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2007-2008学年浙江省宁波市二中高二(下)期末数学试卷(理科)(选修2-2)



(选修 2-2)
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.在“近似替代”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值( ) A.只能是左端点的函数值 f(xi) B.只能是右端点的函数值 f(xi+1) 数值 f(ξi) i∈[xi,xi+1]) (ξ D.以上答案均正确
2 2

C.可以是该区间内的

任一函

2.已知 z1=m ﹣3m+m i,z2=4+(5m+6)i,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1﹣z2=0,则 m 的值为( A.4 B.﹣1 C.6 D.0 3.已知|x|<1,|y|<1,下列各式成立的是( A.|x+y|+|x﹣y|>2 B.x +y <1
2 2



) C.x+y<1 D.xy+1>x+y

4.设 f (x)为可导函数,且满足 的斜率是( A.2 ) B.﹣1 C. D.﹣2

=﹣1,则曲线 y=f (x)在点(1,f(1) )处的切线

5.若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b ﹣4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数 f(x)=x ﹣ax ﹣bx+a 在 x=1 处有极值 10,则点(a,b)为( A. (3,﹣3) B. (﹣4,11) C. (3,﹣3)或(﹣4,11) 7.x+y+z=1,则 2x +3y +z 的最小值为( A.1 B. C. D.
2 2 2 3 2 2

2

2

) D.不存在



8.曲线 y=e ,y=e 和直线 x=1 围成的图形面积是( ) ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣1 A.e﹣e B.e+e C.e﹣e ﹣2 D.e+e ﹣2 9. (文)若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为( A.1 B. C. D.
2

x

﹣x



10.设 f(x)=x +x+ (a,b∈R) ,当 x∈[﹣1,1]时,f(x)的最小值为 m,则 m 的值为( A. B.1 C. D.2

2



二.填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.定义运算 ,若复数 z 满足 ,其中 i 为虚数单位,则复数 z= _________ .

12.如图,数表满足: (1)第 n 行首尾两数均为 n;

(2)表中递推关系类似杨辉三角,记第 n(n>1)行第 2 个数为 f(n) .根据表中上下两行数据关系,可以求得当 n≥2 时,f(n)= _________ .

13.设函数 f(x)=n x (1﹣x) (n 为正整数) ,则 f(x)在[0,1]上的最大值为 _________ .

2 2

n

14.设 ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且 a1 +a2 +…an =1,x1 +x2 +…xn =1,则 以下结论,其中你认为正确的是 _________ . ①都大于 1②都小于 1③至少有一个不大于 1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分) 15. (1)求定积分∫1 |x ﹣2|dx 的值; (2)若复数 z1=a+2i(a∈R) 2=3﹣4i,且 ,z 为纯虚数,求|z1|
﹣2

2

2

2

2

2

2

的值中,现给出

2

16.现要制作一个圆锥形漏斗,其母线长为 l,要使其体积最大,求高为多少?

17.已知函数 (1)求 f(x)的单调区间; (2)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b,恒有 .

18. (提示:请从以下两个不等式选择其中一个证明即可,若两题都答以第一题为准) (1)设 ai∈R+,bi∈R+,i=1,2,…n,且 a1+a2+…an=b1+b2+…bn=2,求证:

(2)设 ai∈R+(i=1,2,…n) ,求证:



19.设数列{an}满足:an+1=an ﹣nan+1,n=1,2,3,… (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4 并由此猜测 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明对所的 n≥1,有 ①an≥n+2 ②

2

参考答案与试题解析
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.在“近似替代”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值( ) A.只能是左端点的函数值 f(xi) B.只能是右端点的函数值 f(xi+1) 数值 f(ξi) i∈[xi,xi+1]) (ξ D.以上答案均正确 C.可以是该区间内的任一函

考点:二分法求方程的近似解。 专题:综合题。 分析:本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题.在解答时,要结合二分法的分析规律对选项进行分析即可获 得问题的解答. 解答:解:由题意可知:对于函数 y=f(x) 在“近似替代”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值, 可以是该区间内的任一函数值 f(ξi) i∈[xi,xi+1]) (ξ 故选 C. 点评:本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题.在解答的过程当中充分体现了二分法解答问题的规律、数据 的分析和处理能力.值得同学们体会和反思. 2.已知 z1=m ﹣3m+m i,z2=4+(5m+6)i,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1﹣z2=0,则 m 的值为( A.4 B.﹣1 C.6 D.0 考点:复数相等的充要条件。 专题:计算题。 分析: 2 2 由题意可得 m ﹣3m+m i=4+(5m+6)i,根据两个复数相等的充要条件可得 解方程组求得 m 的值. 解答:解:由题意可得 z1 =z2 ,即
2 2





m ﹣3m+m i=4+(5m+6)i,根据两个复数相等的充要条件可得

2

2

,解得 m=﹣1,故选 B. 点评: 本题考查两个复数相等的充要条件,得到

,是解题的关键.

