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豫南九校联盟2015—2016学年下期第一次联考



豫南九校联盟 2015—2016 学年下期第一次联考

高三数学(理)试题
组题审核:豫南九校联谊试题研究中心组 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上; 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卷上对应的题目标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标

号,写在本试卷上无效; 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卷上,写在本试卷上无效; 4.考试结束后,将本试卷和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上。 ) 1.已知集合 A={x| x 2 ≥16},B={m},若 A∪B=A,则实数 m 的取值范围是 A. (-∞,-4) C.[-4,4] 2.已知复数 Z 的共轭复数 Z = B.[4,+∞) D. (-∞,-4]∪[4,+∞)

1-i ,则复数 Z 的虚部是 1+2i
C.-

A.

3 5

B.

i

3 5

D.-

3 i 5

? 1 x 1 ?( ) , ( x≤0) 3.若 f(x)= ? 3 ,则 f(f( ) )= 9 ? ?log3 x? ( x>0)
A.-2 B.-3 C.9 D.

1 9

?2 22? 4.若{ an }为等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S11= ,{ bn }为等比数列, b5 · b7 = , 7 3
则 tan( a6 + b6 )的值为 A. 3 B. ? 3

C.

D. ?

3 3

5.执行如右图所示的程序框图,则输出的结果是
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19 20 21 C. 22
A.

20 21 22 D. 23
B.

6.已知点 P 是抛物线 x 2 =4y 上的动点,点 P 在 x 轴上 的射影是 Q,点 A 的坐标是(8,7) ,则|PA|+ |PQ|的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10

? x-y+1≥0 ? 7. 已知 ?7 x-y-7≤0, 表示的平面区域为 D, 若 ?( x, y) ∈D, ? x≥0, y≥0 ?
2x+y≤a 为真命题,则实数 a 的取值范围是 A.[5,+∞) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.[0,+∞) 8.如右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积 是 A.3+ 2 + 3 B.

2 3

C.2+ 2 + 3 D.5+ 2

9.已知双曲线 M:

x2 y 2 2 - 2 =1 (a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 c (c 2 a b 3

为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为 A.

7 3

B.

3 7 2

C.

3 7 7

D. 3 7

10.四面体的一条棱长为 x,其余棱长为 3,当该四面体体积最大时,经过这个四面体所有 顶点的球的表面积为 A.

27? 2

B.

9? 2

C.

15? 2
2

D.15π

11.设 x,y∈R,则 A.4 B.16

+ (4+3 y+sin x) 的最小值为 C.5 D.25

12.当|a|≤1,|x|≤1 时,关于 x 的不等式| x 2 -ax- a 2 |≤m 恒成立,则实数 m 的 取值范围是 A.[

3 5 ,+∞) B.[ ,+∞) 4 4

C.[

3 ,+∞) 2

D.[

5 ,+∞) 2

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第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共计 20 分。 )
3 13.设命题 P: ?x0 ∈(0,+∞), 3 0 < x0 ,则命题 ?p 为___________.
x

14. 设 a=

?

?

0

(sin x+cos x)dx , 则二项式 (a x-

1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数是________. x

15.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, 则| PA +3 PB |的最小值为____________. 16.已知函数 f(x)= ?

uur

uur

? ? ln(-x) , x<0 ,若 H(x)= [f(x)]2-2bf(x)+3 有 8 个不同 2 ? ? x -4x+3, x≥0

的零点,则实数 b 的取值范围为______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上, ∠CAD=

?
4

,AC=

7 ,cos∠ADB=- 2



(Ⅰ)求 sin∠C 的值; (Ⅱ)若 BD=5,求△ABD 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数题 各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位:人) 男同学 女同学 总计 几何题 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5-7 分钟,乙每次解答一 道几何题所用的时间在 6-8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答 完的概率. (Ⅲ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 附表及公式:

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19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, AD∥BC,AD⊥CD,且 AD=CD=2 2 ,BC =4 2 ,PA=2,点 M 在 PD 上. (Ⅰ)求证:AB⊥PC; (Ⅱ)若二面角 M-AC-D 的大小为 45°,求 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆形:

x2 y 2 3 2 2 ,其左顶点 A 在圆 O: x +y = + 2 =1(a>b>0)的离心率为 16 2 a b 2

上. (Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q.是否存在点 P,使得 =

3? 若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在, 说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

x -ax. ln x

(Ⅰ)若函数 f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的最小值; (Ⅱ)已知 f ?( x) 表示 f(x)的导数,若 ?x1 , x2 ∈[e, e 2 ](e 为自然对数的底数) ,使 f(x1)- f ?( x2 ) ≤a 成立,求实数 a 的取值范围. 【选考题】 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过圆 O 上的点 C,并且 OA=OB,CA =CB,圆 O 交直线 OB 于点 E、D,其中 D 在线段 OB
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上.连结 EC,CD. (Ⅰ)证明:直线 AB 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED=

1 ,圆 O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为α 的直线 l:?

? ? x=2+tcos? (t 为参数)与曲线 C: ? ?y= 3+tsin?

(θ 为参数)相交于不同的两点 A,B.

(Ⅰ)若α =

?
3

,求线段 AB 中点 M 的坐标:

(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP|2,其中 P(2, 3 ) ,求直线 l 的斜率. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-3|. (Ⅰ)若不等式 f(x-1)+f(x)<a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<3,且 a≠0,判断

f (ab) b 与 f( )的大小,并说明理由. a a

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高三理数参考答案
一、选择题 1. D
7. A

2. A 8. C

3. C 9. C

4. C 10. D

5.C

6. C

11. B

12. B

二、填空题 13. ?x ? (0,??),3 x ? x 3 14. -192

15. 5

16. 答案: ( 3 ,2]
三、解答题

17. 解: (Ⅰ)因为 cos ?ADB ? ?

