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2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛



2010 年第 2 期

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2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
中图分类号 : G 424. 79  文献标识码 : A   文章编号 :1005 6416( 2010) 02 0023 -05

第一试
一、 填空题 ( 每小题 6分 , 共 60 分 ) 1. 已知集合 A= { x R

x2 ≤ 1} , x 5 集 合 B= x R > 0 . 则 A∩ B = 2x . 2. 图 1 是一个算法流程图 . 若输入 n = 1, 则最终输出的数据是 .



.

图 2

图 3

图 1

3. 设圆 x +y =1 的一条切线 与 x 轴、 y 轴分别 交于点 A 、B . 则 A B 的最 小值 为 . 4. 已知函数 2 -x 2 ,     x < 2; f ( x )= l o g x + 1) ,  x ≥2 . 3( 若关于 x 的方程 f ( x )= m有 两个不同 的实根 , 则实数 m 的取值范围是 ( 用 区间形式表示 ) . 5. 设 f ( x ) 是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 , f ( 1)= 2, 当 x >0 时 , f ( x ) 是增函数 , 且对任 意的 x 、y R , 都有 f ( x + y )= f ( x )+f ( y ) . 则函数 f ( x ) 在区间 [ 3, 2] 上的最大值是 . n 6. 对于 n N 1 是 3 的整数 + , 若 2 n+ 倍 , 则 n被 6 除 所 得 余 数 构 成 的 集 合 是 . 7. 如图 2, A B 是 半圆 O的直 径 , C 、D 是半圆上的 两个动 点 , 且 C D∥A B . 若 半圆 O 的半径为 1 , 则梯形 A B C D 周长的最大值

2

2

8. 如图 3, 在 ■A B C 中, A B= 3, A C= 5. 若 O 为 ■A B C 的外心 , 则 A O ·B C 的值为 . 9. 一个含有底面的半球形容器内放置有 三个两两外切的小球 . 若这三个小球的半径 均为 1, 且每 个小球都与半球的底面和球面 相切 , 则该半球的半径 R= . 10. 把长为 a 的线段分成三段 , 这三条线 段能构成三角形的概率为 . 二、 解答题 ( 每小题 20 分 , 共 60分 ) 11. 设 0< α < , <β <2 . 若对任意的 x R , 都有 c o s ( x + α )+ s i n ( x + β)+ 2c o s x = 0 恒成立 , 试求 α 、β 的值 . 、B ( 5, 0) , 12. 如图 4, 设点 A (- 5, 0 ) ■A B C 内切圆的圆心在直线 x = 2上移动 . ( 1) 求点 C 的轨迹方程 ; ( 2) 若 过点 M( 2, 0) 作 两条 射线 , 分别交 ( 1) 中所求轨迹于点 图 4 P 、Q , 且M P ·M Q = 0, 求证 : 直线 P Q 必过定点 . 16x + 7 13. 已知函数 f ( x )= , 数列 { a 、 n} 4x + 4 { b 满足 n} a 0, b 0, 1 > 1 > a f ( a , b f ( b ( n = 2, 3, … ) . n= n-1 ) n= n-1 ) ( 1) 求 a 的取值范围 , 使得对任意的正 1

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中 等 数 学

整数 n , 都有 a a n +1 > n; ( 2) 若 a = 3 , b 4, 求证 : 1 1 = 1 0< b a n = 1, 2, … ) . nn≤ n -1 ( 8

第二试
一 、( 40 分 ) 已知数列 { a } 满足 n a 4, a 6a 4a 8= 0. 1 = n+ 1a n+ n +1 n6 记 b ( n N+) . 求: n= a 2 n( 1) 数列 { b 的通项公式 ; n} ( 2) 数列 { a b } 前 n 项和 S n n n. 二 、( 40 分 ) 如图 5, P A 、P B 为 O的 两 条 切 线 , 切点分 别为 A 、B , 过点 P 的直 线交 O 于点 C 、 图 5 D , 交弦 A B 于点 Q . 求证 : 2 P Q= P C ·P DQ C ·Q D . 三 、( 50 分 ) 设 p q ( x + 1)( x 3) n n -1 n-2 = x+ a + a + …+ a + a 1x 2x n1x n ( p 、q N . +) ( 1) 若 a a 3n 是完全平方数 ; 1 = 2 , 求证 : ( 2) 证明: 存 在无 穷 多 个 正整 数 对 ( p , q ) , 使得 a a 1 = 2. 四 、( 50 分 ) 证明 : ( 1) 对任意的 x > 0, y > 0, 有 1 1 1 ≥ x y ) ; 2( y ( 1+ x 1+ 1+ y ) n k n n k 3 3 ×2 ( 2) C ≥ n k n n. k= 0 3 +1 3 +2