3.已知|x|<1,|y|<1,下列各式成立的是( ) 2 2 A.|x+y|+|x﹣y|>2 B.x +y <1 C.x+y<1

D.xy+1>x+y

考点:不等关系与不等式。 专题:阅读型。 分析: 根据题意,依次分析选项;对于 A,令 x=y=0,可得 A 错误;对于 B,令 x=y= ,可得 B 错误;对于 C,令 x=y= ,可得 C 错误;对于 D,用做差法,可得 D 正确;即可得答案. 解答:解:根据题意,依次分析选项; 对于 A,令 x=y=0,可得|x+y|+|x﹣y|=0<2,A 错误; 对于 B,令 x=y= ,可得 x +y =
2 2

>1,B 错误;

对于 C,令 x=y= ,可得 x+y= >1,C 错误; 对于 D,xy+1﹣(x+y)=xy﹣x+1﹣y=x(y﹣1)﹣(y﹣1)=(x﹣1) (y﹣1) , 又由|x|<1,|y|<1,可得 x<1,y<1,即(x﹣1)与(y﹣1)都小于 0, 则(x﹣1) (y﹣1)>0,故 xy+1﹣(x+y)>0,即 D 正确; 故选 D. 点评:本题考查不等关系的判定,解决这类问题一般用特殊值法.

4.设 f (x)为可导函数,且满足 的斜率是( A.2 ) B.﹣1 C. D.﹣2

=﹣1,则曲线 y=f (x)在点(1,f(1) )处的切线

考点:直线的斜率;极限及其运算。 专题:计算题。 分析:首先根据极限的运算法则,对所给的极限式进行整理,写成符合导数的定义的形式,写出导数的值,即得到 函数在这一个点的切线的斜率. 解答: 解:∵ ,



∴ ∴f (1)=﹣2 即曲线 y=f (x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率是﹣2, 故选 D. 点评:本题考查导数的定义,切线的斜率,以及极限的运算,本题解题的关键是对所给的极限式进行整理,得到符 合导数定义的形式. 5.若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b ﹣4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法。 分析:要判断“a>0 且 b2﹣4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax2+bx+c>0”什么条件,我们要先假设“a>0 且 b2﹣4ac<0” 2 2 成立,然后判断“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”是否成立,然后再假设“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”成立, 2 再判断“a>0 且 b ﹣4ac<0”是否成立,然后根据结论,结合充要充要条件的定义,即可得到结论. 解答:解:若 a>0 且 b2﹣4ac<0,则对任意 x∈R,有 ax2+bx+c>0, 2 反之,则不一定成立.如 a=0,b=0 且 c>0 时,也有对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0. 2 2 故“a>0 且 b ﹣4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”的充分不必要条件 故选 A 点评:判断充要条件的方法是: ①若 p? 为真命题且 q? 为假命题, q p 则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件;③若 p? 为真命题且 q? 为真命题,则命 p q p 题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? 为假命题且 q? 为假命题, q p 则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系.
2 2 ′

6.函数 f(x)=x ﹣ax ﹣bx+a 在 x=1 处有极值 10,则点(a,b)为( A. (3,﹣3) B. (﹣4,11) C. (3,﹣3)或(﹣4,11) 考点:函数在某点取得极值的条件。 专题:计算题。 分析: 首先对 f(x)求导,然后由题设在 x=1 时有极值 10 可得 解答:解:对函数 f(x)求导得 f′(x)=3x ﹣2ax﹣b, 又∵在 x=1 时 f(x)有极值 10, ∴ ,
2

3

2

2

) D.不存在

解之即可求出 a 和 b 的值.

