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新课标2-1同步练习2.4.2抛物线的简单性质



2.4.2
一、基础过关

抛物线的简单几何性质
)

1.设点 A 为抛物线 y2=4x 上一点,点 B(1,0),且|AB|=1,则 A 的横坐标的值为( A.-2 C.-2 或 0 B .0 D.-2 或 2

2.以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与 x 轴垂直的弦)长为 8,若抛物线

的顶点 在坐标原点,则其方程为 A.y2=8x C.y2=8x 或 y2=-8x B.y2=-8x D.x2=8y 或 x2=-8y ( )

y1y2 3. 经过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1, y1)、 B(x2, y2)两点, 则 x1x2 的值是 A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 ( )

4.过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线上的射 影为 A1、B1,则∠A1FB1 等于 A.45° B.90° C.60° D.120° ( )

5. 等腰 Rt△ABO 内接于抛物线 y2=2px (p>0), O 为抛物线的顶点, OA⊥OB, 则 Rt△ABO 的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 ( )

6.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2).若 x1+x2=6,则|AB|=________. 7.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m, 水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽________ m. 二、能力提升 8.如图所示,过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物 线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛 物线的方程为 3 A.y2= x 2 9 C.y2= x 2 B.y2=3x D.y2=9x ( )

9.已知△ABC 的三个顶点都在 y2=32x 上,A(2,8),且这个三角形的重心与抛物线的焦 点重合,则直线 BC 的斜率是________. 10.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=2px (p>0)上,求这 个正三角形的边长.

11.线段 AB 过 x 轴正半轴上一定点 M(m,0),端点 A、B 到 x 轴的距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线.求抛物线的方程. 12.已知过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2) (x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值. 三、探究与拓展 13.已知过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,设 A(x1,y1), B(x2,y2),则称 AB 为抛物线的焦点弦. p2 求证:(1)y1y2=-p2;x1x2= ; 4 1 1 2 (2) + = ; |FA| |FB| p (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

答案
1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.8 7.2 6 8.B 9.-4 10.解 如图所示,设正三角形 OAB 的顶点 A,B 在抛物线上,且坐标 分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 则 y2 1=2px1,y2=2px2. 2 2 2 又 OA=OB,所以 x1 +y2 1=x2+y2, 2 即 x2 1-x2+2px1-2px2=0.

整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. ∵x1>0,x2>0,2p>0,∴x1=x2. 由此可得|y1|=|y2|, 即线段 AB 关于 x 轴对称. 由此得∠AOx=30° ,∴y1= 3 x. 3 1

与 y2 1=2px1 联立,解得 y1=2 3p, ∴AB=2y1=4 3p. 11.解 画图可知抛物线的方程为 y2=2px (p>0), 直线 AB 的方程为 x=ky+m,
2 ? ?y =2px 由? ?x=ky+m ?

消去 x,整理得 y2-2pky-2pm=0, 由根与系数的关系得 y1y2=-2pm, 由已知条件知|y1|· |y2|=2m, 从而 p=1,故抛物线方程为 y2=2x. p? 2 2 2 12.解 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2? ?x-2?,与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p = 0, 5p 所以 x1+x2= ,由抛物线定义得 4 |AB|=x1+x2+p=9,所以 p=4,抛物线方程为 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0,化简得 x2-5x+4=0,

从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2, y2=4 2,从而 A(1,-2 2), B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(1+4λ,-2 2+4 2λ), 又 y2 3=8x3, 即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2. 13.证明 如图所示. p ? p (1)抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F? ?2,0?,准线方程:x=-2. p 设直线 AB 的方程为 x=ky+ ,把它代入 y2=2px,化简,得 2 y2-2pky-p2=0.∴y1y2=-p2,
2 y2 ?y1y2?2 ?-p ? p2 1 y2 ∴x1x2= · = = = . 2p 2p 4p2 4p2 4 2 2

p (2)根据抛物线定义知|FA|=|AA1|=x1+ , 2 p |FB|=|BB1|=x2+ , 2 ∴ 1 1 1 1 + = + |FA| |FB| p p x1+ x2+ 2 2 2 2 + 2x1+p 2x2+p 2?2x2+p?+2?2x1+p? ?2x1+p??2x2+p? 4?x1+x2?+4p 4x1x2+2p?x1+x2?+p2 4?x1+x2+p? 2 = . 2p?x1+x2+p? p

= = = =

(3)设 AB 中点为 C(x0,y0),过 A、B、C 分别作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1, C 1. 1 则|CC1|= · (|AA1|+|BB1|) 2 1 1 = (|AF|+|BF|)= · |AB|. 2 2 ∴以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.



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