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(新课标)高考数学考点专练(19)点、直线、平面之间的位置关系(含答案)


点、直线、平面之间的位置关系
1.在空间,下列命题正确的是( ) (A)平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行 【命题立意】 本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质,考查了考生的空间 想象能力、推理论证能力. 【思路点拨】 可利用特殊图形进行排除. 【规范解答】选 D.在正方体 故 A 选项不正确;平面 确;平面

ABCD-A1B1C1D1 中, A1B1∥C1D1 ,但它们在底面 ABCD 上的投影仍平行,

A1D 与平面 A1B 都平行于直线 C1C ,但平面 A1D 与平面 A1B 相交,故 B 选项不正

A1D 与平面 A1B 都垂直于平面 ABCD ,但平面 A1D 与平面 A1B 相交,故 C 选项不正确;而由空

间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以证明选项 D 正确. 2.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( ) (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m (B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

【命题立意】本题考查空间中的线线、线面位置关系,考查空间想象能力. 【思路点拨】利用线面平行、线面垂直的判定定理. 【规范解答】选 B.如图(1) ,选项 A 不正确;如图(2) ,选项 B 正确;如图(3)选项 C 不正确;如图(4) 选项 D 不正确.

l

m

l

l

m

m

m

?
(1)

l

?
(2)

?
(3)

?
(4)

3.如图,若 ? 是长方体

ABCD ? A1B1C1D1 被平面 EFCH 截去几何体 EFGHB1C1 后 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,


得到的几何体,其中 E 为线段 且 EH//

A1D1 ,则下列结论中不正确的是(
(B)四边形 EFGH 是矩形 (D) ? 是棱台

(A)EH//FG (C) ? 是棱柱

【命题立意】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力. 灵活,全面地考查了考生对知识的理解. 【规范解答】选 D,若 FG 不平行于 EH,则 FG 与 EH 相交,交点必 然在

1 ,得到 EH ? EF ,可以得到四 B1C1 上,而 EH 平行于 B1C1,矛盾,所以 FG//EH;由 EH ? 面 A1 ABB

边形 EFGH 为矩形,将 ? 从正面看过去,就知道是一个五棱柱,C 正确;D 没能正确理解棱台与这个图形. 【方法技巧】线线平行,线面平行,面面平行是空间中的三种重要的平行关系,他们之间可以进行相互的 转化,他们之间的转化关系就是我们学习的判定定理和性质定理,我们要熟练掌握这些定理并利用这些定 理进行转化.我们以上面的题目进行变式训练: (1)证明: AD //平面 EFGH . (2)若 E,F 分别为 A1B1,B1B 的中点,证明:平面 EFGH //平面 证明:(1) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

A1BCD1 .

AD / / A1D1 ,又 EH / / A1D1 ,? AD / / EH ,又 AD ? ? 平面

EFGH ,所以 AD / / 平面 EFGH ;

?平 EF / / A1B, A1B1、B1B 的中点, ? EF / / A1B, 又 EH//A1D1,EH ? EF ? E, A1B ? A1D1 ? A1 , E,F 、 F (2) ?E 分别为
A BCD1 ; 面 EFGH / / 平面 1
4.如图, AEC 是 半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点.平面 AEC 外一点 F 满足 FB=FD= 5 a,FE= 6 a (1)证明:EB⊥FD. (2)已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点,使得

?

?

2 2 FQ= 3 FE,FR= 3 FB,求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦
值. 【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算.

? 【思路点拨】 (1) 点 E 为 AC 的中点, B 为 AC 的中点, AC 为直径 ? EB ? AC ? EC ?
是直角三角形 ? FC ? EC ,又 FC ? AD ? FC ? 面 BED ? EB⊥FD.

2a ? ?CEF

(2)作出二面角的棱 ? 证明 ? RDB 为所求二面角的平面角 ? 求 RD , BR ,sin∠RBD ? sin ?RDB. 【规范解答】 (1)连结 CF ,CE.因为 ABC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为 AC 的中点,B 为 AC 中 点 , 所 以 EB ? AC , 在 R t? B C E 中 , EC ?
2 2 BC ? BE ? 2

?

?

a? 2 a?2 , a 在 ?B D F 中 ,

BF? DF ? 5 a ,所以 ?BDF 是等腰三角形,且点 C 是底边 BD 的中点,所以 CF ? BD. 在 Rt△ECF

中, FC ?