解得





验证知,当 a=3,b=﹣3 时,在 x=1 无极值, 故选 B. 点评:掌握函数极值存在的条件,考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力,属于中档题. 7.x+y+z=1,则 2x +3y +z 的最小值为( A.1 B. C. D.
2 2 2



考点:柯西不等式在函数极值中的应用。 专题:计算题。 分析: 2 2 2 2 利用柯西不等式: (2x +3y +z )×( + +1 )≥(x+y+z) 这个条件进行证明. 解答: 2 2 2 证明:∵(2x +3y +z )×( ∴2x +3y +z ≥1×
2 2 2 2 2 2

+ +1 )≥(x+y+z) =1,

2

=

, ,

故 2x +3y +z 的最小值为

故选 C. 点评: 2 2 2 本题考查用综合法证明不等式、柯西不等式在函数极值中的应用,关键是利用: (2x +3y +z )×( ≥(x+y+z)
x 2

+ +1 )

8.曲线 y=e ,y=e 和直线 x=1 围成的图形面积是( ) ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣1 A.e﹣e B.e+e C.e﹣e ﹣2 D.e+e ﹣2 考点:定积分在求面积中的应用。 ﹣ ﹣ 分析:由题意可知曲线 y=ex,y=e x 和直线 x=1 围成的图形面积是 ex﹣e x 积分,然后根据积分的运算公式进行求 解即可. ﹣ 解答:解:曲线 y=ex,y=e x 和直线 x=1 围成的图形面积, 就是:∫0 (e ﹣e )dx ﹣1 x ﹣x 1 =(e +e )|0 =e+e ﹣2. 故选 D.
1 x
﹣x

﹣x

点评:本题考查函数的图象,定积分,考查计算能力,解题的关键是封闭图形的面积就是上部函数减去下部函数的 积分. 9. (文)若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为( A.1 B. C. D.
2



考点:点到直线的距离公式。 专题:计算题。 分析:设出切点坐标,利用导数在切点处的函数值,就是切线的斜率,求出切点,然后再求点 P 到直线 y=x﹣2 的 最小距离. 解答:解:过点 P 作 y=x﹣2 的平行直线,且与曲线 2 y=x ﹣lnx 相切, 2 设 P(x0,x0 ﹣lnx0)则有 k=y′|x=x0=2x0﹣ ∴2x0﹣ .

=1,∴x0=1 或 x0=﹣ (舍去) .

∴P(1,1) , ∴d= = .

故选 B. 点评:本题考查点到直线的距离,导数的应用,考查计算能力,是基础题.
2

10.设 f(x)=x +x+ (a,b∈R) ,当 x∈[﹣1,1]时,f(x)的最小值为 m,则 m 的值为( A. B.1 C. D.2



考点:二次函数的性质。 专题:计算题。 分析: 2 f(x)=x +x+ 的对称轴 解答: 解:∵ ∴ 故选 A.

穿过 x∈[﹣1,1],故当 ,x∈[﹣1,1], ,即 ,

时 f(x)有最小值,易求 ;



点评:本题考查二次函数的性质,解决的方法是配方法,而其对称轴恰好穿过给定区间,故其最小值立现,属于容 易题. 二.填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.定义运算 ,若复数 z 满足 ,其中 i 为虚数单位,则复数 z= 1﹣i .

考点:二阶行列式的定义;复数代数形式的乘除运算。 专题:计算题。 分析:设出要求的复数,根据条件中定义的行列式,写出含有复数的行列式的结果,根据复数相等的充要条件,写 出关于所设的复数的实部和虚部的方程,解方程即可. 解答:解:设 z=a+bi ∵行列式的运算定义为 ∴ 等价于 zi+z=2, ,

∴(a+bi)i+(a+bi)=2, ∴a﹣b+(b+a)i=2, ∴a+b=0,a﹣b=2, ∴a=1,b=﹣1, ∴z=1﹣i, 故答案为:1﹣i. 点评:本题是一个新定义问题,考查同学们的理解能力,考查复数相等的充要条件,是一个综合题,解题的关键是 理解行列式的定义. 12.如图,数表满足: (1)第 n 行首尾两数均为 n; (2)表中递推关系类似杨辉三角,记第 n(n>1)行第 2 个数为 f(n) .根据表中上下两行数据关系,可以求得当 n≥2 时,f(n)= .

