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2015-2016学年北师大版选修4-4 极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化 (29张)



§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念

2.2 点的极坐标与直角坐标的互化

1.极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立:如图在平面内 极点 ,从O点 取一个定点O,叫作_____ 引一条射线Ox,叫作_____ 极轴 ,选定一 个单位长度和角的正方向(通常取逆 平面极坐标系 ,简称为 时针方向).这样就确定了一个____________

__ 极坐标系 . _________ (2)极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面内任意一 线段OM的长 ,θ表示_________________ 以Ox为始边、OM 点M,用ρ表示_____________ 为终边的角度 极径 ,θ叫作点M的 _____________,ρ叫作点M的_____ 极角,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的_______ 极坐标 _____ ,记作

_________.

M(ρ,θ) 当点M在极点时,它的极径________ ρ=0 ,极角θ __________ 取任意值 . 可以__________ 2.极坐标和直角坐标的互化 ①极坐标系中的极点与直角坐标系 (1)互化的前提条件: _______________________________ 中的原点重合;②极轴与 x轴的正半轴重合;③两种坐标 __________________________________________________ 系取相同的长度单位 ____________________.
2 2 2 ρ = x + y , ? (2)互化公式: ? ? x = ρ cos θ , ? ? ? y ? ?y=ρsin θ ; ?tan θ = (x≠0). x ? ________________________________

【思维导图】

【知能要点】
1.极坐标系的四要素. 2.点的极坐标的写法. 3.极坐标和直角坐标的互化.

题型一

极坐标系的概念与点的极坐标

1.极坐标系的概念 极坐标系的建立有四个要素:①极点;②极轴;③单位长 度;④角度单位和它的正方向.四者缺一不可. 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置. 2.点的极坐标:每一个有序实数对(ρ,θ)确定一个点的位

置.其中,ρ是点M的极径,θ是点M的极角.
平面上给定一点,可以写出这个点的无数多个极坐标.根

据点的极坐标(ρ,θ)的定义,对于给定的点(ρ,θ)有无数 个极坐标,可分为两类,一类为(ρ,θ+2kπ) (k∈Z),另 一类为(-ρ,θ+2kπ+π) (k∈Z).

在极坐标(ρ,θ)中,一般限定ρ≥0.当ρ=0时,就与极点重
合,此时θ不确定.给定点的极坐标(ρ,θ),就唯一地确 定了平面上的一个点.但是,平面上的一个点的极坐标并

不是唯一的,它有无穷多种形式.由此可见,平面上的点
与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标 的不同之处.如果限定ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,平面 上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.

【例1】 写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标 (ρ>0,0≤θ<2π).



对每个点我们先看它的极径的长,再确定它的极角,

因此这些点的极坐标为
? π ? A ?7, 6 ? ? ? 3π ? ? ? , B ?4, 4 ? ? ? 3π ? ),G?9, 2 ? ? ? 7π ? ? ? , C ?5, 6 ? ? ? ? ?. ? ? ? 7π ? ? ? , D ?6, 4 ? ? ? ? ? , E(9 , 0) , ?

F(3,π

【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序:极径ρ在前,

极角θ在后,不能把顺序搞错了.
(2)点的极坐标是不唯一的,但若限制ρ>0,0≤θ<2π,则除 极点外,点的极坐标是唯一确定的.

1.写出下列各点的极坐标.



? π ? A(4, 0), B?1, 3 ?

? ? 2 ? ? 13 ? ? 5 ? ? C?3,3π ?, D?4,12π ?, E?2,4π ?, ?, ? ? ? ? ? ? ?

? ? 3 ? 5 ? F?3,2π ?,G?4,3π ?. ? ? ? ?

【例2】在极坐标系中,作出下列各点: ? ? ? π? π? 3π ? ? ? ? ? ? ? A?2, ?,B(6,-120°),C?1, ?,D?4,- ,E(4, ? 6? 3? 4 ? ? ? ? 0), F(2.5,180°).



各点描点如图所示

【反思感悟】 知道点的极坐标(ρ,θ),我们可以先根据极

角θ确定方向(射线),然后根据ρ来确定距离,进而描出
(ρ,θ)的对应点.

2. 在极坐标系中,写出点 A , B , C 的极坐标,并标出点 ? ? ? π? 5π ? 5π ? ? ? ? ? ? ? D?3, ?,E?4, , F 所在的位置. 2, ? ? ? 6? 6 ? 3 ? ? ? ?