BF2 ? BC2 ? 2a, 在 ?CEF 中, EF 2 ? 6a2 ? CE 2 ? CF 2 ,所以 ?CEF 是直角三角形,所

以 CF ? EC . 由 CF ? BD. , CF ? EC ,且 CE ? BD ? C ,所以 FC ? 面 BED , 又 EB ? 面 BED ,所以 FC ? EB , 所以 BE ? 平面 BDF ,而 FD ? 平面 BDF ,所以 EB ? FD.

2 2 DG // QR (2)过点 D 作 ,? FQ= 3 FE,FR= 3 FB,? QR // EB ,? EB // DG ,

? DG 与 QR 共面且与 EB 共面, ? DG 为平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的棱.
由(1)知, BE ? 平面 BDF ,? DG ? 平面 BDF ,而 RD ? 平面 BDF , BD ? 平面 BDF ,

? DG ? DR , DG ? DB ,? ?RDB 是平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角.
在 Rt ? BCF 中,

CF ? BF 2 ? BC 2 ? ( 5a) 2 ? a 2 ? 2a



?

sin ?RBD ?

FC 2a 2 5 5 ? ? 2 BF 5 , cos ?RBD ? 1 ? sin ?RBD = 5 . 5a
2 2 2

由余弦定理得: RD ? BD ? BR ? 2BD ? BR cos ?RBD

?

29 2 a 9 ,

?

RD ?

29 a. 3

又由正弦定理得:

5 2 5 a? 5 ? 3 29 BR RD BR ? sin ?RBD 2 29 a ? sin ?RDB ? . 3 sin ?RDB sin ?RBD ,即 RD ? 29

2 29 . 所以平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值为 29
【方法技巧】求无棱二面角,往往需先作出二面角的棱,并证明之,然后再作(证)二面角的平面角. 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,A B=2BC,∠ABC=120°.E 为线段 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE,使平面 A′DE⊥平 面 BCD,F 为线段 A′C 的中点.

(Ⅰ)求证:BF∥平面 A′DE; (Ⅱ)设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 A′DE 所成角的余弦值. 【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象能力 和推理论证能力.

【思路点拨】 (1)可以在面 A ' DE 内找一条直线与 BF 平行, 从而证明线面平行; (2)求线面角的关键是找到对应的平面角. 【规范解答】 (Ⅰ)取 A′D 的中点 G,连结 GF,CE,EG,由条件 易

1 知 FG ∥ CD , FG= 2 CD. BE ∥ CD,BE

1 2 CD. 所 以 FG ∥

BE,FG=B E. 故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以 BF∥EG, 因为 EG ? 平面 A ' DE ,BF ? 平面 A ' DE ,所以 BF//平面 A ' DE . (Ⅱ)在平行四边形 ABCD 中,设 BC=a,则 AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连结 CE,A′M.
0 120 因为 ?ABC ? 120 °,在△BCE 中,可得 CE= 3 a, 在△ADE 中,可得 DE =a,

在△CDE 中,因为 CD 2=CE 2+DE 2,所以 CE⊥DE, 在正三角形 A′DE 中,M 为 DE 中点, 所以 A′M⊥DE.由平面 A′DE⊥平面 BCD, 可知 A′M⊥平面 BCD, A′M⊥CE.取 A′E 的中点 N, 连结 NM,NF,所以 NF⊥DE,NF⊥A′M.因为 DE∩A′M = M, 所以 NF⊥平面 A′DE,则∠FMN 为直线 FM 与平面 A′DE 所成的角.

1 1 3 在 Rt△FMN 中,NF= 2 a, MN= 2 a, FM=a,则 cos ?FMN = 2 . 1 所以直线 FM 与平面 A′DE 所成角的余弦值为 2 .
【方法技巧】找线面所成角时,可适当的作一条面的垂线,从而把线面角转化为线线夹角. 6.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是 矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (1)证明: EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面平行及线面垂直、以及几何体的 体积计算问题,考查了考生的空间想象能力以及空间思维能力. 【思路点拨】 (1)E,F 分别是 PB,PC 的中点. ? EF∥BC ? EF∥AD ? 结论;

1 (2)EG∥PA 交 AB 于点 G ? EG⊥平面 ABCD ? EG= 2 PA ? VE-ABC.

【规范解答】 (1)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 A B 于点 G,

1 则 EG⊥平面 ABCD,EG= 2 PA.