考点:数列递推式。 专题:阅读型;探究型。 分析:依据“中间的数从第三行起,每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的 和,即有 an+1=an+n(n≥2) ,再由累加法求解. 解答:解: (1)依题意 an+1=an+n(n≥2) 2=2 ,a 所以 a3﹣a2=2a4﹣a3=3,an﹣an﹣1=n 累加得 所以 当 n=2 时 (n>2) ,也满足上述等式

故 点评:本题通过三角数表构造了一系列数列,考查了数列的通项及求和的方法,还考查了数列间的关系,入题较难, 知识点,方法活,属中档题
2 2 n

13 设函数 f(x)=n x (1﹣x) (n 为正整数) ,则 f(x)在[0,1]上的最大值为



考点:利用导数求闭区间上函数的最值。 专题:计算题。 分析: 对函数求导,令导数 f′(x)=0,解得 x 的值,分析导函数的符号,确定函数在点 x=

取极大值,即函数

的最大值,代入函数解析式即可求得结果. ﹣ ﹣ ﹣ 解答:解:f′(x)=2n2x(1﹣x)n﹣n×n2x2(1﹣x)n 1=n2x(1﹣x)n 1(2﹣2x﹣nx)=﹣n2x(1﹣x)n 1[(n+2) x﹣2]=0 得 x=0,或 x=1,或 x= f(x)在[0,1]上是 x 的变化情况如下: ∴f(x)在[0,1]上的最大值为

故答案为: 点评:此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题,注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键,考查运算能 力,属中档题.

14.设 ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且 a1 +a2 +…an =1,x1 +x2 +…xn =1,则 以下结论,其中你认为正确的是 ③⑤ . ①都大于 1②都小于 1③至少有一个不大于 1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1.

2

2

2

2

2

2

的值中,现给出

考点:分析法和综合法;反证法。 专题:证明题。 分析:由题设中的条件对各个结论进行判断,其中①②可用同一方法判断,③⑤两结论分别与①②两结论对立,由 ①②的正误可判断③⑤的正误,④中包含①,且与⑤矛盾,易判断 解答: 2 2 2 2 2 2 解:由题意 ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且 a1 +a2 +…an =1,x1 +x2 +…xn =1,对于 的 值中, 2 2 2 若①成立,则分母都小于分子,由于分母的平方和为 1,故可得 a1 +a2 +…an 大于 1,这与已知矛盾,故①不 对; 2 2 2 若②成立,则分母都大于分子,由于分母的平方和为 1,故可得 a1 +a2 +…an 小于 1,这与已知矛盾,故②不 对; 由于③与①两结论互否,故③对

④不可能成立,

的值中有多于一个的比值大于 1 是可以的,故不对

⑤与②两结论互否,故正确 综上③⑤两结论正确 故答案为③⑤ 点评:本题考查分析法与综合法,解题的关键是理解分析法与综合法的逻辑内含,结合题设条件对题设中所给的结 论作出判断

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分) 15. (1)求定积分∫1 |x ﹣2|dx 的值; (2)若复数 z1=a+2i(a∈R) 2=3﹣4i,且 ,z 为纯虚数,求|z1|
﹣2

2

考点:复数求模;定积分。 专题:计算题。 分析:(1)根据所给的式子是一个带有绝对值的式子,根据所给的 x 的范围,写出去掉绝对值以后的两个式子的 定积分之和,做出结果. (2)先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,求出复数的代数形式,根据这是一个纯 虚数,得到实部等于 0,求出 a 的值,进而求出复数的模长. 1 2 解答:解: (1)∫ |x ﹣2|dx= +
﹣2

= 故定积分是

+

=

(2)

=

=

=

∵这个复数是一个纯虚数, ∴3a﹣8=0, ∴a= ∴|z1|= =

故复数的模长是 点评:本题考查求定积分和求复数的模长,这是两个经常出现的知识点,特别是求复数的模长,可以作为一个客观 题目出现在一些重要试卷中.

16.现要制作一个圆锥形漏斗,其母线长为 l,要使其体积最大,求高为多少? 考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。 专题:计算题。 分析:设圆锥形漏斗的高为 h,我们可以表示出底面半径 r,进而得到圆锥体积的表达式,利用导数法,易得到体积 取最大值时,高 h 与母线 l 之间的关系.

解答: 解:设圆锥形漏斗的高为 h,则圆锥的底面半径为 则圆锥的体积 V= ?π(l ﹣h )?h= 则 V′=﹣πh + 令 V′=0 则 ∵0<h<l ∴当高 时,
2 2 2

(0<h<l)

h+

3

点评:本题考查的知识点是圆锥的体积,函数的最值,导数法在求函数最值中的应用,其中设出漏斗的高为 h,表 示出底面半径 r,进而得到圆锥体积的表达式,建立函数数学模型是解答本题的关键.

