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2013高考数学人教B版课后作业:2-1 函数及其表示)


2-1 函数及其表示
1.(2011·浙江嘉兴一中模拟)设集合 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四 个图形,其中能表示以集合 M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( )

[答案] B [解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应, A 中 x∈(0,2] 时没有函数值,C 中函数值不唯一,D 中的值域不是 N,所以选 B. 2.(文)(2011·广州市综合测试)函数 y= 1-2x的定义域为集合 A,函数 y=ln(2x+1) 的定义域为集合 B,则 A∩B 等于( 1 1 A.(- , ] 2 2 1 C.(-∞,- ) 2 [答案] A 1 x≤ , ? ? 2 得? 1 x>- . ? ? 2 1 1 B.(- , ) 2 2 1 D.[ ,+∞) 2 )

[解析] 由?

?1-2x≥0 ? ? ?2x+1>0

1 1 ∴- <x≤ , 2 2

1 1 故 A∩B=(- , ]. 2 2 (理)(2010·湖北文,5)函数 y= 1 log0.5

x-

的定义域为(

)

?3 ? A.? ,1? ?4 ?

?3 ? B.? ,+∞? ?4 ?

C.(1,+∞) [答案] A

?3 ? D.? ,1?∪(1,+∞) ?4 ?

[解析] log0.5 (4x-3)>0=log0.51,∴0<4x-3<1, 3 ∴ <x<1. 4 1 x ? ? ,x≥3, 2 3.(2011·山东潍坊模拟)已知 f(x)=? ? ?f x+ ,x<3, A. 1 12 B. 1 24

则 f(log23)的值是(

)

C.24

D.12

[答案] A [解析] ∵1<log23<2,∴3<log23+2<4, ∴f(log23)=f(log23+1) =f(log23+2)=f(log212) 1 log 12 1 =( ) 2 = . 2 12
? ?2 ,x>0, 4.(2011·福建文,8)已知函数 f(x)=? ?x+1,x≤0, ?
x

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a

的值等于( A.-3 C.1

) B.-1 D. 3

[答案] A [解析] ∵f(1)=2 =2,∴由 f(a)+f(1)=0 知 f(a)=-2. 当 a>0 时 2 =-2 不成立.当 a<0 时 a+1=-2,a=-3.
? ?2 5.(文)(2010·广东六校)设函数 f(x)=? ?log2x ?
x a
1

x∈ -∞,2] x∈
,+

,则满足 f(x)=4

的 x 的值是( A.2

) B.16 D.-2 或 16

C.2 或 16 [答案] C

[解析] 当 f(x)=2 时.2 =4,解得 x=2. 当 f(x)=log2x 时,log2x=4,解得 x=16. ∴x=2 或 16.故选 C.

x

x

?2 -1 ? (理)设函数 f(x)=? ?lgx ?

1-x

x x

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(

)

A.(-∞,0)∪(10,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,10) D.(0,10) [答案] A

?x0<1 [解析] 由? 1-x0 ?2 -1>1

? ?x0≥1 或? ?lgx0>1 ?

? x0<0 或 x0>10.

6.(2010·山东肥城联考)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}, 其定义如下表:

x f(x)

1 2

2 3

3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1

则方程 g[f(x)]=x 的解集为( A.{1} C.{3} [答案] C B.{2} D.?

)

[来源:Ks5u.com]

[解析] g[f(1)]=g(2)=2,g[f(2)]=g(3)=1;

g[f(3)]=g(1)=3,故选 C.
7.(文)(2011·济南模拟)已知函数 f(x)= [答案] 0 1 -1 1 x 1-x [解析] ∵f( )= = , x 1 1+x +1

x-1 1 ,则 f(x)+f( )=________. x+1 x

x

1 x-1 1-x ∴f(x)+f( )= + =0. x x+1 1+x (理)若 f(a+b)=f(a)·f(b)且 f(1)=1, 则

f f



f f



f f

+?+

f f



________. [答案] 2011 [解析] 令 b=1,则 ∴

f a+ f a

=f(1)=1,

f f



f f



f f

+?+

f f

=2011.