由图可得点 A,B,C
? ? ?. ?

? π ? 的极坐标分别为(1,0),?3, 2 ?

? ? ?, ?

? 5π ? ?5, 4 ?

点D,E,F的位置如上图所示.

【例3】在极坐标中,若等边△ABC 的两个顶点是
? 5π ? ? ? B?2, ?,那么顶点 C 的坐标可能是 4 ? ? ? ? 3π ? 3π ? ? ? ? ? A.?4, B. ?2 3, 4 ? 4 ? ? ? ? ?

? π ? A?2, 4 ?

? ? ?, ?

(

)

C.(2 3,π )

D.(3,π )

解析

如图所示,由题设可知A、

B两点关于极点O对称,即O是AB 的中点.

π 又|AB|=4,△ABC 为正三角形,|OC|=2 3,∠AOC= , 2 π π 3π π π π C 对应的极角 θ= + = 或 θ= - =- ,即 C 4 2 4 4 2 4 ? ? 3π? π? ? ? ? ? 点极坐标为?2 3, 或 2 3,- ?. ? ? 4 ? ? 4? ?

答案

B

【反思感悟】 在找点的极坐标时,把图形画出来,可以
帮助我们解决问题,从图形中很容易找到极角和极径.这 一点跟直角坐标系中的方法是一致的,数形结合.

3. 点 M
标是

? π ? 的极坐标是?-2,- 6 ?

? ? 它关于直线 ?, ?

π θ= 的对称点坐 2 ( ).

? 11π ? ? ? A.?2, 6 ? ? ? ? π? ? ? C.?2,- ? 6? ?

? 7π ? ? ? B.?-2, 6 ? ? ? ? 11π ? D.?-2,- 6 ?

? ? ? ?

当 ρ<0 时,我们找它的极角应按 ? π? ? 反向延长线上去找.描点 ?-2,- ? 6? ? ? π 时,先找到角- 的终边.又因为 ρ= 6 - 2<0 ,所以再沿反向延长线上找到离 极点 解析

2

? π? ? 个单位的点即是点?-2,- ? ?. 6 ? ?

π π 直线 θ= ,就是由极角为 的那些点的集合. 2 2
? π π? ? ? 故 θ= 的对称点为 M′?2, ?,但 2 6? ? 是选择支没有这样的坐标. ? ? π? 7π? ? ? ? ? 又因为 M′?2, ?的坐标还可以写成 M′?-2, ,故选 B. 6? 6 ? ? ? ? ? π? ? ? M?-2,- ?关于直线 6? ?

答案

B

题型二

两点间的距离公式

一般地,设 A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),由余弦定理可得到两点
2 间的距离公式|AB|= ρ 1 +ρ2 2-2ρ1ρ 2cos(θ1-θ2). ? ? π? 5π ? ? ? ? ? 【例4】已知 A、B 两点的极坐标分别是?2, ?,?4, ,求 A、 ? 3? ? 6 ? ? B 两点间的距离和△AOB 的面积.

求两点间的距离可用如下公式: ?5π π? ? ? |AB|= 4+16-2×2×4×cos? - ?= 20=2 5. 3? ? 6 ?5π ? π? 1 1? ? ? ?? 1 S△AOB= |ρ 1ρ 2sin(θ1-θ2)|= ?2×4×sin? - ?? = 2 × 2 2 2? 6 3 ?? ? ×4=4. 【反思感悟】 求两点间距离可以直接套用公式,求三角形 1 面积时可以结合公式 S= ·absin θ考虑. 2



? π ? 4.已?5, 2 ?

? ? ?知三点 ?

? ? 11 ? 7 ? A,B?-8, 6 π ?,C?3,6π ?,则△ABC ? ? ? ?

的形状为________.

答案

等边三角形

题型三

极坐标与直角坐标的互化

我们把极轴与平面直角坐标系xOy的正半轴重合,且两种 坐标系取相同的长度单位,设P(x,y) 是平面上的任一点,如图所示,则
? ?x=ρcos ? ? ?y=ρsin

θ , θ .



2 2 ? ρ = x + y , ? 从①可得? y tan θ =x (x≠0) ? ?



①与②是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标

(x,y)与极坐标(ρ,θ)之间的换算公式.

【例5】 (1)把点 M

? π ? 的极坐标?-5, 6 ?

? ? ?化成直角坐标; ?