2 在△PAB 中,AP=AB, ? PAB=90°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= 2 .
1 1 ∴S△ABC= 2 AB·BC= 2 × 2 ×2= 2 ,
1 1 2 1 ∴VE-ABC= 3 S△ABC·EG= 3 × 2 × 2 = 3 .
7.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在 的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE; D A (3)求二面角 A-BE-D 的大小. 【命题立意】本题考查了线面平行、线面垂直及二面角的求法.一般的,运用几何法(方法一)对空间想象 能力,空间运算能力要求较高,关键是寻找二面角的平面角;运用向量法(方法二)思路简单,但运算量 较大,熟练掌握向量的线性运算及数量积是解决问题的关键. 【思路点拨】解决立体几何问题一般有两种方法:几何法与向量法.几何法: (1)证明 AF 与平面 BDE 内 的某条线平行; (2)证明 CF 垂直于平面 BDE 内的两条相交直线; (3)由第(2)问的结论,可过 A 作一 直线与 CF 平行,从而垂直于平面 BDE,找到二面角的平面角.向量法:利用三个垂直关系建立空间直角坐 标系,利用向量的垂直和数量积求二面角的大小. 【规范解答】方法一:
C

E

F

B

1 (1) 设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EF//AG,且 EF=1,AG= 2 AC=1.所以四边形 AGEF 为平行四边形.
所以 AF//EG,因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE,所以 AF//平面 BDE.

CEFG CEFG 为平行四边形, (2)连接 FG,? EF / /CG, EF ? CG ? 1 ,?四边形
又? CE ? EF ? 1 ,? □ CEFG 为菱形,? EG ? CF . 在正方形 ABCD 中, AC ? BD .

BC ? 平面CEFG , ? 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,? BD

? BD ? CF ,又 EG ? BD ? G ,?CF ? 平面BDE .
(3)设 EG 交 FC 于点 K,在平面 ACEF 内,过 A 作 AH ? EG ,垂足为 H,连接 HB,则 AH//CF.

? AH ? 平面 BDE,? AH ? BE , AH ? BH .
又? 面 ABCD ? 面 ACEF,CE ? AC,? CE ? 面 ABCD,? CE ? AB . 又? AB ? BC, BC ? CE ? C ,? AB ? 面 BCE,? AB ? BE .? BE ? 面 ABH.

? BE ? BH .??ABH 为所求的二面角 A-BE-D 的平面角.

2 AH 1 2 sin ?ABH ? ? 2 ? AH ? FK ? , AB ? 2 AB 2 2, 2 由 得,
??ABH ?

?
6.

? ?ABH 为锐角,

方法二: (1)因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,且 CE ? AC,所以 CE ? 平面 ABCD.如图,

,2 0 ) , 以 C 为原点, 建立空间直角坐标系, 则C (0, 0, 0) ,A( 2
F(

0 ) , , B (0, 2 , 0) ,D( 2

,E (0, 0,1) ,

??? ? 2 2 2 2 ??? ? ??? ? AF ? (? ,? ,1) ? , ,1) BE ? (0, ? 2,1) DE ? ( ? 2,0,1) 2 2 2 2 ,所以 , , .设 n ? ( x, y, z) 为平 ? ??? ? ? ? ?n ? BE ? 0 ?? 2 y ? z ? 0 ? ? ???? ? ? n ? DE ? 0 ? 2x ? z ? 0 ? ? y ? 1, z ? 2 ? n ? (1,1, 2) . ? ? x ? 1 面 BDE 的法向量,则 ,即 ,令 ,得 , ? ??? ? 2 2 ? ??? ? ? n ? AF ? 1? (? ) ? 1? ( ? ) ? 2 ?1 ? 0 2 2 ,? n ? AF ,
又? AF ? 平面 BDE,? AF//平面 BDE.

??? ? 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CF ? ( , ,1) 2 2 (2)由(1)知 ,所以 CF ?BE ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 , CF ?DE ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ,
所以 CF ? BE , CF ? DE .又因为 BE ? DE ? E ,所以 CF ? 平面 BDE.

?? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ( 2, 0, 0) (0, ? 2,1) m ? ( x , y , z ) mB A BA BE ? (3)设平面 ABE 的法向量 , 由 (I) 知 = , , 则 ?

?? ??? ? ?0, m?BE ? 0 .



