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2.3.3直线与平面垂直的性质



问题提出

1.直线与平面垂直的定义是什 么?如何判定直线与平面垂直? 2.直线与平面垂直的判定定理, 解决了直线与平面垂直的条件问题; 反之,在直线与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理

思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,棱AA1,BB1,CC1,DD

1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何?它们 彼此之间具有什么位置关系?
C1 B1 C B A A1 D

D1

思考2:如果直线a,b都垂直于同一 条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?
l
a b a b

l

b

l
a

思考3:一个平面的垂线有多少条?这 些直线彼此之间具有什么位置关系?
a b c

α

O

思考4:如果直线a,b都垂直于平面 α ,由图观察可知a//b,从理论上 如何证明这个结论? 反证法

思考5:根据上述分析,得到一个什 么结论?

定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行
符号表示:

a ??? ? ? a // b b ?? ?

思考6:上述定理通常叫做直线与平 面垂直的性质定理. 该定理有什么 功能作用?

线面垂直的性质
D1 B1 C1 A1

D

C

A

B

AA1 ? 平面AC ? ? ? AA1 // CC1 CC1 ? 平面AC ?

知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究

思考1:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//a,则b与α 的位置关 系如何?为什么?
a
b

α

思考2:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//α ,则a与b的位置关 系如何?为什么?
b

a
l

α

思考3:设l为直线,α ,β 为平面, 若l⊥α ,α //β ,则l与β 的位置关 系如何?为什么?
l
b α β a

d

C

思考4:设l为直线,α 、β 为平面, 若l⊥α ,l⊥β ,则平面α 、β 的位 置关系如何?为什么?

l α

β

理论迁移

例1.如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点A,CB ? ? 于点B, ? ? , a ? AB, a 求证:a // l .
β B α l A C

a

例2.在正方体ABCD ? A1B1C1D1中,点E , F 分别 在A1D, AC上,且EF ? A1D, EF ? AC. 求证:EF / / BD1.
A1 D1 B1 C1

E

D
F

C

A

B

例3.在正方体ABCD ? A1B1C1D1中, 点M , N 分别是AB,A1C的中点. 求证:MN ? 平面A1DC.
A1 D1 B1 C1

o
D

N
C

A

M

B

例3
求证:PC⊥AB.

如图 在四面体 P-ABC 中,若 PA ⊥BC,PB⊥AC,

证明:过 P 作 PH⊥平面 ABC,垂足为 H,连接 AH、BH 和 CH. ∵PA ⊥BC, PH⊥BC,PA ∩PH=P, ∴BC⊥平面 PAH. 又 AH?平面 PAH ,∴BC⊥AH. 同理 AC⊥BH,即 H 为△ABC 的垂心, ∴AB⊥CH. ∵PH⊥AB,CH∩PH=H,∴AB⊥平面 PCH. ∵PC?平面 PCH,∴PC⊥AB. 点评:从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在 解(证)题中的作用.

1.已知 a、b 是两条不同的直线,α、β为两个不同 的平面,a⊥α,b⊥β, 则下列命题中不正确的是( B)

A.若 a 与 b 相交,则α与β相交 B.若α与β相交,则 a 与 b 相交 C.若 a∥b,则α∥β D.若α⊥β,则 a⊥b

2.α、β是两个不同的平面,m、n 是α、β ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论, ①③④→② 写成你认为正确的一个命题___________. 答案不唯一,如:②③④→①也正确.

之外的两条不同的直线,给出以下四个论断:



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