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第19讲 数列的性质



高中数学奥林匹克与数学自主招生讲义(暑假)

《第一讲

数列的性质》

第一讲

数列的性质

一、知识要点 一个定义域为正整数集合(或其子集)的函数,自变量从小到大依次取正整数时,相 应的得到一列函数值就组成数列,因此,数列是一类特殊的函数值,研究数列是函数研究的 继续,本讲我们从函数观点,来研究数列的有关性质以及在解题过程中的应用,涉及数列性 质的问题主要包括:数列项有界性、单调性、最值、周期性问题及其他问题(例如整数问题, 整点问题,高斯函数背景下的数列问题等). 二、典例分析 1.数列的有界性 例 1.设 f ( x) ? (1) 求 Sn (2) 是否存在常数 M>0,使

4x 1 2 3 , sn ? f ( ) ? f ( ) ? f ( )+ 4 ?2 n n n
x

+f (

n ?1 ), (n ? 2,3 ) n

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

1 Sn ?1

?M.

例 2.试证明数列 an ? n sin

1 是有界数列. n

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探究 2:对于数列 ?an ? ,如果存在常数 M>0,使得当 n ? N ( N ? N ? ) 时,恒有 an ? c ? M (c 为常数),则数列 ?an ? 是有界数列吗?

?a ? 探究 3:如果正数数列 ?an ? , ?bn ? 为有界数列,则数列 ?an ? bn ? , ?an ? bn ? , ?an .bn ? , ? n ? 是 ? bn ?
有界数列吗?

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例 3 . (2013 年 华 约 ) 数 列 ?an ? 的 各 项 都 为 正 数 , 且 对 任 意 的 n ? N ? , 满 足 , an?1 ? an ? can 2 (c ? 0且c为常数) (1)求证:对任意正数 M 存在 N ? N ? ,当 n ? N 时,有 an ? M ; (2)设 bn ?

1 ,前 n 项的和为 s n ,求证:对任意的 d ? 0 ,存在 N ? N ? ,当 n ? N 时 1 ? can

有 0 ? sn ?

1 ?d . ca1

2.数列的最值 例 4.设 an ? (n2 ? 994)(

994 n ) (n ? N ? ) ,求 n 为何值时, an 取最大值. 995

探究 5:求数列的最值常见的方法有哪些?

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例 5.数列 an ? n ? 少?

n ? 2007 33 的最小项是多少?数列 an ? 的最大项,最小项分别是多 n n ? 2008

例 6. 已知数列 a1 , a2 , a3 ,

an …. .的第 n 项由 an ? ?n2 ? 11n ? 12 所确定,求数列 ?an ? 的

前 n 项和 s n 的最大值及取最值对应的 n 值.

3.数列的单调性 例 7.设 an ? ?

1 ,证明:当正整数 n ? 2 时, an 为单调递减数列. k ?1 k ( n ? 1 ? k )

n

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例 8.求出所有的 a0 ? R ,使得由 an?1 ? 2n ? 3an ( n ? N )所确定的数列 a0 , a1 , a2 ,......an 是递 增的

例 9.已知数列满足递推关系: an?1 ? 2an ? 3 n ? N ? ,且 a1 ? 2 , (1) 求证: 3 ? an?1 ? (2) 求证: an ? an?1

?

?

2 (3 ? an ) 3

?n ? N ?
?

例 10.利用数列单调性证明不等式: (1 ? 1) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?

1 4

1 7

(1 ?

1 ) ? 3 3n ? 1 . 3n ? 2

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4.数列的周期性 例 11.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? 1 ?
2013 1 (n ? N ? ) ,求 ? ai . an i ?1

例 12.设数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an an?1 an? 2 ? an ? an ?1 ? an ? 2 (an ?1an ? 2 ? 1) , ? ai
i ?1

2016

变式:设数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, , a3 ? 2 ,

an an ?1 an ? 2 an ?3 ? an ? an?1 ? an? 2 ? an?3 (an?1 an? 2 an?3 ? 1) , ? ai .
i ?1

100

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5.数列的其他问题 例 13.求删去正整数列 ?n? 中的完全平方数得到的新数列的第 2003 项.

例 14.(2005 年上海交通大学自主招生)对于数列 ?an ? :1,3,3,3,5,5,5,5,5,7,7, 7,7,7,7,7……. .,即正奇数 k 有 k 个,是否存在整数 r,s,t,使得对于任意的正整数 n,

? 都有 an ? r ? ? n ? s ? ? t 恒成立. ( ? x? 表示不超过x的最大整数 ).

例 15. 已知 a1 ? 1 , a2 ? 3 , an? 2 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an ,求证: 必存在正整数 N , 当 n ? N , 9 an .

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三、习题演练 1.证明: 数列f (n) ?

1 1 sin 是有界数列. n n

2.设 x1 ? 0, 数列 ?xn ? 满足: xn ?1 ?

3(1 ? xn ) , 求证: ?xn ? 是单调数列有界数列. 3 ? xn

?n? ?n? 3.利用数列单调性证明: ? ? ? n ! ? ? ? (n ? 6) . ?2? ?3?

n

n

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4.已知数列 ?an ? 满足 a0 ? 1, an ? an?1 ? an? 2 (n ? 0,1, 2,3.....) ,试求满足下列条件的首项 a1 (1) 数列 ?an ? 都是正项; (2) 数列 ?an ? 是有界数列.

5.(2011 年华东师大).设数列 ?an ? : an ?1 ? (1) 当 n ? 2 时, an ? c . (2) 当 n ? 2 时, an ? an?1 .

an c2 ? , a1 ? 0, a1 ? c, c ? 0 是常数,证明: 2 2an

6. a1 , a2 , a3 ,

an 是各不相同的自然数, a ? 2 ,
? ? ?

?1? ?1? ? 1? 求证: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ?

? 1 ? ? ? ? ? 2. ? an ?

?

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7. 设数列 ?an ? 前 n 项和是 Sn , 且 an? 2 ? an?1 ? an (n ? N? ) ,S1492 ? 1985, S1985 ? 1492, 求 S2012 .

a1 ? a, a2 ? b(a ? b ? 0) , 8. 实数列 ?an ? 满足条件: 求证: 数列 ?an ? an?2 ? an?1 ? an (n ? N? ) ,
为周期数列.

9.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3, an? 2 ? an ? 2 ,求 a2007 .



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