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三角函数诱导公式大全



常用的诱导公式有以下六组:

公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等。 设 α 为任意锐角,弧度制下的角的表示:

角度制下的角的表示: sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z) cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z) tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z) cot(α+k·360°)=cotα (k

∈Z) sec(α+k·360°)=secα (k∈Z) csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z)[3]

公式二
π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系。 设 α 为任意角,弧度制下的角的表示: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα 角度制下的角的表示: sin(180°+α)=-sinα cos(180°+α)=-cosα tan(180°+α)=tanα cot(180°+α)=cotα sec(180°+α)=-secα csc(180°+α)=-cscα[3]

公式三
任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sec(-α)=secα csc (-α)=-cscα

公式四
利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα 角度制下的角的表示: sin(180° -α)=sinα cos(180° -α)=-cosα tan(180° -α)=-tanα cot(180° -α)=-cotα sec(180° -α)=-secα csc(180° -α)=cscα[3]

公式五
利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα 角度制下的角的表示: sin(360° -α)=-sinα cos(360° -α)=cosα

tan(360° -α)=-tanα cot(360° -α)=-cotα sec(360° -α)=secα csc(360° -α)=-cscα[3]

公式六
π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋) ⒈π/2+α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=—sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα 角度制下的角的表示: sin(90°+α)=cosα cos(90°+α)=-sinα tan(90°+α)=-cotα cot(90°+α)=-tanα sec(90°+α)=-cscα csc(90°+α)=secα[3] ⒉ π/2-α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα 角度制下的角的表示: sin (90° -α)=cosα cos (90° -α)=sinα tan (90° -α)=cotα cot (90° -α)=tanα sec (90° -α)=cscα csc (90° -α)=secα[3] ⒊ 3π/2+α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示:

sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα 角度制下的角的表示: sin(270°+α)=-cosα cos(270°+α)=sinα tan(270°+α)=-cotα cot(270°+α)=-tanα sec(270°+α)=cscα csc(270°+α)=-secα [3] ⒋ 3π/2-α 与 α 的三角函数值之间的关系[1-2] 弧度制下的角的表示: sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα 角度制下的角的表示: sin(270° -α)=-cosα cos(270° -α)=-sinα tan(270° -α)=cotα cot(270° -α)=tanα sec(270° -α)=-cscα csc(270° -α)=-secα[3]

记忆
规律
公式一到公式五函数名未改变, 公式六函数名发生改变。 公式一到公式五可简记为:函数名不变,符号看象限。即 α+k·360°(k∈Z),﹣α, 180°±α,360° -α 的三角函数值,等于 α 的同名三角函数值,前面加上一个把 α 看成锐角 时原函数值的符号。[4] 上面这些诱导公式可以概括为:

三角公式的记忆图

对于 kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值, ①当 k 是偶数时,得到 α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到 α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。 (奇变偶不变)然后在前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4 为偶数,所以取 sinα。 当 α 是锐角时,2π-α∈(270° ,360° ),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以 sin(2π-α)=-sinα[5]

口诀
奇变偶不变,符号看象限。 注:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可 把 α 看成是锐角)。 公式右边的符号为把 α 视为锐角时,角 k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360° -α 所 在象限的原三角函数值的符号可记忆:水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割); 三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内只有正切是“+”,其余函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。[5] 一全正,二正弦,三正切,四余弦



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