n ( n + 1) > 2 009 2 的最小正整数 . 用估算法可得 n = 63. 3. 2. 由对称性 , 不妨设切点为 . 2 则 P A= t a nθ , P B = c o t θ . 故 A B =P A +P B= t a n θ + c o t θ ≥2. 当且仅当 t a nθ = c o t θ ,即 θ = 时 , 上式 4 等号成立 . 4. ( 1, + ∞) . 如图 6, 在同一 直 角 坐 标系 中 作 出函数 y=f ( x ) 和 y = m 的图像. 易知 当 m >1 时 , 方 程 f ( x ) = m有两 个 不 图 6 同的实根 . 5. 4. 因为 f ( x ) 是奇函数 , 且在 ( 0, + ∞) 上是 增函数 , 所以 , f ( x ) 在 (∞, 0) 上也是增函 数. 于是 , f ( 3) ≤f ( x ) ≤f ( 2) . 又 f ( 2)= f ( 1)+ f ( 1)= 4, 则 f ( 2)=f ( 2)=4. 故函数 f ( x ) 在[ 3, 2]上的最大值为 4. 6. { 1, 2 } . n n 2 n + 1= ( 31)n + 1 n ) . = 3M+ ( 1) n + 1( M N 由 3 ( 2n + 1) ,则 3 [ ( 1)n + 1] . 当 n= 6k ( k N 时, +) ( 1)n + 1= 6k + 1≡ 1( m o d3) ; 当 n= 6k + 1( k N ) 时, n ( 1)n + 1 =6k ≡ 0( m o d3) ; 当 n= 6k + 2( k N ) 时, n ( 1)n + 1= 6k + 3≡ 0( m o d3) ; 当 n= 6k + 3( k N ) 时, n ( 1)n + 1 =6k 2≡1 ( m o d3) ; 当 n= 6k + 4( k N ) 时,
n n n

θ < P ( c o s θ ,s i nθ )0 <

参考答案
第一试
   一 、1. { x2 < x ≤ 3} . 易知 A= { x2≤x ≤3} , B= { x2 < x < 5} . 2. 63. 依题意 , 所求 n 应为满足不等式

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2 3 + 21 ( R1) = 2 3 + 1 R= . 3 3 1 10. . 4 设分 成 的 三 条 线段 的 长 分 别 为 x 、y 、 a ( x + y ) . 则 0< x < a , 0< y < a , ① x + y < a . 不等 式 组 ①表 示 的平 面区 域 为图 8 中 的 ■A O B 的内部 ( 不含 边界 ) . 这三条线段构成 图 8 三角形的条件是 2 2

( 1)n + 1= 6k + 5≡ 2( m o d3) ; 当 n = 6k + 5( k N ) 时, n ( 1)n + 1 =6k 4≡2( m o d 3) . 综上 , 当 且 仅 当 n=6k+1 或 6k+2 n ( k N ) 时, 3 ( 2 n+ 1) . 7. 5. 在图 2 中联结 A C , 过点 C 作 C H A B 于点 H . 设 . 则 2 A D= B C= A B c o s θ = 2c o s θ . 2 从而 , B H= B C c o s θ = 2c o s θ . 2 所以 , C D= A B2B H= 24c o s θ . 故梯形 A B C D 的周长为 l = A B+ B C+ C D+ D A 2 = 4+ 4c o s θ 4c o s θ 2 o s θ -1 . = 54 c 2 1 于是 , 当 c o s θ = ,即 θ = 时, l 5. ma x= 2 3 8. 8. 设 D为边 B C 的中点 , 联结 O D 、A D . 则 O D B C . 于是 , A O ·B C= ( A D+ D O ) ·B C = A D ·B C+ D O ·B C= A D ·B C 1 = ( A C+ A B ) ·( A CA B ) 2 1 2 2 = (A C -A B )= 8. 2 3 + 21 9. . 3 三个小球的球心 O 1 、O 2 、O 3 构成边长为 2 的正三角形 , 则其外接圆半径为 2 3 . 3 设半球的球心为 O , 小球 O 1 与半球底面 切于点 A . 如图 7, 经过 点 O 、O 作半球的截 1 、A 面 , 半圆 O的 半 径 O C O A , O O C 1B 于点 B . 则 图 7 2 3 O A= O . 1 B= 3 在 R t ■O A O 1 中, 由 A B C= θ0 < θ <

