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2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程(一)练习 新人教A版选修2-1



2.2.1
基 础 梳 理

椭圆及 其标准方程(一)

1.椭圆定义:如右图所示,平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

想一想:平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的集合一定是椭圆吗



2. 如右图所示, 取过焦点 F1, F2 的直线为 x 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴, 设 P(x,

y)为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是 2c(c>0),则 F1(-c,0),F2(c,0),又设 P 与 F1, x2 y2 F2 距离之和等于 2a(2a>2c)(常数), 令 a2-c2=b2,可求得椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a a b
>b>0).

想一想: 已知 a=4, b=3, 椭圆焦点在 x 轴, 则椭圆的标准方程为______________ ____. 3. 如右图所示, 取过焦点 F1, F2 的直线为 y 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 x 轴, 设 P(x,

y)为 椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是 2c(c>0),则 F1(0,-c),F2(0,c),又设 P 与 F1, y2 x2 F2 距离之和等于 2a(2a>2c)(常数),令 a2-c2=b2,可求得椭圆的标准方程为 2+ 2 =1. a b

想一想:已知 a=5,c=2,焦点在 y 轴上,则椭圆的标准方程为__________________. 基础梳理
1

1.想一想:不一定,只有常数大于|F1F2|时,点的集合才是椭圆,当常数等于|F1F2|时, 点的集合是线段 F1F2,当常数小于|F1F2|时,点的轨迹不存在. 2.想一想: + =1 16 9 3.想一想: + =1 25 21

x2 y2

y2

x2

自 测 自 评 1.设 P 是椭圆 + =1 上的任意一点,若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2| 25 16 等于( )

x2

y2

A.10 B.8 C.5 D.4 2.平面内一动点 M 到两定点 F1、F2 距离之和为常数 2a,则点 M 的轨迹为( A.椭圆 B.圆 )

C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 3.在椭圆的标准方程中,a=6,b= 35,则椭圆的标准方程是( A. C. + =1 36 25 )

x2 x2

y2

B . + =1 36 35

y2

x2

+y =1 D.以上都不对 36

2

自测自评 1.解析:∵椭圆中 a =25,∴2a=10. 由椭圆的定义知|PF1| +|PF2|=2a=10. 答案:A 2.解析:当 2a>|F1F2|时,轨迹为椭圆;当 2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当 2a<|F1F2| 时,轨迹不存在. 答案:D 3.解析:因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应 有两种形式. 答案:D
2

基 础 巩 固

2

1.椭圆 + =1 的焦点坐标是( 25 169 A.(±5,0) C.(0,±12) 1.C B.(0,±5) D.(±12,0)

x2

y2

)

2.(2014·广州高二检测)设 F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点 M 满足|MF1|+|MF2|= 8,则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线 ) C.圆 D.线段

2.解析:因为|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以动点 M 的轨迹是线段. 答案:D

3. “1<m<3”是“方程 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

+ =1 表示椭圆”的( m-1 3-m

x2

y2

)

D.既不充分也不必要条件 3.解析:当方程
? ?m-1>0, + =1 表示椭圆时,必有? 所以 1<m<3;但当 1<m<3 m-1 3-m ?3-m>0, ?

x2

y2

时,该方程不一定表示椭圆,例如当 m=2 时,方程变为 x +y =1,它表示一个圆. 答案:B 4.a=6,c=1,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是________________.

2

2

4.

+ =1 36 35

y2

x2

能 力 提 升 5. 已知椭圆 + =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3, 到另一焦点的距离为 7, m 16 则 m 等于( ) C. 15 D.25

x2

y2

A.10 B.5

5.解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴a=5,∴a =25,即 m=25. 答案:D
3
2

6. 设 P 是椭圆 + =1 上一点, P 到两焦点 F1, F2 的距离之差为 2, 则△PF1F2 是( 16 12 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6.解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8. 又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=2 16-12=4,∴△PF1F2 为直角三角形. 答案:B

x2

y2

)

x2 y2 ? π? 7 . 设 α ∈ ?0, ? , 方 程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 2? sin α cos α ?
α ∈____________ ____. π π ? π? 7.解析:依题意有 sin α >cos α >0,因为 α ∈?0, ?,所以 <α < . 2 4 2 ? ? 答案:?

?π ,π ? ? ?4 2?
x2 y2

8.设 P 是椭圆 + =1 上的点,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的 16 9 最大值是__________. 8.解析:由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8, |PF1|+|PF2| 2 8 2 所以|PF1 |·|PF2|≤( ) =( ) =16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”号, 2 2 故|PF1|·|PF2|的最大值是 16. 答案:16 9.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m,外轮廓线上点 到两个焦点距离的和为 3 m,求这个椭圆的标准方程. 9.解析:根据题意,c=1.2,a=1.5,所以 b= a -c = 2.25-1.44=0.9, 所以椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 2.25 0.81 0.81 2.25 10.已知方程 k x +(k - 2k+2)y =k. (1)k 为何值时,方程表示直线? (2)k 为何值时,方程表示圆? (3)k 为何值时,方程表示椭圆? 10.解析:因为 k -2k+2=(k-1) +1≥1, (1)当 k =0,即 k=0 时,方程表示直线,该直线为 y=0. (2)若表示圆,则 k -2k+2=k ,且 k>0,解得 k=1. (3)若表示椭圆,则 k >0,k>0 且 k -2k+2≠k ,解得 k>0,且 k≠1.
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2

y2

综上知(1)k=0 时,方程表示直线;(2)k=1 时,方程表示圆;(3)k>0,且 k≠1 时, 方程表示椭圆.

5



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