?? ? ?? ? ?? ? m?n 3 ? co s ?m , n? ? ?? ? ? ? m, n ?? | m | |n | 2 .所以 6.
因为二面角 A ? BE ? D 为锐角,

所 以 x ? 0, 且 z ? 2 y, 令 y ? 1, 则 z ? 2 .

?? m 所 以 ? ( 0, 1, 2 .) 从 而

? 所以二面角 A ? BE ? D 的大小为 6 .
8.如图,在长方体 ABCD – A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合) ,且 EH//A1D1.过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G. (I)证明:AD//平面 EFGH; (II)设 AB=2AA1=2a.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点, 记该点取自于几何体 A1ABFE–D1DCGH 内的概率为 P.当点 E,F 分别 在棱 A1B1, B1B 上运动且满足 EF=a 时,求 P 的最小值. 【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知 识;考查空间想象能力、推理论证能力、运 算求解能力;考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化 思想等. 【思路点拨】第一步由线线平行得到线面平行;第二步首先求出长方体以及三棱柱 EB1F-HC1G 的体积, 并求解三棱柱

EB1F ? HC1G 的体积的最大值,然后利用体积比计算出几何概率,最后得解. AD / / A1D1 ,又 EH / / A1D1 ,? AD / / EH ,

【规范解答】 ( I ) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 又 AD ? 平面 EFGH ,所以 AD / / 平面 EFGH .

EB F ? HC1G 的 V ? AB ? AD ? AA1 ? 2a b , C ? b , (II) 设B 则长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积 几何体 1
2

b ?1 ? EB 2 ? B1F 2 a 2 V1 ? ? EB1 ? B1F ? ? B1C1 ? EB1 ? B1F ? EB1 ? B1F ? 1 ? 2 2 2 ? EB1 ? B1F ? a , 2 ?2 ? 2 2 , 体积 ,又

当且仅当

EB1 ? B1F ?

V a 2b 1 7 2 P ? 1? 1 ? 1? ? V1 ? a V 8 8 ,此时 4 , 故 Pmin 2 时等号成立,从而

EB1 ? B1F ?

7 2 a 2 ,所 以 P 的最小值等于 8 .

【方法技巧】立体几何中的证明问题,一定要把条件写完整了,保证逻辑合理,如:本题一定要写出

?平 面 EFGH AD ?面 EFGH ”. “ AD
9.如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形, AB∥CD, AC ⊥BD 垂足为 H,PH 是四棱锥的高, E 为 AD 中点. (Ⅰ) 证明:PE⊥BC (Ⅱ)若 ?APB = ? ADB =60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值. 【命题立意】本题主要考查了利用向量法解决立体几何中证明位置关系求夹角等问题. 【思路点拨】建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标进行计算. 【规范解答】如图,以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 角坐标系,则 A(1,0,0), B(0,1,0)

x, y, z 轴,线段 HA 的长为单位长, 建立空间直

( m? ?0, 0,n n? ?0) 0) (Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)( ,m ,

m??
(Ⅱ)由已知条件可得

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3 ,P0 ) , ( 0 , 0 , 1)


D( 0 ? ,
?

3 1 3 , 0E ), ? ( , 3 2 6

n ? ( x, y, xz) ) 为平面 PEH 的法向量, 设n

??? ? PA ? (1,0, ?1) ,可得 n ? (1, 3,0) 因此可以取 ,由
2 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 4 .

? ? ?? 2 c o sP A n , ? 4 ,

10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC,∠BCD=900. 求证:PC⊥BC. 求点 A 到平面 PBC 的距离. 【命题立意】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体 的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【思路点拨】 (1)可证明 BC 与 PC 所在的某一个平面垂直. (2)点 A 到平面 PBC 的距离是点 D 到平面 PBC 的距离的 2 倍. 【规范解答】 (1)因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由∠BCD=90°,得 CD⊥BC, 又 PD ? DC=D,PD,DC ? 平面 PCD, 所以 BC⊥平面 PCD. 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC. (2)分别取 AB,PC 的中点 E,F,连 DE,DF,则易证 DE∥CB,∴DE∥ 平面 PBC,点 D,E 到平面 PBC 的距离相等.又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍.由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 P BC⊥平面 PCD,且平面 PBC∩平面 PCD=PC,因为 PD=DC, PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC.

