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2016届高三数学模拟试题(一)(解析版)



2016 届高三数学模拟试题(一)
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.复数
1? i 的共轭复数对应的点位于( 2?i

D ) C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 解析:

B.第二象限

1 ? i (1 ? i )(2 ? i )

3 1 3 1 = = + i ,所以其共轭复数为 - i .故选 D . 2 ? i (2 ? i )(2 ? i ) 5 5 5 5

2.已知集合 Q={x|x>3},P={x|x<3a}且 Q? ?RP,那么 a 的值可以是( A A.1 B.2 C.3 D.4

)

答案:由 P={x|x<3a,得?RP={x|x≥3a}.因为 Q? ?RP,所以 3a≤3,所以 a≤1,故选 A. 3. 若向量 a、 b 满足: 向量 a 的模长是 1, 且(a+b)⊥a, (2a+b)⊥b, 则向量 b 的模长是( B A.2 B. 2 C.1 2 D. 2 )

a=a2+a· b=0 ??a+b? · 解析:由题意得? ? -2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1, 2 ? 2 a + b ? · b = 2 a · b + b = 0 ? 所以|b|= 2.故选 B. 4.已知直线 l1 与直线 l2:4x-3y-6=0 垂直且与圆:x2+y2+2y=0 相切,则直线 l1 的方程 是( D ) A.3x+4y-1=0 C.3x+4y+9=0 B.3x+4y+1=0 或 3x+4y-9=0 D.3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0

解析:圆 x2+y2+2y=0 的圆心为(0,-1),半径为 r=1,因为直线 l1⊥l2,所以可设直线 l1 的方程为 3x+4y+c=0,由题意得 |3× 0+4× ?-1?+c| =1,解得 c=-1 或 32+42

c=9.所以直线 l1 的方程为 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0.故选 D. 5. 某程序框图如图所示, 判断框内为“k≥n?”, n 为正整数, 若输出的 S=26, 则判断框内的 n=( A.n=6 C.n=4 C ).

B.n=5 D.n=3

解析:依题意,执行题中的程序框图,进行第一次循环时, k=1+1=2,S =2× 1+2=4;进行第二次循环时,k=2+1=3,S=2× 4+3=11;进行第三 次循环时,k=3+1=4,S=2× 11+4=26,因此当输出的 S=26 时,判断框
1

内的 n=4. 6. 已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( C ) A.16 C.48 B.32 D.144

解析:由题意可得,该几何体为四棱锥 P-ABCD,如图所示,所 +6? 1 ?2 以 VP-ABCD=3× × 6× 6=48.故选 C. 2 7.设函数 f(x)= 3x +2x-4,函数 g(x)= log2 x +2x2-5,若实数 m,n 分别是函数 f(x),函数 g(x)的零点,则( A.g(m)<0<f(n) C.0<g(m)<f(n) B.f(n)<0<g(m) D.f(n)<g(m)<0 A )

解析: 依题意, f(0)=-3<0, f(1)=1>0, 且函数 f(x)是增函数, 因此函数 f(x)的零点在区间(0,1) 内,即 0<m<1. g(1)=-3<0,g(2)=4>0,函数 g(x)的零点在区间(1,2)内,即 1<n<2,于是有 f(n)>f(1)>0. 又函数 g(x)在(0,1)内是增函数,因此有 g(m)<g(1)<0,g(m)<0<f(n),选 A.

?log 2 (1 ? x) ? 1 8.已知函数 f (x) = ? 3 ? x ? 3x ? 2,
实数 m 的取值范围是( B ?1 ? A.?2, 3? ? ? )

?1 ? x ? a a?x?m

,若存在 a 使得函数 f(x)的函数值域是[0,2],则

B. [ 3,+∞)

C.(0, 3]

D.{2}

解析: 先作出函数 f(x)=log2(1-x)+1, -1≤x< a 的图象, 再研究 f(x)=x3-3x+2,a ≤x≤ m 的 图象,令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=1,当 x>1 时,f′(x)>0,当-1<x<1 时, f′(x)<0, 所以当 x=1 时, f(x)在(-1, +∞)上取得最小值 f(1)=0, 1 又 f( 3)=2.若存在 a 使 f(x)的值域是[0,2], m 只需满足2< m ≤ 3.故 选 A. 9.设双曲线
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线与 a2 b2

双曲线的右支交于 A, B 两点, 若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, 则 e 2 ?( C A. 1 ? 2 2 B. 4 ? 2 2 C. 5 ? 2 2 D. 3 ? 2 2



解析:设 AF1 ? AB ? m ,则 BF1 ? 2m , AF2 ? m ? 2a, BF2 ? 2m ? 2a
2

因为 AB ? AF2 ? BF2 ? m ,所以 m ? 2a ? 2m ? 2a ? m ? 4a ? 2m ,所以 AF2 ? (1 ?

