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高中数学 2.1.5 平面上两点间的距离课件 苏教版必修2



思考:已知平面上两点 P ,如何求 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的距离 | P ? P 1, P 2 1, P 2 | 两点间的距离公式 两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 2 2 |P P | ? ( x ? x ) ( y ? y ) . 1 2 2 1 2 1 特别地,原点O(0,

0)与任一点P(x,y)间的距离 | OP |? x ? y . 2 2 例1 已知点 A(?1,2), B(2, 7 ) ,在x轴上求一点P,使 | PA |?| PB | ,并求|PA|的值. 解: 设所求点为 P( x,0) ,于是有 | PA |? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ? x 2 ? 2 x ? 5, | PB |? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 7 ) 2 ? x 2 ? 4 x ? 11, 由 | PA |?| PB | 得 x ? 2x ? 5 ? x ? 4x ? 11, 2 2 解得 x=1. 所以,所求点为P(1,0),且 | PA |? (1 ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 . 例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条 对角线的平方和. 分析: 1、建立适当的坐标系,用坐标表示平行四边形 的四个顶点. 2、分别计算平行四边形的各边和各对角线的 长度. 3、比较四条边的平方和与两条对角线的平方 和. 解: 如图,以顶点A为坐标原点,AB边所在直线为x 轴, 建立直角坐标系,有A(0,0). 设B(a,0),D(b,c),则点C的坐标为(a+b, c),因为 | AB |2 ? a 2 , | CD |2 ? a 2 , | AD | ? b ? c , | BC | ? b ? c , 2 2 2 2 2 2 | AC |2 ? (a ? b)2 ? c 2 , | BD |2 ? (b ? a)2 ? c 2 , 所以 | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ? 2(a 2 ? b2 ? c 2 ) 2 2 2 2 | AC | ? | BD | ? 2(a ? b ? c ), 2 2 2 2 2 所以 | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC| ? | BD | 2 2 2 2 2 2 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和. 例2 设P为矩形ABCD所在平面上任意一点, 求证: | PA |2 ? | PC |2 ?| PB |2 ? | PD |2 P( x, y) 证明: 建立坐标系,并设各点坐标为A(a,b),B(-a,b), C(-a,-b),D(a,-b),P(x,y). 则 | PA |2 ? | PC |2 ? (a ? x)2 ? (b ? y)2 ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 2(a ? b ? x ? y ) 2 2 2 2 | PB | ? | PD | ? (a ? x) ? (b ? y) ? ( x ? a) ? ( y ? b) 2 2 2 2 2 2 ? 2(a2 ? b2 ? x2 ? y 2 ) 因此 | PA |2 ? | PC |2 ?| PB |2 ? | PD |2 课后练习 1、已知三角形ABC三个顶点A(1,4)、B(4,1)、 C(5,5),判断三角形的形状; (等腰三角


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