2 8.(2011·武汉模拟)已知 f( +1)=lgx,则 f(x)=________.

x

[答案] lg

2

x-1

(x>1)

2 2 [解析] 令 +1=t,∵x>0,∴t>1,则 x= , x t-1 ∴f(t)=lg 2 2 ,f(x)=lg (x>1). t-1 x-1
3

9. (文)(2011·广东文, 12)设函数 f(x)=x cosx+1.若 f(a)=11, 则 f(-a)=________. [答案] -9 [解析] 令 g(x)=x cosx,则 f(x)=g(x)+1,g(x)为奇函数.
3

f(a)=g(a)+1=11,所以 g(a)=10,f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9.
(理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: f(x)·f(x +2)=13,若 f(1)=2,则 f(2011)=________. [答案] 13 2 13 f x+ = 13 =f(x), 13

[解析] ∵f(x+4)=

f x
∴函数 f(x)的周期为 4, 所以 f(2011)=f(4×502+3)=f(3)= 13

f



13 . 2

1 ? ?x2+ , -1<x<0 2 10.已知函数 f(x)=? x - 1 ? x≥0 ?e [解析] ∵f(1)=e ∴f(a)=1. 1 2 若-1<a<0,则 f(a)=a + =1, 2 1 2 此时 a = , 2
1-1

,若 f(1)+f(a)=2,求 a 的值.

=1,又 f(1)+f(a)=2,

又-1<a<0,∴a=- 若 a≥0,则 f(a)=e

2 . 2 =1,∴a=1. 2 . 2

a-1

综上所述,a 的值是 1 或-

11.(文)(2011·天津一中)若函数 f(x)= 是( ) A.(-∞,+∞) 3 C.( ,+∞) 4 [答案] D 3 B.(0, ) 4 3 D.[0, ) 4

x-4 的定义域为 R, 则实数 m 的取值范围 mx +4mx+3
2

[解析] ①m=0 时,分母为 3,定义域为 R.
? ?m≠0, ②由? ?Δ <0 ?

3 得 0<m< . 4

3 综上得 0≤m< . 4 (理)(2011·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数 f(x)对于任意实数 x,存在常数 M,使得不等式 |f(x)|≤M|x|恒成立,那么就称函数 f(x)为有界泛涵.下面有 4 个函数: ①f(x)=1; ②f(x)=x ; ④f(x)=
2

③f(x)=(sinx+cosx)x;

x . x +x+1
2

其中有两个属于有界泛涵,它们是( A.①② C.①③ [答案] D B.②④ D.③④

)

[解析] 由|f(x)|≤M|x|对 x∈R 恒成立,知| ①中| ②中|

f x |max≤M. x

f x 1 |=| |∈(0,+∞),故不存在常数 M 使不等式恒成立; x x f x |=|x|∈[0,+∞),故不存在常数 M 使不等式恒成立; x

③中| ④中|

f x π |=|sinx+cosx|= 2|sin(x+ )|≤ 2,故存在 M 使不等式恒成立; x 4 f x 1 |=| 2 |=| x x +x+1
1 1 x+ 2 3 2 + 4 4 |≤ , 3

故存在 M 使不等式恒成立. [点评] 作为选择题判断①后即排除 A、C,判断②后排除 B,即可选出 D. 12.(文)(2011·海南海口模拟)对 a,b∈R,记 min{a,b}=? 1 =min{ x,-|x-1|+2}(x∈R)的最大值为________. 2 [答案] 1 1 [解析] y=f(x)是 y= x 与 y=-|x-1|+2 两者中的较小者,数形结合可知,函数的 2 最大值为 1.
?a ? ? ?b

a<b , a≥b ,

函数 f(x)