2 )m , 2

5 2 2 2 因为 ?AF1F2 为直角三角形, 所以 F1 F2 ? AF1 ? AF2 , 所以 4c 2 ? ( ? 2) m 2 , 因为 4a ? 2m , 2 5 所以 4c2 ? ( ? 2 ) ? 8a 2 ,所以 e2 ? 5 ? 2 2 ,故选 C. 2 ?ln x, x ? 1 ? 10.已知函数 f ? x ? ? ? 1 , g ? x ? ? ax 则方程 g ? x ? = f ? x ? 恰有两个不同的实根时,实 x ? 1, x ? 1 ? ?4

数 a 的取值范围是(注: e 为自然对数的底数)(

B )

? 1? A. ? 0, ? ? e?

?1 1 ? B. ? , ? ?4 e ?

? 1? C. ? 0, ? ? 4?

?1 ? D. ? , e ? ?4 ?

?1 ? x ? 1, x ? 1 f x ? 解析:作出函数 ? ? ? 4 的图象如图: ? ?ln x, x ? 1

当 g ? x ? ? ax 对应的直线和直线 y ?

1 x ? 1 平行时, 4 1 , x

满足两个函数图象有两个不同的交点; 直线 y ? ax 和函数 f ? x ? 相切时,当 x ? 1 时,函数 f ?( x) ? 设切点为 (m, n) ,则切线斜率 k ? f ?(m) ?

1 1 ,则对应的切线方程为 y ? ln m ? ( x ? m) , m m

? 1 ?m ? e ?a 1 ? ? 即 y ? x ? ln m ? 1 ,又因为直线切线方程为 y ? ax ,所以 ? m ,解得 ? 1, m a ? ? ? e ?ln m ? 1 ? 0 ?
1 即此时 a ? ,此时直线 y ? ax 与 f ? x ? 只有一个交点,不满足条件,若方程 f ? x ? = ax 恰有两 e 1 1 个不同的实根时,则满足 ? a ? ;故选 B. 4 e 二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置)

(文)11.某校共有高中学生 3600 人,为了了解本期数学学科的考试成绩,决定采用分层抽 样的方法进行抽取,若从高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 a,b,c,且 a,b,c 构成 等差数列,则高二年级的学生人数为 1200

解析:因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c,即高二年级抽取的学生人数占抽样人数总 数的三分之一, 根据分层抽样的性质可知, 高二年级的学生人数占总数的三分之一, 即为 1200 人. (理)11.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则 a8=
3

180



解析:因为(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,所以[2-(1-x)]10=a0+a1(1
2 8 -x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,所以 a8=C8 102 (-1) =180.

2? ? 12.函数 f ( x) ? sin(? x ? )(0 ? ? ? 2) ,若 f ( ) ? 1 ,则 f ( x) 的最小正周期为 3 6

4?



2? 2? ? 2? ? ? 6k ? 1 ) = sin( ? ? ) =1, ? ? ? 2 k? ? ( k ? Z ) 所以 , 即? ? (k ?Z ) , 3 3 6 3 6 2 2 1 因为 0 ? ? ? 2 ,所以 ? ? ,所以最小正周期为 T ? 4? . 2 2a-b≥5

解析: f (

13.某高校今年计划在我市招女生 a 名,男生 b 名,若 a、b 满足不等式组?a-b≤2

?

?a<7

,设

这所高校今年计划招生最多 x 名,则 x=

13

解析:如图所示,画出约束条件所表示的区域,即可行域,作直线 l:b +a=0,平移直线 l,再由 a,b∈N,可知当 a=6,b=7 时,x=a+b =13. (文)14.甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,其中 一个数字被污染,记甲、乙的平均成绩为 , ,则 > 的概率是 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 【分析】由茎叶图求出 > 的概率. , ,由 > ,得 90<89+ ,x∈N,由此能过河卒子 同

解:由已知中的茎叶图可得:乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 87,86,92,94,91, 则乙的平均成绩: = (87+86+92+94+91)=90

设污损数字为 x,则甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 85,87,84,99,90+X 甲的平均成绩: ∵ ∴ > > = (85+87+84+99+90+x)=89+ ,

,∴90<89+ ,x∈N,解得 x 的可能取值为 6,7,8,9, 的概率是 p= = .