2 易知 DF= 2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离为 2 .
【方法技巧】一个几何体无论怎样转动,其体积是不变的.如果一个几何体的底面积和高较难求解时,我们 可考虑利用等体积法求解.等体积法也称等积转换或等积变形, 它是通过选择合适的底面来求几何体体积的 一种方法,多用来解决有关锥体的体积,把底面积和高的求解转化为数量关系清晰的底面及其对应的高, 减少运算量,这也是转化与化归思想在立体几何中的具体体现.本题也可利用等体积法求解: 连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h.

因为 AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900. 又 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积

S?ABC ? 1.

1 1 V ? S?ABC ? PD ? 3 3. 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积
因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC. 又 PD=DC=1,所以 PC ?

PD2 ? DC2 ? 2 .
S?PBC ? 2 2 .

由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积



VA?PBC

1 1 S? PBC ? h ? V ? ? VP? ABC , 3 3 ,得 h ? 2 ,

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 . 11.如图,棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B. (Ⅰ)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (Ⅱ)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D:DC1 的值.

【命题立意】本题考查了空间几何体的线面垂直与面面垂直、以及几何体的计算问题,考查了考生的 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】 (I)先证明 B1C⊥平面 A1BC1.再证明平面 AB1C⊥平面 A1BC1. (II)利用线面平行的性质,得到线线平行,进而可解. 【规范解答】 (I)

【方法技巧】 1、证明面面垂直,一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线,为此分析题设,观察图形找到是哪条 直线和哪个平面垂直. 2、证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体 现出来,如本题中强调了 A1B∩BC1=B. 12.在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA ,

E , G , F 分别为 MB , PB , PC 的中点,
且 AD ? PD ? 2 MA . (1)求证:平面 EFG ? 平面 PDC . (2)求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积之比. 【命题立意】本题主要考查空间中的线面关系和面面关系.考查线面垂直,面面垂直的判定及几何体积的计 算,考查了考生的识图能力、空间想象能力和逻辑思维能力. 【思路点拨】(1)先证明 BC ? 平面PDC ,再由 GF // BC 可证平面 EFG ? 平面 PDC .(2)求三棱锥

P ? MAB 的体积关键是求点 P 到 平面MAB 的距离,由 PD // MA 可将该距离转化为点 D 到 平面MAB 的
距离. 【规范解答】 (1)∵ MA ? 平面ABCD , PD // MA ,所以 PD ? 平面ABCD . 又 BC ? 平面 ABCD,所以 PD ? BC . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BC ? DC .

又 PD ? DC ? D ,因此 BC ? 平面PDC . 在△ PBC 中,因为 G, F 分别为 PB, PC 的中点, 所以 GF // BC ,因此 GF ? 平面PDC . 又 GF ? 平面EFG , 所以 平面EFG ? 平面PDC . (2)因为 PD ? 平面ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1,



V PD=AD=2,所以

P ? ABCD

?

1 8 . ? PD ? S 正方形 ABCD 3 3,

由题易知 DA ? 平面MAB, 且PD // MA ,所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离.

V 三棱锥
所以

P ? MAB

?

1 1 2 ? ?1? 2 ? 2 ? 3 2 3,
1:4.

V

P ? MAB

: V P? ABCD ?

13.如图,在五面体 AB CDEF 中,四边形 ADEF 是正方形,FA⊥平面 ABCD,BC ∥AD,CD=1,AD= 2 2 ,∠BAD=∠CDA=45°. (1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值. (2)证明 CD⊥平面 ABF. (3)求二面角 B-EF-A 的正切值. 【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能 力,运算能力和推理论证能力. 【思路点拨】 (1)∠CED 即为异面直线 CE 与 AF 所成的角.(2)证明 CD 垂直于两条相交直线 AB,FA. (3)做辅助线构造二面角的平面角. 【规范解答】(1)因为四边形 ADEF 是正方形,所以 FA//ED.故 ?CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角.因为 FA ? 平面 ABCD,所以 FA ? CD.故 ED ? CD.

ED 2 2 在 Rt△CDE 中,CD=1,ED= 2 2 ,CE= CD ? ED =3,故 cos ?CED = CE = 3 .
2 2

2 2 所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 3 .
(2)过点 B 作 BG//CD,交 AD 于点 G, 则 ?BGA ? ?CDA ? 45 .由 ?BAD ? 45 ,可得 BG ? AB,从而 CD ? AB,
? ?

又 CD ? FA,FA ? AB=A,所以 CD ? 平面 ABF.

