 ? 3)(a 2 ? 3) 8

3 ? , n ?1 ? 8 ∴ bn ? ? . 1 1 ? n?2 ? n ?1 , n?2 ?4 ?1 4 ?1

…………………………………9 分

故 T1 ? b1 ?

3 , 8

…………………………………10 分

当 n ? 2 时, Tn ?

3 1 1 1 1 ? ( 2? 2 ? 2?1 ) ? ( 3? 2 ? 3?1 ) ? 8 4 ?1 4 ?1 4 ?1 4 ?1
1 4
n ?3

?? (
若 n ? 1, 则等式 Tn ?

?1

?

1 4
n?2

?1

)?(

1 4
n?2

?1

?

1 4
n ?1

?1

)?

7 1 ,……12 分 ? n ?1 8 4 ?1

5 3? 7 3 ? 7 ? 为 ? ? , ? ? 不是整数,不符合题意;……………14 分 2 5a n ?1 8 8 5 8

若 n ? 2 ,则等式 Tn ? ∵ ? 是整数,

5 ? 4 n ?1 5 1 ? 7 3? 7 7 ? ? ? 5 ? n ?1 , ? ? ? 为 ? n ?1 n ?1 n ?1 4 ?1 4 ?1 8 5a n ?1 8 8 4 ? 1 5 ? 4
∵ n ? 2 时 4 n ?1 ? 1 ? 5

∴ 4 n ?1 ? 1 必是 5 的因数,

∴当且仅当 n ? 2 时,

5 4
n ?1

?1

是整数,从而 ? ? 4 是整数符合题意.

综上可知,当 ? ? 4 时,存在正整数 n ? 2 ,使等式 Tn ? 当 ? ? 4, ? ? Z 时,不存在正整数 n 使等式 Tn ? 20.(本小题满分 16 分) 已知 a 为实常数,函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 有两个不同的零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ; ①求实数 a 的取值范围; ②求证: x1 ? x2 ? 2 . 20.(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) .其导数 f '( x) ?

3? 7 ? 成立, 5a n ?1 8

3? 7 ? 成立. ……………16 分 5a n ?1 8

1 ?a. x

1分 2分

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 (0, ??) 上是增函数;

②当 a ? 0 时,在区间 (0, ) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , ??) 上,

f '( x) ? 0 .

1 a

1 a

所以 f ( x) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数.

1 a

1 a

4分

(2)①由(I)知,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,不可能有两个零点; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数,此时 f ( ) 为函 数 f ( x) 的最大值,当 f ( ) ? 0 时, f ( x) 最多有一个零点, 所以 f ( ) ? ln

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 , a

6分

此时,

1 a a 1 1 e2 ? ? 2 ,且 f ( ) ? ?1 ? ? 1 ? ? ? 0 , e e e e a a

e2 e2 e2 f ( 2 ) ? 2 ? 2 ln a ? ? 1 ? 3 ? 2 ln a ? (0 ? a ? 1) a a a
令 F (a ) ? 3 ? 2 ln a ?

e2 2 e 2 e 2 ? 2a ,则 F ?( x) ? ? ? 2 ? ? 0, a a a a2

所以 F (a ) 在 (0,1) 上单调递增,所以 F (a ) ? F (1) ? 3 ? e 2 ? 0 ,即

f(

e2 )?0 a2
所以 a 的取值范围是 (0,1) ②证法一: 下面证明:当 0 ? x ? 1 时, ln x ? 8分

2( x ? 1) . x ?1

设 h(x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 2( x ? 1) ?0 . ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x ?1 x( x ? 1) 2

h( x) 在 (0,1] 上是增函数,所以当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 .
即当 0 ? x ? 1 时, ln x ?

2( x ? 1) .. x ?1

? 0 ? x1 ? x2

?

x1 ?1 x2

?x ? 2 ? 1 ? 1? x x x 2 ? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 2 ? ? ln 1 ? ?0 x1 x2 x x ? x 2 1 2 ?1 x2

?

ln x1 ? ln x2 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
?a ?
②证法二:

? ln x1 ? ln x2 ? a ( x1 ? x2 )
2 ?2 . a
……… 16 分

2 x1 ? x2

? x1 ? x2 ?

令 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? ln( ? x) ? a ( ? x) ? (ln x ? ax).(0 ? x ?

2 a

2 a

2 a

1 ) a

1 2a ( x ? ) 2 1 1 a ? 0, ? ? 2a ? 则: g ?( x) ? 2 x 2 x? x( x ? ) a a
所以函数 g ( x) 在区间 (0, ] 上为减函数.

1 a

0 ? x1 ?
2 a

1 1 ,则 g ( x1 ) ? g ( ) ? 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 a a
2 a 2 a

于是 f ( ? x1 ) ? ln( ? x1 ) ? a ( ? x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? 0 . 又 f ( x 2 ) ? 0 由(1)可知 x 2 ?

2 2 ? x1 .即 x1 ? x 2 ? ? 2 a a

……… 16 分



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