(理)14.某校三位数学教师参加说题、说课、上课项目的比赛.若每人都选择其中两个项
4

目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是

2 3

2 2 2 解析:三位数学教师每人选择三项中的两项有 C3 C3C3=3× 3× 3=27 种选法,其中有且仅有两

18 2 2 1 人所选项目完全相同的有 C2 3× 2=18(种)选法.则所求概率为 P=27=3. 3C3C2=3× 15. 已知数列{an}的通项公式为 an=2n, (n∈N*), 若数列{bn}满足: an= +…+
n

b b1 b + 22 + 33 2 ?1 2 ?1 2 ?1

anbn bn ,令 cn= 4 (n∈N*),则 c1+c2+c3+…+c10= 18489 . 2 ?1 b b b b b b b 解析: 由 an= 1 + 2 2 + 3 3 +…+ n n (n≥1), 所以 an+1= 1 + 2 2 + 3 3 +… 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 +
bn b ?1 b ?1 + n ?n ,则 n ?n =an+1-an=2,bn+1=2( 2 n ?1 +1),故 bn=2( 2n +1)(n∈N).cn 1 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
n

anbn 2n +n,所以 Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1× = 4 =n( 2n +1)=n· 2+2×22 +3×23 +…+n×2n ) +(1+2+…+n),令 Hn=1× 2+2×22 +3×23 +…+n×2n ,则 2Hn=1×22 +2×23 +3×24 +… + n× 2 n ?1 , 所 以 - Hn = 2 + 22 + 23 + … + 2n - n× 2n + 1 =
2(1 ? 2 n ) - n× 2 n ?1 , 所 以 Hn = 1? 2

(n?1)2n?1 ? 2 ,所以数列{cn}的前 n 项和 Tn= (n?1)2n?1 ? 2 +
c10=18489. 三、解答题:

n?n+1? .所以 c1+c2+c3+…+ 2

16. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且 acosC+csinAb=0. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=3,求△ABC 的面积的最大值. 解:(Ⅰ)由已知及正弦定理得,sinB=sinAcosC+sinCsinA,①…………………2 分 因为 B=π-(A+C), 所以 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.②……………………………4 分 又 C∈(0,π),由①②得 sinA=cosA. π 又 A∈(0,π),所以 A=4.……………………………6 分 1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,△ABC 的面积 S=2bcsinA= 4 bc, 由余弦定理可得 9=b2+c2- 2bc. ……………………………9 分
5

又 b2+c2≥2bc,当且仅当 b=c 时等号成立, 所以 bc≤ 9? 2+1? 9 2 9 ,S≤ 4 × = . 4 2- 2 2- 2 9? 2+1? .……………………………12 分 4

所以△ABC 的面积的最大值为

(文)17.(本小题满分 12 分)为了普及法律知识,达到“法在心中”的目的,某市市法制办 组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各 5 名职工的成绩,成绩如 下表: 甲单位 乙单位 87 85 88 89 91 91 91 92 93 93

(Ⅰ)根据表中的数据,分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差,并判断哪个单位对 法律知识的掌握更稳定; (Ⅱ)用简单随机抽样法从乙单位 5 名职工中抽取 2 名,他们的成绩组成一个样本,求抽取的 2 名职工的分数差至少是 4 的概率. - - 1 1 解:(Ⅰ) x 甲=5(87+88+91+91+93)=90, x 乙=5(85+89+91+92+93)=90, 1 24 2 2 2 2 2 s2 甲= [(87-90) +(88-90) +(91-90) +(91-90) +(93-90) ]= 5 5, 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(85-90) +(89-90) +(91-90) +(92-90) +(93-90) ]=8, 5 24 因 为 5 <8 , 所 以 甲 单 位 的 成 绩 比 乙 单 位 稳 定 , 即 甲 单 位 对 法 律 知 识 的 掌 握 更 稳 定.………………6 分 (Ⅱ)从乙单位 5 名职工中抽取 2 名,他们的成绩组成的所有基本事件 (用数对表示): (85,89),(85,91),(85,92),(85,93),(89,91),(89,92),(89,93),(91,92),(91,93),(92,93),共 10 个, 则抽取的 2 名职工的分数差至少是 4 的基本事件: (85,89), (85,91), (85,92), (85,93), (89,93), 共 5 个. 5 1 由古典概型的概率计算公式可知,抽取的 2 名职工的分数差至少是 4 的概率 P=10=2. ……………………………12 分 (理)17.(本小题满分 12 分)某家用电器厂对 A、B 两种型号的产品进行质量检测,从检 测的数据中随机抽取 10 次,记录如下表( 数值越大表示产品质量越好):
6

