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高中数学必修五数列测试题



高二数学单元测试题(数列)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 1 1 1 1.数列 ,? , ,? , ? 的一个通项公式可能是( ) 2 4 8 16 n 1 n 1 n ?1 1 A. (?1) B. (?1) C. ( ?1) n 2n 2n 2
2.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a

10 =( A.12 B.14 C.16 ) D.18 ) (D)35 ) 27 (D)64 )

D. ( ?1)

n ?1

1 2n

3.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( (A)14 (B)21 (C)28

4.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n3 ,则 a4 的值为( (A) 15 (B) 37 (C)

5.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 ?( a2

A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2


6.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( (A)3 7. 已知 a ? (B)4 (C)5 (D)6 )

1 3? 2

,b ?

1 3? 2

, 则 a, b 的等差中项为(

A. 3

B. 2

C.

3 3

D.

2 2


8.已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2 , a5 ? A.

32 (1 ? 2? n ) 3

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ? ( 4 32 (1 ? 4? n ) B. 16(1 ? 4? n ) C. 16(1 ? 2? n ) D. 3
)

9.若数列 an ? 的通项公式是 an ? (?1)n (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ???? ? a20 ? ( (A)30 (B)29 (C)-30

?

(D)-29

10.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? (
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2

)
2 C. n

D. (n ? 1) 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知数列 ?an ? 满足: a3 ? 5 , an?1 ? 2an ?1 (n∈N*),则 a1 ? ________.
12.已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ________. 13.设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k ? ______. 14. 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 2 , an ?1 ?

?

2an , n ? 1, 2,3, …,则 a2012 ? ________. an ? 2

1

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.
15.(12 分)一个等比数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? 28,a2 ? a3 ? 12 ,求这个数列的通项公式.

16.(12 分)有四个数:前三个成等差数列,后三个成等比数列。首末两数和为 16,中间两数和为 12.求这四个数.

17.(14 分)等差数列 ?an ? 满足 a5 ? 14 , a7 ? 20 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 bn ? 2 ? 2Sn . (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 证明数列 ?bn ? 是等比数列.

18.(14 分)已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 , a5 ? a7 ? 26 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

2

19. (14 分)设 {an } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {(2n ? 1)an } 的前 n 项和 Sn .

1 11 ? S ? 20.(14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, n ? 在直线 y ? x ? 上. 2 2 ? n ?
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 数 k 的值.

3 k ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,并求使不等式 Tn ? 对一切 n ? N* 都成立的最大正整 (2an ? 11)(2an ?1 ? 11) 20

3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 1 1 1 1.数列 ,? , ,? , ? 的一个通项公式可能是( )D 2 4 8 16 n 1 n 1 n ?1 1 A. (?1) B. (?1) C. ( ?1) n 2n 2n 2
2.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 =( A.12 B.14 C.16 ) D

D. ( ?1)

n ?1

1 2n

D.18 ) C (D)35

3.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( (A)14 (B)21 (C)28 ) 答案:B 27 (D)64 )C

4.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n3 ,则 a4 的值为( (A) 15 (B) 37 (C)

5.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 ?( a2

A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2
)B

6.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( (A)3 7. 已知 a ? (B)4 (C)5 (D)6 )A

1 3? 2

,b ?

1 3? 2

, 则 a, b 的等差中项为(

A. 3

B. 2

C.

3 3

D.

2 2
)D

8.已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2 , a5 ? A.

32 (1 ? 2? n ) 3

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ? ( 4 32 (1 ? 4? n ) B. 16(1 ? 4? n ) C. 16(1 ? 2? n ) D. 3

9.若数列 an ? 的通项公式是 an ? (?1)n (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ???? ? a20 ? ( (A)30 (B)29 (C)-30

?

) A

(D)-29

10.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? (
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2

)C
2 C. n

D. (n ? 1) 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知数列 ?an ? 满足: a3 ? 5 , an?1 ? 2an ?1 (n∈N*),则 a1 ? ________.2
12.已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ________. -7 13.设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k ? ______.4 14. 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 2 , an ?1 ?

?

1 2an , n ? 1, 2,3, …,则 a2012 ? ________. 1006 an ? 2

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.
15.(12 分)一个等比数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? 28,a2 ? a3 ? 12 ,求这个数列的通项公式。 解: ?