(2)把点 N 的直角坐标(- 3,-1)化成极坐标. π π 5 5 解 (1)x=-5cos =- 3,y=-5sin =- . 6 2 6 2 ? 5 5? ∴点 M 的直角坐标是?-2 3,-2?. ? ?

-1 3 (2)ρ= (- 3) +(-1) =2,tan θ = = . - 3 3
2 2

7 又∵点 N 在第三象限,ρ>0.∴最小正角 θ= π . 6 ? 7 ? 故点 N 的极坐标是?2,6π ?. ? ?

【反思感悟】 把极坐标化成直角坐标,直接代入公式即 可;把直角坐标化为极坐标,通常有不同的表示法(极角 相差2π的整数倍),一般只要取θ∈[0,2π),ρ>0即可.

5.(1)把点 M

? 2π ? 的极坐标?8, 3 ?

? ? ?化成直角坐标; ?

(2)把点 P 的直角坐标( 6, - 2)化成极坐标. (ρ>0, 0≤θ<2 π) 分析

本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应

用. 2π 2π 解 (1)x=8cos =-4,y=8sin =4 3,因此,点 M 3 3
的直角坐标是(-4,4 3). - 2 3 (2)ρ= ( 6) +(- 2) =2 2,tan θ = =- , 3 6 11π 又因为点在第四象限,得 θ= .因此,点 P 的极坐标为 6 ? 11π ? ? ? ?2 2, 6 ?. ? ?
2 2

? 1. 在极轴上与点? ?4 ?

π? ? 2, ?的距离为 5 的点的坐标是_______. 4?

解析

设所求点的坐标为(ρ,0),则 π 2 2 ρ +(4 2) -2×4 2ρcos 4 =5.

即ρ2-8ρ+7=0,解得ρ=1或ρ=7.∴所求点的坐标为(1, 0)或(7,0). 答案 (1,0)或(7,0)

2.在直角坐标系中,已知点 A(-3,3 3),B(3 3,3).
将 A、B 两点的直角坐标化为极坐标.
解 直接根据互化公式,可得 A
? ? ?. ? ? π ? 坐标为?6, 6 ? ? 2 ? 的极坐标为?6,3π ?,B ? ?

的极

3. 中央气象台在2010年7月15日发布的一则台风消息:今年 第2号热带风暴“康森”的中心今天晚上八点钟已经移到了 距离万宁市东南方大约380千米的南海海面上,中心附近 最大风力有12级.请建立适当的坐标系,用坐标表示出该 台风 中心的位置(ρ≥0,0≤θ<2π).
解 以万宁市所在地为极点, 正东方 向为极轴(单位长度为 1 千米)建立极 坐标系, 则该台风中心的位置的极坐 ? 7 ? 标为 A?380,4π ?. ? ?

4.已知点Q(ρ,θ),分别按下列条件求出点P的极坐标. (1)点P是点Q关于极点O的对称点;
π (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ= 的对称点. 2



(1)由于P、Q关于极点对称,得它们的极径|OP|=

|OQ|,极角相差(2k+1)π(k∈Z).所以,点P的极坐标为

(ρ,(2k+1)π+θ)或(-ρ,2kπ+θ)(k∈Z).
π (2)由 P、 Q 关于直线 θ= 对称, 得它们的极径 |OP|=|OQ|, 2 点 P 的极角 θ′满足 θ′=π -θ+2kπ (k∈Z),

所以点P的坐标为

(ρ,(2k+1)π-θ)或(-ρ,2kπ-θ)(k∈Z).

[P10练习]

在极坐标中,点(ρ,θ)与点(-ρ,π-θ)有什么关系?
答 关于极轴对称.

设M点坐标为(ρ,θ),为直 观,以极点为原点,以x轴的正 方向与极轴建立直角坐标系,不 难看出与M点关于y轴对称的点

M1的坐标为(ρ,π-θ)
M1关于极点对称的点M2的坐标为(-ρ,π-θ) 则M2与M关于极轴对称,如图所示.

【规律方法总结】
1.建立极坐标系可以确定点的位置和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示.规定ρ>0,

0≤θ<2π,则除极点外,平面内的点和极坐标一一对应.
2.利用极坐标可以刻画点的位置,有时比直角坐标方 便,在台风预报、测量、航空、航海中主要采用这种方 法. 3.以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极

轴,并且取相同的长度单位,平面内一点的直角坐标和极
坐标可以进行互化.



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