(3)由 (2) 及已知, 可得 AG= 2 , 即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N, 连接 GN, 则 GN ? EF,因为 BC//AD, 所以 BC//EF.过点 N 作 NM ? EF,交 BC 于 M,则 ?GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角. 连接 GM ,可得 AD ? 平面 GNM, 故 AD ? GM. 从而 BC ? GM. 由已知,可得 GM ? 平面 MAB. 由 NG//FA,FA ? GM,得 NG ? GM.

?GNM ?
在 Rt△NGM 中,tan

GM 1 ? NG 4 ,

1 所以二面角 B- EF-A 的正切值为 4 .
14.如图, AEC 是半径为 a 的 半圆, AC 为直径,点 E 为 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED ,

?

?

FB = 5a .
(1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. 【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间 几何体的相关计算. 【 思 路 点 拨 】 (1)

FC ? 平面BED

? FC ? AD ,

又 点

E



? AC 的 中 点

?E B ?
(2)利用

?D EB ? 平面 FBD ? E B ? A

.F D

VF ?BED ? VB?EFD 求解.

FD ? BED , BE ? 平面 BED , ? FC ? BE , 【规范解答】(1) ? FC ⊥平面
又 ? 点 E 为 AC

?

的中点,B 为 AC 中点, ? BE ? AC ,且 AC ? FC ? C ,

AC , FC ? 平面 BFD , ?


BE ? 平面 BFD ,

FD ? 平面 BFD , ?

B E? F D .

(2) 由(1)得, BE ? BF , ? 又?

B F? 5 a , ?

EF ? EB2 ? BF 2 ? 6a ,
A B? B C? C D ? , a

点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,?

2 2 ? FD ? FB ? 5a , ED ? EB ? BD ? 5a ,? ED ? FD ,

FC ? FB2 ? BC 2 ? 2a.
DK ? DF 2 ? FK 2 ? 14 a 2 ,

取 EF 的中点 K ,连接 DK ,则

?

S?EFD ?

1 1 21 2 S ?BED ? BE ? BD ? a 2 EF ? DK ? a 2 2 2 , 又 ,

设点 B 到平面 FED 的距离为 h ,由

VF ?BED ? VB?EFD 得:

1 1 1 21 2 1 h ? S?EFD ? FC ? S ?BED h? a ? ? 2a ? a 2 3 3 2 3 ,即 3 ,

h?
解得:

4 21 a 21 ,

4 21 a. 即点 B 到平面 FED 的距离为 21
【方法技巧】立体几何中求点到平面的距离,通常用等体积法. 15.如图所示,在长方体

ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点
(1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值, (2)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M 【命题立意】以非常简单常见的长方体为载体,考查空间线线的 定量和面面的定性关系. 【思路点拨】异面直线所成的角关键是平移直线构成三角形, 再解三角形.面面垂直的证明关键是在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面. 【规范解答】(1) 如图,∵C1D1∥B1 A1,∴∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角. ∵A1B1⊥平面 BCC1B1,∴∠A1B1M=90°. 而 A1B1=1,

B1 M ? B1C1 ? MC 1 ? 2

2

2

,故

t an ?MA1 B1 ?

B1 M ? 2 A1 B1 .

即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2 .

BM ?1 BCC BCC B1 1 B1 ,得 A1B1⊥BM (2) 由 A1B1⊥平面 BCC1B1, BM ? 平面




B1 M ? B1C1 ? MC 1 ? 2

2

2

B1 B ? 2 , , , BM ? BC ? CM ? 2
2 2

∴ B1 M ? BM ? B1 B ,从而 BM⊥B1M
2 2 2



? ABM ,因 ? 平面 ABM 又 A1B1∩B1M=B1,再由①,②得 BM⊥平面 A1B1M,而 BM BM
此 平面 ABM⊥平面 A1B1M. 【方法技巧】(1)求异面直线所成的角关键是平移一条直线,或者是找一条直线和其中一条直线平行而和另 一条直线 相交,找直线的技巧是中点对中点,产生中位线,引出平行,也可以取连接两条异面直线的线段 的中点,再把这些中点连成线段. (2)证明面面垂直关键在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面, 在证明一条直线垂直另一个平面时常常 转化为证明这条直线垂直另一个平面内两条相交直线.证明直线垂直直线常常有两种情况:一是相交垂直, 常可以计算,也可以定性证明,二是异面垂直,异面垂直常转化射影垂直,即把其中一条直线放在一个平 面上,找到另一条直线在这个平面上的射影,再证明一条直线垂直于射影即可.


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