? a1 ? a1q 3 ? 28 1 ? ,(3 分) 两式相除得 q ? 3或 , 2 3 ? a1q ? a1q ? 12 ?

…………6 分

代入 a1 ? a4 ? 28 ,可求得 a1 ? 1或27 ,

…………9 分

4

?1? ? an ? 3n?1 或an ? ? ? ? 3?

n?4

…………12 分

16.(12 分)有四个数:前三个成等差数列,后三个成等比数列。首末两数和为 16,中间两数和为 12.求这四个数. 解:设此四数为:x,y,12-y,16-x。所以 2y=x+12-y 且(12-y) = y(16-x). ……6 分 把 x=3y-12 代入,得 y= 4 或 9.解得四数为 15,9,3,1 或 0,4,8,16 . …………12 分
2

17.(14 分)等差数列 ?an ? 满足 a5 ? 14 , a7 ? 20 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 bn ? 2 ? 2Sn . (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 证明数列 ?bn ? 是等比数列.

1 (a7-a5 ) ? 3 , a1 ? 2 ,所以 an ? 3n ? 1. …6 分 2 (Ⅱ) 由 bn ? 2-2Sn , 当 n ? 2 时,有 bn?1 ? 2-2Sn?1 ,可得 b 1 bn ? bn?1 ? ?2(Sn ? Sn?1 ) ? ?2bn .即 n = . 所以 ?bn ? 是等比数列. …………14 分 bn-1 3
(Ⅰ) 解:数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 18.(14 分)已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 , a5 ? a7 ? 26 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以

? a1 ? d ? 5 ,( 2 分) ? ? 2a1 ? 10d ? 26

解得 a1 ? 3,d ? 2 ,

…………4 分

所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ;( 6 分) 2

Sn = 3n+

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n . …………8 分 2

(Ⅱ)由已知得 bn ? an ? 3n?1 ,由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以

bn ? an ? 3n?1 , …………11 分
…………14 分

3n ? 1 . Tn = Sn ? (1 ? 3 ? ??? ? 3 ) ? n ? 2n ? 2
n ?1 2

19. (14 分)设 {an } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {(2n ?1) an} 的前 n 项和 Sn . 解:(I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q2 ? 2q ? 4 ,…………2 分 即 q 2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1(舍去),因此 q ? 2. 所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N * ). (II) Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ?? (2n ? 1) ? 2n …………4 分 …………6 分

…………7 分
n?1

2Tn ?

3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ?? (2n ?1) ? 2 ? (2n ? 1) ? 2
2 3 n

…………8 分 … … … … 10 …………12 分 …………14 分 分

?Tn ? 3 ? 2 ? 2(22 ? 23 ? ?? 2n)-(2n ?1) ? 2n?1
? 6 ? 2?


4(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1)2n ?1 ? ? 2n ? 1)2 n ?1 ? 2 ( ? 1? 2

Sn ? 2n ? 1)2n?1 +2 . ( ?

5

? S 20.(14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, n ? n
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 数 k 的值. 解:(Ⅰ)由题意,得

1 11 ? ? 在直线 y ? x ? 上. 2 2 ?

3 k ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,并求使不等式 Tn ? 对一切 n ? N* 都成立的最大正整 (2an ? 11)(2an ?1 ? 11) 20

Sn 1 11 1 11 ? n ? ,即Sn ? n2 ? n. n 2 2 2 2

…………2 分

11 ? ? 1 11 ?1 ? 故当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? n 2 ? n ? ? ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? ? n ? 5. 2 ? ?2 2 ?2 ?
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 6 ? 1 ? 5 , (Ⅱ) bn ? 所以

…………5 分

an ? n ? 5(n ?N* ) .

…………6 分 …………8 分
3? 1 ? 3n

3 3 3? 1 1 ? ? ? ? ? ?. (2an ? 11)(2an ?1 ? 11) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
3 ?? 1? ?1 1? ? 1 1 ??

? 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .…10 分 ?? ? ?1 ? ?? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1

由于 Tn ?1 ? Tn ? 3(

n ?1 n 3 ? ) ? ? 0 ,因此 Tn 单调递增, …………12 分 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

故 (Tn ) min ? 1 .令 1 ?

k ,得 k ? 20 ,所以 kmax ? 19 . 20

…………14 分

6



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