A 7.9 B 8.2

9.0
9.5

8.3
8.1

7.8
7.5

8.4
9.2

8.9
8.5

9.4
9.0

8.3
8.5

8.5
8.0

8.5
8.5

(Ⅰ) 画出 A、 B 两种产品数据的茎叶图; 若要从 A、 B 中选一种型号产品投入生产, 从 统计学角度考虑,你认为生产哪种型号产品合适?简单说明理由; (Ⅱ)若将频率视为概率,对产品 A 今后的三次检测数据进行预测,记这三次数据中不 低于 8.5 的次数为 ? ,求 ? 的分布列及期望 E? . 解:(Ⅰ)A、B 两种产品数据的茎叶图如图

……………………………2 分 因为 x A ?
xB ?
2 sA ?

1 ? 7.8 ? 7.9 ? 8.3 ? 8.3 ? 8.4 ? 8.5 ? 8.5 ? 8.9 ? 9.0 ? 9.4 ? ? 8.5 10

1 ? 7.5 ? 8.0 ? 8.1 ? 8.2 ? 8.5 ? 8.5 ? 8.5 ? 9.0 ? 9.2 ? 9.5? ? 8.5 …………3 分 10

1 [( ?0.7) 2 ? (?0.6) 2 ? (?0.2) 2 ? (?0.2) 2 ? (?0.1) 2 ? 0 ? 0 ? 0.4 2 ? 0.5 2 ? 0.9 2 ] ? 0.216 10

2 sB ?

1 ?(?1) 2 ? (?0.5) 2 ? (?0.4) 2 ? (?0.3) 2 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0.52 ? 0.7 2 ? 1? ? ? 0.324 ………4 分 10 ?

2 2 因为 xA ? xB , sA ,所以从统计学角度考虑,生产 A 型号产品合适. …………6 分 ? sB

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3. ……………………………7 分
5 1 1 ? ,若将频率视为概率,则 ? ? B(3, ) .………8 分 10 2 2 1 1 1 所以 P(? ? k ) ? C 3k ( ) k (1 ? ) 3? k ? C 3k ( ) 3 ,k=0,1,2,3. …………………9 分 2 2 2

产品 A 不低于 8.5 的频率为

所以 ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

P

1 8

3 8

3 8

1 8

……………………………10 分
1 3 3 1 3 所以 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ……………………………12 分 8 8 8 8 2

(文) 18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数, 其前 n 项和为 Sn , 且 S3 ? 42 ,
7

16a2 ? a6 ? a3 ? a7 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
1 1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . (log 2 an ) ? (log 2 an ?1 ) 3 2

解:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 16a2 ? a6 ? a3 ? a7 ,得 16a42 ? a52 , 所以 q2 ? 16 , 因为数列 ?an ? 各项都为正数,所以 q ? 4 , 所以 S3 ? a1 (1 ? q ? q2 ) ? 21a1 ,又 S3 ? 42 ,所以 a1 ? 2 , 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1 , (II)由(I)得 bn ? ………………2 分 ………………4 分 ………………6 分

(log 2 2

2 n ?1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), 2 n ?1 ) ? (log 2 2 ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ), 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 1 1 1 1 因为 ………………11 分 ? 0 , 所以 Tn ? ? ? , 2 4n ? 2 2 4n ? 2 1 1 1 1 1 1 又 Tn?1 ? Tn ? ( ? )?( ? )? ? ?0, 2 4n ? 6 2 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 6 1 所以 ?Tn ? 关于 n 单调递增 所以 Tn ? T1 ? , 3 1 1 综上所述: ? Tn ? . ………………12 分 3 2

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ? ? ? ? ?

1 2

(理)18. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,点 An (n, 当 n ? 2 时,均有

an ?1 ) 在直线 y ? kx ? 1 上, an

an ?1 a ?1 ? n an an ?1

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设 bn ?
2an ? 3n , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn (n ? 1)!

