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直线与抛物线的位置关系



§2.4.2 直线与抛物线的位置关系

一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离;2、相切;3、相交(一个交点, 两个交点)

y

与双曲线的 情况一样

O

x

例 1、已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 过 定点 P ( ?

2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛 物线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共 点;⑶没有公共点?

?

几何画板演示

注意: 直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形:

一种是直线平行于抛物线的对称轴;
另一种是直线与抛物线相切.

结论:相切一交点,一个交点不一定相切。

结论:判断直线与抛物线位置关系的方法 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行(重合)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交(一个交点)

相交

相切

相离

变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线 l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共 点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值是多少?

分析:本题与例1类型相似,方法一样,通 过联立方程组求得.

(1)b=1

(2)b<1

(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值当直线与抛物线相切时取得.其值 为1

二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值 本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时 斜率的最值问题. 1
y ?1 z? x?2

kmax ?

2

kmin ? ?1

三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最 值. 本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值 问题.

zmin ? ?1 无最大值

例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?
法一:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(一般方法);
法二:设而不求,数形结合,活用定义,体现转化思想,运 用韦达定理,计算弦长.

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1
y

A’

A O F B
x

代入方程y 2 ? 4 x, 得( x ? 1)2 ? 4 x, 2 化简得x ? 6 x ? 1 ? 0. ? x1 ? x2 ? 6 ? ? B’ ? x1 ? x2 ? 1
? AB ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8

所以,线段 的长是8。 AB

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法二:由题意可知, p p ? 2, ? 1, 准线l : x ? ?1. 2
y

A’

A O F
x

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到
由抛物线的定义可知

准线l的距离分别为 A , d B . d

B’ B p AF ? d A ? x1 ? ? x1 ? 1, 2 p BF ? d B ? x 2 ? ? x 2 ? 1, 2 所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? 2 ? 8

题后感悟: 一.求抛物线弦长的一般方法 ①用直线方程和抛物线方程列方程组; ②消元化为一元二次方程后,应用韦达定理, 求根与系数的关系式,而不要求出根,代入
AB ?

?1 ? K ???x1? x 2? - 4 x x ? ? ? ? ?
2 2 1 2

二.若弦过焦点,即为焦点弦则据定义转化为 |AB| = x1+x2 +p或|AB| =y1+y2+p.结合②中的结 可求解。体现了转化思想。

过抛物线y2 =4x的焦点作直线交抛物线于点 A(x1 ,y1),B(x2 ,y2),若|AB|=7,求AB的 中点M到抛物线准线的距离.
解析: 抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1. p p 由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2 =x1+x2+p, 即 x1+x2+2=7,得 x1+x2=5,于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 5 5 7 2,因此点 M 到抛物线准线的距离为2+1=2.

课堂练习:
y2 = 8x 1.过抛物线 的焦点,作倾斜角为
45 0

的直线,则被抛物线截得的弦长为_________

16

2.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的 直线的方程是__________________________.

y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1
?y ? k x?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

点评:本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合,找出符合条件的直线的条数,就不会 造成漏解。

小结: 1.直线与抛物线的位置关系:相离、相切、相交。 2.研究方法:方程组解的个数就是交点个数。注意二次 项系数可能为0. 3.弦长公式: AB ? ?1 ? K ???x1? x 2? - 4 x x ? ? ? ? ?
2 2 1 2

AB 焦点弦长: ?

x ?x ?p
1 2

作业:P136 2、3



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