n

x +y > x +y >a( x +y ) , x +a( x +y )>y , y +a( x +y )>x x < y < a , 2

a , 2 ②

a . 2

不等式组 ②表示的平面区域为图 8 中的 ■A ′ B ′ C ′ ( A ′ 、B ′ 、C ′ 分别为 O A 、O B 、A B 的中 点) 的内部 ( 不含边界 ) . 故这三条线段能构成三角形的概率为 S ■A ′ B ′ C ′ 1 = . P= 4 S ■A O B 二 、11. 已知等式可化为
( c o s α+ s i nβ + 2) c o sx + ( c o s βs i nα ) s i nx = 0.

上式对任意的 x 件为

R恒成 立的充要条

c o s α+ s i nβ + 2 = 0, c o s βs i nα= 0 s i nβ =c o s α- 2, c o s β= s i nα . 2 平方相加并化简得 c o s α =- . 2 3 因为 0 < α < , 所以 , α= . 4 2 从而 , c o s β= s i nα= . 2

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中 等 数 学

7 < β< 2 , 所以 , β = . 4 12 . ( 1) 设 ■A B C 的内切圆切边 A B 于点 D . 则 C A -C B=A D -B D 又因为 = (5 + 2)(5 2)= 4< 2 5. 所以 , 点 C 的轨迹是以 A 和 B 为焦点 、 实轴长为 4 的双曲线的右支 ( 不含右顶点 ) , 2 x 2 其方程为 y= 1( x > 2) . 4 ( 2) 设 l x = m y + a ( a > 2) . P Q: x 2 y= 1, 得 4 2 2 2 ( m 4) y+ 2a m y + a4= 0. 设 P ( x 、Q ( x . 则 1, y 1) 2, y 2) 代入 2a m a4 y y ,y . 1 + 2 =- 2 1y 2 = 2 m 4 m 4 又M P ·M Q= ( x 2) ( x 2) + y 1 2 1y 2 = ( m y + a 2 ) ( m y + a 2 )+ y y 1 2 1 2 = ( m +1) y ( a2) ( y ( a -2) 1y 2 +m 1 +y 2 )+ = 0,
2 m+ 1) ( a4) 2a m( a 2) 故( + ( a2) = 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2

要使 a a , 只须 a a n +1 > n 2 > 1 ,即 16a + 7 1 > a 1. 4a 4 1 + 7 . 解得 0 < a 1 < 2 ( 2) 当 a 3时 , 由 ( 1) 知 a a 1 = n+ 1 > n, 即 16a + 7 n > a n. 4a 4 n+ 7 解得 0 < a . n< 2 7 又 a 3 , 则 3≤a n N+) . 1 = n< ( 2 当 b 4时 , 由 ( 1) 知 b 1 = n+1 ≤b n, 得 7 ≤b n N+) . n≤ 4( 2 所以 , b a 0( n N+) . nn> 1 1 9 故 b a nn= 4 a + 1 b 1 n1 n-1 + b a n -1 n-1 9 = · 4 ( a 1) ( b 1) n -1 + n-1 + b a b a n -1 n -1 n1 n1 9 ≤ · = 4 7 + 8 1 ( 3+ 1) 2 b a b a n -2 n -2 1 1 1 ≤ ≤… ≤ n-1 = n-1 . 2 8 8 8 1 n = 1, 2 , …) . 综上 , 0 < b a nn≤ n1( 8

m4
2

m4

化简得 3a 16 a + 20 = 0. 10 解得 a = 2( 舍去 ) 或 a = . 3 10 ,0 . 故直线 P Q 必过定点 3 13 . ( 1) 注意到 16( x + 1)9 9 1 f ( x )= = 4- · . 4( x + 1) 4 x + 1 则 a a n +1 n 9 1 9 1 =4- · - 4- · 4 a 1 4 a 1 n+ n -1 + a a n n -1 9 = · 4 ( a 1) ( a 1) n+ n -1 + 2 a a 9 n -1 n-2 = 2 4 ( a + 1 ) ( a + 1 )( a 1) n n -1 n2 + = … =
9 4
n -1

第二试
6 一 、( 1) 由 b n= a 2 n6 a + 2. n= b n

代入 a 6a 4a 8= 0, 得 n +1 a n+ n+ 1 nb 4b 3. n+1 = n+ 则 b 1= 4( b 1) , 其中 , b 1= 4. n +1 + n+ 1 + 从而 , b 1= 4× 4 n+
n -1

= 4

n

b 4 1. n=

n

6 ( 2) 由 b ab = 2b 6. 故 n= n+ a 2 nn nS a a …+ a n= 1b 1 + 2b 2 + nb n = 2( b b …+ b 6n 1 + 2 + n)+ = 2( 4+ 4 + … + 4 n ) + 6n 8( 4 1) = 2n + 6n 3
n 2 n

a 2 -a 1 ( a 1) ( a 1 )… ( a 1 )( a 1) n+ n-1 + 2 + 1 +
2 2

.