解: (Ⅰ) 点 An (n,

an ?1 ) 在直线 y ? kx ? 1 上, an

? a3 ? a ? 2k ? 1 a a ? 当 n ? 1 或 n ? 2 时,有 ? 2 ,所以 3 - 2 = k , a2 a1 ? a2 ? k ? 1 ? ? a1
8

当 n ? 2 时,有

a3 a2 a - =1,所以 k =1, 2 ? k ? 1 =2. a2 a1 a1

又因为

an ?1 a a a a ? 1 ? n ,则 n ?1 ? n ? 1 ,所以 n = n ,…………………4 分 an an ?1 an an ?1 an ?1 an an?1 a2 ? ??? ? a1 = n ! ,即 an = n ! .……………………………6 分 an?1 an?2 a1
2an ? 3n ? 2 n? 3n , , (n ? 1)!

因为 an =

(Ⅱ) bn ?

1 3 利用乘公比错位相减法求得 Sn ? (n ? ) ? 3n ?1 ? .……………………………12 分 2 2

【解析】本题考查累加求通项以及错位相减法求和.第一问通过给 取特殊值得到

,又有

an ?1 a a a a ? 1 ? n ,得到 n ?1 ? n ? 1 ,用累加法可得到 n = n ,再用累乘法得到 an = n ! ;第二 an an ?1 an an ?1 an ?1

问将第一问的结果代入后可一个差比数列,求和用错位相减法. 19.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三 角形,D 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证: BC1 //平面 ACD ; 1 (Ⅱ)若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D ? 5 ,求直线 A1D 与 平面 CBB1C1 所成角的正弦值. 解(Ⅰ)证法 1:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 因为 D 为 AB 的中点,所以 DE∥BC1,-----------------4 分 因为 BC1 ? 平面 A1CD,DE ? 平面 A1CD,-------------5 分 所以 BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分 证法 2:取 A1B1 中点 D1 ,连结 BD1 和 C1D1 ,------1 分 因为 BD 平行且等于 A1D1 ,所以四边形 BD A1D1 为平行四边形 所以 A1D / / BD1 ----------------------------------2 分 因为 A1D ? 平面 ACD , BD1 ? 平面 ACD 1 1 所以 BD1 / / 平面 ACD ,-----------------------------3 分 1
9

A

A1 E C C1 B1

D

B

A D1 C B B1

A1

D

C1

同理可得 C1D1 / / 平面 ACD ------------------------4 分 1
/ / 平面 BD1C1 因为 BD1 ? C1D1 ? D1 ,所以平面 ACD 1

又因为 BC1 ? 平面 BD1C1 所以 BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分 (II) 因为 AD2+A1 A2 = 5=A1D2 ,所以 A1 A ^ AD, --------------------------7 分 又 B1B ^ BC, B1B / / A1 A ,所以 A1 A ^ BC , 又 AD ? BC ? B ,所以 A1 A ^ 面 ABC ------------------------------8 分 法一:设 BC 的中点为 O, B1C1 的中点为 O1 ,以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴,OO1 所在 的直线为 y 轴, OA 所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .------------------9 分

骣 1 3 ÷ , 0, ÷ ? 则 A1 0, 2, 3 , D ? ÷. ? ?2 2 ÷ 桫

(

)

z A A1

???? ? 所以 A1D ? ( 1 ,?2,? 3 ),--------------------10 分

? 平面 CBB1C1 的一个法向量 n = (0,0,1),
?????? ??? ???? ? ? | A1 D ? n | 15 ??? ? | cos ? A1 D,n ?|? ?????? . 10 | A1 D | ? | n |

2

2

D
O

C
O1

C1 y

x

B

B1

所以直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为

15 .-------------------------12 分 10

方法二:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A1H ? B1C1 -------------------------7 分
A

因为 AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA1 ? A1H ,所以 BB1 ? A1H
D

A1

因为 B1C1 ? BB1 ? B1 ,所以 A1H ? 面 BCC1B1 ------9 分 延长 A1D 、 B1B 相交于点 F ,连结 FH ,
F B

C H B1

C1

则 ?A1FH 为直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角. ---------------------------10 分 因为 D 为 AB 的中点,故 A1F ? 2 5 ,又 A1H ? 3 ,所以 sin ?A1FH ?