(理)(2011·山东烟台模拟)设函数 y=f(x)在(-∞, +∞)内有定义, 对于给定的正数 K, 定义函数 fK(x)=?
?f ? ? ?K,

x ,f x f x K.
)

K,

取函数 f(x)=a

-|x|

1 (a>1).当 K= 时,函数 fK(x)

a

在下列区间上单调递减的是( A.(-∞,0) C.(-∞,-1) [答案] D

B.(-a,+∞) D.(1,+∞)

[解析]

1 a ,a ≤ , ? ? a 1 当 K= 时,f (x)=? a 1 1 ? ?a,a >a
-|x| -|x|

K

-|x|

1 ? ? a ,x≤-1或x≥1, =? 1 ? ?a,-1<x<1.
|x|

1 ∵a>1,∴0< <1,如图,作出函数 fK(x)的图象可得其单调减区间为(1,+∞).

a

13. (文)(2011·上海交大附中月考)函数 f(x)= +f(3)+f(4)=________. [答案] 7 2 1
2 2

x2
2

x +1

1 1 1 , 则 f( )+f( )+f( )+f(1)+f(2) 4 3 2

x 1 1 x x 1 1 1 1 [解析] f(1)= ,f(x)+f( )= 2 + = 2 + 2=1,则 f( )+f( )+f( ) 2 x x +1 1 x +1 1+x 4 3 2 2+1
2

x

1 7 +f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+ = . 2 2 (理)(2011·襄樊检测)设函数 f(x)=?
?x +bx+c, ? ? ?2,
2

x≤0, x>0.

若 f(-4)=f(0),f(-2)

=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( A.1 [答案] C [解析] 法一:若 x≤0,则 f(x)=x +bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2, ∴?
? ? ? ?
2

)

B.2

C.3

D.4

- -

2 2

+b +b

- -

+c=c, +c=-2,

解得?

?b=4, ? ? ?c=2.

?x +4x+2, ? ∴f(x)=? ?2, x>0. ?

2

x≤0,

当 x≤0 时,由 f(x)=x,得 x +4x+2=x,

2

解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2. ∴方程 f(x)=x 有 3 个解.

法二:由 f(-4)=f(0)且 f(-2)=-2,可得 f(x)=x +bx+c 的对称轴是 x=-2,且 顶点为(-2,-2),于是可得到 f(x)的简图(如图所示).方程 f(x)=x 的解的个数就是函数

2

y=f(x)的图象与 y=x 的图象的交点的个数,所以有 3 个解.
4 14.(2011·洛阳模拟)已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是 |x|+2 [0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有________个. [答案] 5 4 4 [解析] 由 0≤ -1≤1,即 1≤ ≤2 得 |x|+2 |x|+2 0≤|x|≤2,满足条件的整数数对有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共 5 个. [点评] 数对(a,b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为 0,最大值为 2,才能满足

f(x)的值域为[0,1]的要求.
15.(文)已知函数 f(x)= 的解析式. 2 [解析] 由 f(2)=1 得 =1,即 2a+b=2; 2a+b 由 f(x)=x 得 变形得 x( 1

x (ab≠0),f(2)=1,又方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x) ax+b

x =x, ax+b
-1)=0,

ax+b

1-b 解此方程得 x=0 或 x= ,

a

1-b 又因方程有唯一解,∴ =0,

a

1 解得 b=1,代入 2a+b=2 得 a= , 2 ∴f(x)= 2x . x+2

(理)(2011·广东普宁模拟)已知函数 f(x)=lg(x+ -2),其中 a 是大于 0 的常数. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)当 a∈(1,4)时,求函数 f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围.

a x

a x2-2x+a [解析] (1)由 x+ -2>0,得 >0, x x a>1 时,x2-2x+a>0 恒成立,定义域为(0,+∞). a=1 时,定义域为{x|x>0 且 x≠1},
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

