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椭圆综合问题



戴又发数学课堂 椭圆的综合问题 适用学科 适用区域 知识点 数学 全国 椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的关系 椭圆的综合问题 适用年级 高三 课时时长 (分钟) 90 教学目标 1.理解椭圆的标准方程的形式,参数的意义及相互关系. 2.掌握直线与椭圆的位置关系. 3.形成数形结合思想和函数与方程思想. 教学重点 教学难点 椭圆的标准方程的形式,参数的意

义及相互关系,直线与椭圆的位置关系 运用数学思想解决综合问题 教学过程 一、复习预习 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2.准确把握椭圆标准方程的形式及参数的意义; 3.理解直线与圆锥曲线的位置关系; 4.数形结合思想的应用. 二、知识讲解 考点/易错点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题, 解题时注意应用根与系数的关 系及“设而不求”的技巧.研究直线和 圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究其直线方程与 圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,要注意消元后方程的二次项系数是否含参,若含参需 戴又发数学课堂 讨论,同时充分利用根与系数的关系进行整体运算变形.有时对于选择,填空题,也常利用 几何条件,利用数形结合的方法求解. (2)涉及弦的中点问题,可以利用判别式和根与系数的关系加以解决,也可以利用“点 差法”解决此类问题.若知道中点,则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率.比较 两种方法,用“点差法”计算量较小,此法在解决有关存在性的问题时,要结合图形和判别 式 Δ 加以检验. 考点/易错点 2 定值问题 1.求常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 y=kx+b,然后利用条件建立 b、k 等量关系进行 消元,借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关. 考点/易错点 3 存在性问题 化解探索性问题的方法: (1)先假设成立,在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明结论成 立,否则说明结 论不成立.处理这类问题,一般要先对结论做出肯定的假设,然后由此假设 出发,结合已知条件进行推理论证,若推出相符的结论,则存在性随之解决;若推出矛盾, 则否定了存在性.若证明某结论不存在,也可以采用反证法. (2)根据题目中的一些特殊关系,归纳出一般结论,然后进行证明就是由特殊到一般的指 导思想. 三、例题精析 【例题 1】 如图,椭圆 M : x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离心 率为 ,直线 2 a b 2 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. 戴又发数学课堂 (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD 有两个不 同的交点 S , T .求 【解析】(I) e ? | PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST | c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ① a 2 a2 4 矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 ② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 ,∴椭圆 M 的标准方程是 ? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2


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