17.已知函数 (1)求 f(x)的单调区间; (2)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b,恒有 .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题:计算题;证明题。 分析:(1)先求出函数 f(x)的定义域,再求出函数 f(x)的导数和驻点,然后列表讨论,求函数 f(x)的单调 区间和极值. (2)欲求在点(1,f(1) )处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在 x=1 处的导函数 值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (3)所证不等式等价为 ,而 ,设 t=x+1,则

,由(1)结论可得,F(t)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,从而得到证 明. 解答: 解: (1)∵函数





由 f′(x)>0? x>0;由 f′(x)<0? ﹣1<x<0; ∴f(x)的单调增区间(0,+∞) ,单调减区间(﹣1,0) (2) ,

当 x=1 时,y'= 得切线的斜率为 ,所以 k= ; 所以曲线在点(1,f(1) )处的切线方程为: y﹣ln2+ = ×(x﹣1) ,即 x﹣4y+4ln2﹣3=0.

故切线方程为 x﹣4y+4ln2﹣3=0 (3)所证不等式等价为 而 ,设 t=x+1,则 ,

由(1)结论可得,F(t)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增, 由此 F(t)min=F(1)=0, 所以 F(t)≥F(1)=0 即 记 代入得: 得证. 点评:本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单 调性等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. ,

18. (提示:请从以下两个不等式选择其中一个证明即可,若两题都答以第一题为准) (1)设 ai∈R+,bi∈R+,i=1,2,…n,且 a1+a2+…an=b1+b2+…bn=2,求证:

(2)设 ai∈R+(i=1,2,…n) ,求证:



考 不等式的证明。 点 : 专 证明题。 题 : 分 析 (1)欲证不等式的左式= : = 结合柯西不等式即可得

到证明. 2 2 2 2 2 2 (2)先由排序不等式,得:a1 +a2 +…+an ≥a1a2+a2a3+…+ana1,a1 +a2 +…+an ≥a1a3+a2a4+…+ana2 两式相加后结合 柯西不等式即可得到证明. 解 答 证明: (1)左式= : =

= (2)由排序不等式,得:a1 +a2 +…+an ≥a1a2+a2a3+…+ana1,a1 +a2 +…+an ≥a1a3+a2a4+…+ana2 2 2 2 两式相加:2(a1 +a2 +…+an )≥a1(a2+a3)+a2(a3+a4)…+an(a1+a2) ,从而
2 2 2 2 2 2

≥(a1+a2+…an) ,即证. 点 本小题主要考查不等式的证明、排序不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思 评 想.属于基础题. :

2

19.设数列{an}满足:an+1=an ﹣nan+1,n=1,2,3,… (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4 并由此猜测 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明对所的 n≥1,有 ①an≥n+2 ②

2

考点:数学归纳法;归纳推理。 专题:证明题。 分析:本题考查的知识点是归纳推理和数学归纳法. 2 (1)由列{an}满足:an+1=an ﹣nan+1,n=1,2,3,…及 a1=2,我们易得到 a2,a3,a4 的值,归纳数列中每一 项的值与序号的关系,我们可以归纳推理出 an 的一个通项公式. (2)①an≥n+2 的证明可以使用数学归纳法,先证明 n=1 时不等式成立,再假设 n=k 时不等式成立,进而论 证 n=k+1 时,不等式依然成立,最终得到不等式 an≥n+2 恒成立.②的证明用数学归纳法比较复杂,观察到 不等式的结构形式,可采用放缩法进行证明. 2 解答:解(1)由 a1=2,得 a2=a1 ﹣a1+1=3 2 由 a2=3,得 a3=a2 ﹣2a2+1=4 2 由 a3=4,得 a4=a3 ﹣3a3+1=5 由此猜想 an 的一个通项公式:an=n+1(n≥1) (2) (i)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立,即 ak≥k+2,那么 ak+1=ak(ak﹣k)+1≥(k+2) (k+2﹣k)+1=2k+5≥k+3. 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1≥(k+1)+2 据①和②,对于所有 n≥1,有 an≥n+2. (ii)由 an+1=an(an﹣n)+1 及(i) ,对 k≥2,有 ak=ak﹣1(ak﹣1﹣k+1)+1≥ak﹣1(k﹣1+2﹣k+1)+1=2ak﹣1+1 k﹣1 k﹣2 k﹣1 ak≥2 a1+2 ++2+1=2 (a1+1)﹣1 于是 ,k≥2

点评:归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确 表达的一般性命题(猜想) .但归纳推理的结论不一定正确,我们要利用数学归纳法等方法对归纳的结论进 行进一步的论证.



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