0<a<1 时,定义域为{x|0<x<1- 1-a或 x>1+ 1-a}. (2)设 g(x)=x+ -2,当 a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1- 2=
[来源:Ks5u.com]

a x

a x

x2-a >0 恒成立, x2

∴g(x)=x+ -2 在[2,+∞)上是增函数. ∴f(x)=lg(x+ -2)在[2,+∞)上是增函数. ∴f(x)=lg(x+ -2)在[2,+∞)上的最小值为 f(2)=lg . x 2 (3)对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,即 x+ -2>1 对 x∈[2,+∞)恒成立. 3 2 9 2 2 ∴a>3x-x , 而 h(x)=3x-x =-(x- ) + 在 x∈[2, +∞)上是减函数, ∴h(x)max=h(2) 2 4 =2,∴a>2. 16.(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注 水 60 吨, 同时蓄水池又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t吨, (0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的 24 小时内,有 几小时出现供水紧张现象. [解析] (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨, 则 y=400+60t-120 6t(0≤t≤24) 令 6t=x,则 x =6t 且 0≤x≤12, ∴y=400+10x -120x=10(x-6) +40(0≤x≤12);
2 2 2

a x

a x a

a

a x

∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40, 即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨. (2)依题意 400+10x -120x<80, 得 x -12x+32<0, 8 32 解得 4<x<8,即 4< 6t<8,∴ <t< ; 3 3 ∵ 32 8 - =8,∴每天约有 8 小时供水紧张. 3 3
2 2

1.(2011·江西文,3)若 f(x)= 1 A.(- ,0) 2 1 B.(- ,+∞) 2 1 D.(- ,2) 2

,则 f(x)的定义域为(

)

1 C.(- ,0)∪(0,+∞) 2 [答案] C

[解析] 要使函数有意义,则有
?2x+1>0 ? ? ?2x+1≠1 ?

1 ? ?x>- 2 ,所以? ? ?x≠0

.故选 C.

2 .(2010·浙江宁波十校联考 ) 值域为 {2,5,10} ,对应关系为 y = x + 1 的函数个数为 ( ) A.1 C.27 B. 8 D.39

2

[答案] C [解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况.当 y=2,即 x =1 时,x= 1,-1 或±1 有三种情况, 同理当 y=5,10 时,x 的值各有三种情况,由分步乘法计数原理知, 共有 3×3×3=27 种可能.故选 C.
? ?2 +1,x<1, 3.(2010·陕西理,5)已知函数 f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1, ?
x
2

若 f(f(0))=4a,则实数 a 等

于( A.

) 1 2 B. 4 5

C.2

D. 9

[答案] C [解析] f(0)=2 +1=2,f(2)=4+2a=4a,∴a=2.
0

4.(2010·天津理,8)设函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) ) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

若 f(a)>f(-a),

C.(-1,0)∪(1,+∞) [答案] C

[解析] 解法 1:由图象变换知函数 f(x)图象如图,且 f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函 数,∴f(a)>f(-a)化为 f(a)>0,∴当 x∈(-1,0)∪(1,+∞),f(a)>f(-a),故选 C.

解法 2:当 a>0 时,由 f(a)>f(-a)得,log1 og2a>log1 a, 2 2 ∴a>1; 当 a<0 时,由 f(a)>f(-a)得,log1 2 (-a)>log2(-a),∴-1<a<0,故选 C.

5.a、b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f 是 M 到 N 的映射,f(x)=x,则 a+b 的 值为( ) B.0 C.1 D.±1

b a

A.-1 [答案] C

[解析] ∵f(x)=x,∴f(1)=1=a,若 f( )=1,则有 =1,与集合元素的互异性矛盾, ∴f( )=0,∴b=0,∴a+b=1. 6.(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,

b a

b a

b a

当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人 数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( A.y=[ ] 10 C.y=[ )

x

B.y=[ ] D.y=[

x+3
10 10

] ]

x+4
10

x+5

[答案] B [解析] 当 x 除以 10 的余数为 0,1,2,3,4,5,6 时, 由题设知 y=[ ], 且易验证此时[ ] 10 10 =[

x

x

x+3
10

].