注意到 a 0( n n>

N . +)

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2 n +1 8 = × 4 + 4n - . 3 3 二 、如 图 9, 联 结 O A 、 O B 、 O P . 设 O P与 A B 交于点 H , C D的 中点为 M , 联结 O M . 则O M C D , 图 9 O H A B . 所以 , O 、H 、Q 、M四点共圆 . 于是 , P Q ·P M= P H ·P O . 又 R t ■P H A R t ■P A O ,则 2 P A= P H ·P O . 2 从而 , P Q ·P M= P A. 2 由切割线定理得 P A= P C ·P D . 故 P Q ·P M= P C ·P D P Q ( P Q+ Q M )= P C ·P D 2 P Q= P C ·P DP Q ·Q M . 又因 P 、A 、O 、M及 P 、B 、M 、O 分别四点 共圆 , 所以 , P 、B 、M、O 、A 五点共圆 . 由相交弦定理得 P Q ·Q M= A Q ·Q B= C Q ·Q D . 2 故 P Q= P C ·P DQ C ·Q D . 三 、( 1) 易知 p + q = n . p q 因( x + 1)( x 3) n p -1 p ( p 1 )p-2 = x+ p x + x + …· 2 q q -1 9q ( q 1 )q-2 x + …   x3q x + 2 n n -1 p ( p 1) = x+ ( p 3q ) x + + 2 9q ( q 1) n2   3p qx + …, 2 所以 , a p 3q , 1 = p ( p 1) 9q ( q 1) a + 3p q . 2 = 2 2 又 a a 1 = 2 ,则 2( p 3q )= p ( p 1)+ 9q ( q 1)6p q 2 2( p 3q )= ( p 3q )p 9q 2 3( p + q )= ( p 3q ). 2 故 3n= ( p 3q ) 为完全平方数 . 2 ( 2) a a 1 = 2 3( p + q )= ( p 3q ) 2 2 p( 6q + 3) p + 9 q3q = 0. ① 因此 , 只须证明方程 ①有无穷多组正整

数解即可 . 故 2 2 Δ= ( 6q + 3) 4( 9q 3q )= 48q + 9 6q + 3+ Δ 是完全平方数 , 且 p = 是正整数 . 2 2 取 48q + 9= 9( 8k + 1)( k N ,则 +) 2 2 ( p , q ) = ( 36k + 21k + 3, 12k + 3k ) . 由于 k 为任意的正整数 , 于是 , 存在无穷 多组正整数对 ( p , q ) , 使得 a a 1 = 2. 四 、( 1) 由 1 x y 2 1+ y ( 1+ y ) 1 ( 1+ x )( 1+ y ) = 2 1+ y ( 1+ y ) 1+ x 2 =2 + y ( 1+ y ) 1+ 2 1 - 1 1 =( 1+ x ) + 1+ y 1+ x 1+ x 1 ≤ , 1+ x 当且仅当 x = y 时 , 上式等号成立 . 故 1 1 x y ≥ 2 . 1+ x 1+ y ( 1+ y ) 1 ( 2) 在( 1) 的结论中 , 取 x = k, 有 3 1 1 1 1 ≥ y. k2 1 1+ y ( 3 1 + y ) 1+ k 3 对 k = 0, 1, … , n , 将不等式 两边分别同 k 乘以 C 并相加得 n
n k= 0

C n

k

3 3 +1
k n

k

1 k 1 C n 2· 1 +y k= 0 ( 1 +y ) n n k k 1   C · -y C n k n k =0 k =0 3 n n 2 1 1 n = 1 + 2 y. 2 1+ y ( 3 1+ y ) n 4 n 3 2 取 y = n = n, 得 2 3 n k n n n k 3 2 3 ×2 C ≥ = n k n n n. k= 0 3 +1 2 3 +2 1+ n 3 ( 刘康宁  提供 ) ≥



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