3 15 ? 2 5 10

即直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值为

15 .----------------------12 分 10

10

方法三:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A1H ? B1C1 ----------------------7 分 因为 AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA1 ? A1H ,所以 BB1 ? A1H 因为 B1C1 ? BB1 ? B1 ,所以 A1H ? 平面 BCC1B1 --------------------------------9 分 取 A1B1 中点 M,连结 BM,过点 M 作 MN / / A1H ,则 MN ? 平面 BCC1B1 , 连结 BN,因为 A1D / / BM , 所以 ?MBN 为直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角,---10 分
1 AH MN 2 1 3 15 sin ? MBN ? ? ? ? 因为 , BM A1 D 2 5 10
D C B B1 N H A A1 M C1

即直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值为

15 .-----------------------12 分 10

20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,且短轴的长为 2,离心 率等于
2 5 . 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 ??? ? ??? ? ???? ??? ? MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 为定值. 解:(I)设椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

则由题意知 2b = 2, 所以 b = 1. ………………………………2 分

1 2 5 a 2 ? b2 2 5 ,解得 a 2 ? 5 ,……………………………4 分 ? 1? 2 ? ? 2 a 5 a 5
所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y 2 ? 1. ………………………………5 分 5

(II)证法 1:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) , 易知 F 点的坐标为(2,0). ………………………………6 分 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,………………………………7 分
11

将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中, 消去 y 并整理得 (1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 ---------------------------------9 分
? x1 ? x 2 ? 20k 2 20k 2 ? 5 , x x ? . -------------------------------------------10 分 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

又? MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 将各点坐标代入得 ?1 ?

40k 2 40k 2 ? 10 ? 2 2 x x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ?1 ? ?2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k ? ?10. ……13 分 2 40k 20k ? 5 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

证法二:设点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ). 易知 F 点的坐标为(2,0). ------------------------------------------------------6 分
? MA ? ?1 AF ,? ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ).

∴ x1 ?

y 2?1 , y1 ? 0 . ------------7 分 1 ? ?1 1 ? ?1

y 1 2? 将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得 ( 1 ) 2 ? ( 0 ) 2 ? 1. 去分母整理得 5 1 ? ?1 1 ? ?1
2 2 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0. --------------------------------------------------------9 分

同理,由 MB ? ?2 BF 可得 ?2 2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 ---------------------------------10 分 即是方程 ?2 2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 的两个根,? ?1 ? ?2 ? ?10. -------------------13 分 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?
1 2 x , g ( x) ? e ln x. 2

(Ⅰ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x), 求 F ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若存在常数 k , m, 使得 f ( x) ? kx ? m 对 x ? R 恒成立,且 g ( x) ? kx ? m 对 x ? (0,??) 恒成 立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x) 与 g ( x) 的“分界线”,试问: f ( x) 与 g ( x) 是否存在“分界 线”?若存在,求出“分界线”的方程,若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)由于函数 f ?x ? ?

1 2 x , g ?x ? ? e ln x , 2 1 因此 F ?x? ? f ?x? ? g ?x? ? x2 ? e ln x , 2

12

x2 ? e e ( x ? e )( x ? e ) 则 F '( x) ? x ? = = , x ? (0, ??) ,…………………3 分 x x x

当0 ? x ?

e 时, F '( x ) <0,所以 F ?x ? 在(0, e )上是减函数;

当 x ? e 时, F '( x ) >0,所以 F ?x ? 在( e ,+ ? )上是增函数; 因此,函数 F ?x ? 的单调减区间是(0, e ),单调增区间是( e ,+ ? )…………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 x ? e 时, F ?x ? 取得最小值 F ( e )=0,

e ) 2 e 假设 f ?x ? 与 g ?x ? 存在“分界线”,则其必过点( e , )……………………7 分 2 e e 故设其方程为: y ? ? k ( x ? e ) ,即 y ? kx ? ? k e , 2 2 e 由 f ?x ? ? kx ? ? k e 对 x ? R 恒成立, 2
则 f ?x ? 与 g ?x ? 的图象在 x ? e 处有公共点( e , 则 x2 ? 2kx ? e ? 2k e ? 0 对 x ? R 恒成立, 所以, ? ? 4k 2 ? 4(2k e ? e) ? 4k 2 ? 8k e ? 4e ? e(k ? e )2 ≤0 成立, 因此 k ? e ,“分界线”的方程为: y ? ex ? 下面证明 g ?x ? ? ex ?
e ………………………………10 分 2

e 对 x ? ?0,??? 恒成立, 2

e e e ( e ? x) 设 G?x ? ? e ln x ? x e ? ,则 G '( x) ? ? e ? , 2 x x

所以当 0 ? x ?

e 时, G '( x) ? 0 ,当 x ? e 时, G '( x ) <0,
e 对 x ? ?0,??? 恒成立, 2

当 x ? e 时, G?x ? 取得最大值 0,则 g ?x ? ? ex ? 故所求“分界线”的方程为: y ? ex ?

e ………………………………14 分 2

13



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