当 x 除以 10 的余数为 7,8,9 时,由题设知 y=[ [

x
10

]+1,且易验证知此时[

x
10

]+1=

x+3
10

].综上知,必有 y=[

x+3
10

].故选 B.

7. 设函数 f(x)、 g(x)的定义域分别为 F、 G, 且 F G.若对任意的 x∈F, 都有 g(x)=f(x),

?1?x 且 g(x)为偶函数, 则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”. 已知函数 f(x)=? ? (x≤0), ?2?
若 g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数,则函数 g(x)的解析式为( A.g(x)=2
|x|

)

B.g(x)=log2|x| D.g(x)=log1 |x| 2

?1?|x| C.g(x)=? ? ?2?
[答案] A

?1?x [解析] 由延拓函数的定义知,当 x≤0 时,g(x)=? ? ,当 x>0 时,-x<0,∴g(-x)= ?2? ?1?-x=2x, ?2? ? ?
∵g(x)为偶函数,∴g(x)=2 , 1? ? ?? ?2?x ? 故 g(x)=? ? ? ?2x
x

x≤0 x>0

,即 g(x)=2 .

|x|

8.(2011·广东揭阳一模)函数 f(x)= A.(0,2) B.(1,2) D.(-∞,1)

-lg(x-1)的定义域是( 2-x

x2

)

C.(2,+∞)

[答案] B [解析] 要使函数有意义,须满足?
?2-x>0 ? ?x-1>0 ?



∴1<x<2,∴函数的定义域为(1,2).
? ?log2 9.(2011·合肥模拟)已知函数 f(x)=? ?f ?

-x ,x≤0, +1,x>0,

x-

则 f(2011)等于(

)

A.2008 C.2010 [答案] D

B.2009 D.2011

[解析] 当 x>0 时,f(x)-f(x-1)=1,∴f(2011) =[f(2011)-f(2010)]+[f(2010)-f(2009)]+?+[f(1)-f(0)]+f(0)

+f(0)=2011+log21=2011. 10.

如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,


点 P 所旋转过的AP的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( )

[答案] C [解析] 函数在[0,π ]上的解析式为 d= 1 +1 -2×1×1×cosl= 2-2cosl = l 2l 4sin =2sin . 2 2
2 2

在 [π , 2π ] 上的解析式为 d = 2-2cos l 2sin ,l∈[0,2π ]. 2 [点评]

π-

l = 2sin ,故函数的解析式为 d = 2

这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点,采用排除法;

或求函数解析式. 11.(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售, 当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持, 已知每投入 x 万元, 可获得纯利润 P=-
2

1 (x 160

-40) +100 万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的 销售,其规划方案为:在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资,其中在前 5 年中,每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路,公路 5 年建成,通车前该特产只 能在当地销售;公路通车后的 5 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的 159 119 2 投资收益为:每投入 x 万元,可获纯利润 Q=- (60-x) + ·(60-x)万元,问仅从这 160 2 10 年的累积利润看,该规划方案是否可行? [解析] 在实施规划前,由题设 P=- 1 2 (x-40) +100(万元),知每年只需投入 40 万, 160

即可获得最大利润 100 万元,则 10 年的总利润为 W1=100×10=1000(万元) 实施规划后的前 5 年中,由题设 P=- 795 大利润 Pmax= (万元) 8 795 3975 前 5 年的利润和为 ×5= (万元) 8 8 设在公路通车的后 5 年中,每年用 x 万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x)万元用于 外地区的销售投资, 则其总利润为 1 159 2 119 2 2 W2=[- (x-40) +100]×5+(- x + x)×5=-5(x-30) +4950. 160 160 2 当 x=30 时,W2=4950(万元)为最大值, 3975 从而 10 年的总利润为 +4950(万元). 8 ∵ 3975 +4950>1000, 8 1 2 (x-40) +100 知,每年投入 30 万元时,有最 160

∴该规划方案有极大实施价值.


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