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(文数)梅州市曾宪梓中学2012届高二5月月考试题



梅州市曾宪梓中学 2011-2012 学年高二 5 月月考 文科数学
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、设集合 A ? {? x, y ? | 是( ) 。 A.1
x2 y 2 ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的元素个数 4 16

B.2

>
C .3

D.4 ) D、直线 y ? x

2、函数 y ? 3x 与 y ? ?3? x 的图象关于下列哪种图形对称:( A、原点 B、 y 轴 C、 x 轴 )

3、函数 y ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2

2 2 B、 ( , ??) C、 [ ,1] 3 3 ? x ? 2( x ? ?1) ? 4、已知 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?

A、 [1, ??)

2 D、 ( ,1] 3



3 或? 3 2 5、已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( A、1 B、2 C、3 D、4

A、 3

B、 1 或

3 2

C、1

D、 1 ,



6、若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是(
3 A、 f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2 3 C、 f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2 3 B、 f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 3 D、 f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2



7、设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b (b 为常数), 则 f (?1) ? ( A、 3 ) B、 1 C、 ?1 ) D、 3e x D、 ?3

8、若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( A、 3 ln x B、 3ln x ? 4

C、 3e x ? 4

? ? ?? 9、 已知函数 f ? x ? ? x ? sin x ,若 x1 , x2 ? ? ? , ? 且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,则下列不等式 ? 2 2?

中正确的是( A. x1 ? x2

) B. x1 ? x2 C. x1 ? x2 ? 0 D. x1 ? x2 ? 0

10、若实数 x, y 满足 | x ? 1 | ? lg 是( )

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致 y

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、函数 y ? 2x ? x ? 1 的值域是_________________ 。 12、已知 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 log x ( y x ) 的值是_________。 13、判断函数 y ? x 2 lg( x ? x 2 ? 1) 的奇偶性是__________函数。

?2? x ? 1, x ? 0 ? 14、设函数 f(x)= ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 ?x 2 , x?0 ?
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分) 15、 (满分 12 分)命题 p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,命题 q :



方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根。若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围。 16、 (满分 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一 栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平 均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用, 平均购地费用= 购地总费用 )
建筑总面积

17、 (满分 14 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 的导函数的图象如图所示: (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) g ( x ) ? 令 在 [1,3] 上的最大值。
f ( x) , y ? g ( x) 求 x

第 题图

17

18、 (满分 14 分)如图 4, A1 A 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径,
C 是底面圆周上异于 A, B 的任意一点, AA1 ? AB ? 2 .

(1)求证: BC ⊥平面 A1 AC ; (2)求三棱锥 A1 ? ABC 的体积的最大值.

19、 (满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 3 x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 2 2 ? (n, Sn )(n ? N )均在函数 y ? f ( x) 的图象上。

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; a (2)令 bn ? nn 1 , 求数列 {bn }的前n项和Tn; 2? 20、 (满分 14 分) 设函数 f ( x) 的定义域是 R,对于任意实数 m, n ,恒有 f (m ? n) ? f (m) f (n) , 且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 。 ⑴求证: f (0) ? 1 ,且当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ; ⑵判断 f ( x) 在 R 上的单调性; ⑶设集合 A ? {( x, y) | f ( x2 ) f ( y 2 ) ? f (1)} , 集合 B ? {( x, y) | f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R} , 若 A∩B= ?

参考答案
1-10、B A D A B A D C C B 11、(-2,+ ;12、0 ;13、奇 ;14、(- ,-1) (1,+ ) 15、“ p 或 q ”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题
?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? 当 p 为真命题时,则 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,得 m ? ?2 ; ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
当 q 为真命题时,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1 当 q 和 p 都是真命题时,得 ?3 ? m ? ?2 ,? m ? ?1

17、(Ⅰ)因为 f ?( x) ? 2ax ? b ,由图可知, f ?( x) ? 2 x ? 1 ,

? 2a ? 2 ?a ? 1 ∴? ,得 ? ,故所求函数解析式为 f ( x) ? x 2 ? x ? 2 . ?b ? 1 ?b ? 1
f ( x) x 2 ? x ? 2 2 ? ? x ? ? 1 ,则 (Ⅱ) g ( x) ? x x x
g ?( x) ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ( x ? 2)( x ? 2) . ? ? x2 x2 x2

当 1 ? x ? 2 时, g ?( x) ? 0 ;当 2 ? x ? 3 时, g ?( x) ? 0 ;
14 14 ,? g (1) ? g (3) ,即 g ( x) max ? g (3) ? 3 3 18、(1)证明:∵ C 是底面圆周上异于 A 、 B 的一点,且 AB 为底面圆的直径, ∴ BC ? AC

∵ g (1) ? 4 , g (3) ?

∵ AA1 ⊥平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ BC ? AA1 . ∵ AA1 ? AC ? A, AA1 ? 平面 A1 AC , AC ? 平面 A1 AC ,

∴ BC ? 平面 A1 AC . (2)解法 1:设 AC ? x ,在 Rt△ ABC 中, BC ? AB2 ? AC2 ? 4 ? x2 (0<x<2 ) ,
1 故 VA ? ABC ? 1 S?ABC ? AA1 ? 1 ? 1 AC ? BC ? AA1 ? x 4 ? x 2 (0<x<2 ) , 3 3 3 2
1

即 VA ? ABC ? 1 x 4 ? x 2 ? 1 x 2 (4 ? x 2 ) ? 1 ?( x 2 ? 2) 2 ? 4 .
1

3

3

3

∵ 0 ? x ? 2,0 ? x2 ? 4 , ∴当 x 2 ? 2 ,即 x ? 2 时,三棱锥 A1 ? ABC 的体积的最大值为 解法 2: 在 Rt△ ABC 中, AC 2 ? BC 2 ? AB2 ? 4 ,
V A1 ? ABC ? 1 1 1 1 S ?ABC ? A1 A ? ? A1 A ? ? AC ? BC ? ? AC ? BC 3 3 2 3 2 . 3

2 1 AC 2 ? BC 2 1 AB 2 ? . 当 且 仅 当 AC ? BC 时 等 号 成 立 , 此 时 ? ? ? ? 3 3 2 3 2

2 AC ? BC ? 2 .∴三棱锥 A1 ? ABC 的体积的最大值为 . 3

20.解:⑴f(m+n)=f(m)f(n),令 m=1,n=0,则 f(1)=f(1)f(0),且由 x>0 时,0<f(x)<1, ∴f(0)=1;设 m=x<0,n=-x>0,∴f(0)=f(x)f(-x),∴f(x)=
1 >1。 f (? x)

⑵设 x1<x2,则 x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)= f(x2-x1)f(x1)-f (x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,∴f(x)在 R 上单调递减。 ⑶∵f(x2)f(y2)>f(1), ∴f(x2+y2)>f(1), f(x)单调性知 x2+y2<1, f(ax-y+2)=1=f(0), 由 又

∴ax-y+2=0,又 A∩B= ? ,∴

2 a ?1
2

? 1 ,∴a2+1≤4,从而 ? 3 ? a ? 3 。



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