2 , 10

A

所以 sin ?ADB ?

7 2 . 10

? ? 又因为 ?CAD ? ,所以 ?C ? ?ADB ? . 4 4

B

D

C

? ? ? 所以 sin ?C ? sin(?ADB ? ) ? sin ?ADB ? cos ? cos ?ADB ? sin 4 4 4

?

7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5

…………6 分
7 4

? AC ? sin ?C 2 5 AD AC ? ?2 2. ? (Ⅱ)在 ?ACD 中,由 ,得 AD ? sin ?ADC 7 2 sin ?C sin ?ADC 10

所以 S ?ABD ?

1 1 7 2 AD ? BD ? sin ?ADB ? ? 2 2 ? 5 ? ? 7 .…………12 分 2 2 10

18. 解:(1)由表中数据得 K 2 的观测值
50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 K ? ? ? 5.556 ? 5.024 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2 2

…………2 分

所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.………3 分 (2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟, ?5 ? x ? 7 则基本事件满足的区域为 ? (如图所示) ?6 ? y ? 8

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设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y ……………………………………5 分 1 ? 1? 1 1 2 ? ? P ( A) ? 2? 2 8 1 即乙比甲先解答完的概率为 ……………………7 分 8 (3) 由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人, 抽取方法有 C8 2 ? 28 种, 其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有
C21 ? C61 =12 种;两人都被抽到有 C2 2 ? 1 种

? X 可能取值为 0,1, 2 , …………………………………………8 分 15 12 3 , P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? ? , 28 28 7 1 ……………………………………10 分 P( X ? 2) ? 28 X 的分布列为: 0 1 2 X 15 3 1 P 28 7 28 ………………11 分
15 12 1 1 +1 ? +2 ? ? ……………………………………12 分 28 28 28 2 19. 解:(1)取 BC 中点 E ,连结 AE ,则 AD ? EC , AD // EC ,所以四边形 AECD 为平行 ? E( X ) ? 0 ?
四边形,故 AE ? BC ,又 AE ? BE ? EC ? 2 2 ,所以 ?ABC ? ?ACB ? 45? , 故 AB ? AC ,又 AB ? PA , AC ? PA ? A ,所以 AB ? 平面PAC , 故有 AB ? PC …………5 分

(2) 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A ? xyz , 则
A?0,0,0 ?, B 2 2 ,?2 2 ,0 , C 2 2 ,2 2 ,0 , P?0,0,2 ?,
设 PM ? ? PD ? 0,2 2? ,?2? ?0 ? ? ? 1? , 易得 M 0,2 2? ,2 ? 2? 设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? , 则?

?

? ?

?

?

?

?

?

? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0

? ?n1 ? AM ? 2 2?y ? ?2 ? 2? ?z ? 0 2? 令 y ? 2 , 得x ? ? 2 , z ? , ? ?1

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即 n1 ? ? ? 2 , 2 ,

又平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? ?0,0,1? ,

? ?

2? ? ? ………………8 分 ? ?1 ?

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2? ? ?1 ? 2? ? 4?? ? ? ? ?1 ?
2

? cos 45? ,解得 ? ?

1 , 2

即 M 0, 2 ,1 , BM ? ? 2 2 ,3 2 ,1 , 而 AB ? 2 2 ,?2

?

设直线 BM 与平面 PAC 所成的角为 ? , 则 sin ? ? cos ? BM , AB ??

?

?

? ? 2 ,0 ?是平面 PAC 的一个法向量,
| ?8 ? 12 | 4?3 3 ? 5 3 . 9

5 3 …………12 分 9 2 2 20. 解: (1) 因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x ? y ? 16 上, 令 y ? 0, 得 x ? ?4 , 所以 a ? 4 .
故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 又离心率为
2 2 2 3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 ,所以 b ? a ? c ? 4 , 2 a 2

x2 y2 ……………………………………4 分 ? ? 1. 16 4 (2)设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
所以 W 的方程为

? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ? 2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 , 因为 ?4 为方程的一个根,
所以 x1 ? ( ?4) ? 所以 | AP |?

?32k 2 4 ? 16k 2 ,所以 x ? 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
………………………………6 分

8 1? k2 . 1 ? 4k 2

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?
2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

| 4k | k2 ?1 8



16 ? , …………………………8 分 1? k2 1? k2 | PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ?1, 因为 | AP | | AP | | AP | 8 2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? 代入得到 2 2 2 | AP | 8 1 ? k 1? k 1? k 1? k2
1 ? 4k 2
显然 3 ?

| PQ | 3 ? 3 . ……………………12 分 ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 2 | AP | 1? k

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21.解: (1)由已知得函数 f ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1,??) ,

ln x ? 1 ? a ,又函数 f ( x) 在 (1,??) 上是减函数 (ln x) 2 ln x ? 1 ∴ f ?( x) ? ? a ? 0 在 (1,??) 上恒成立 …………………………………2 分 (ln x) 2 ∴当 x ? (1,??) 时, f ?( x) max ? 0 1 1 1 ln x ? 1 1 2 1 由 f ?( x) ? ? )2 ? ? a ? a ? ?( ) ? ? a = ? ?( 2 ln x 2 4 ln x ln x (ln x) 1 1 1 ∴当 ? ,即 x ? e 2 时, f ?( x) max ? ? a ln x 2 4 1 1 ∴ ? a ? 0即a ? 4 4 1 所以实数 a 的最小值为 。 ………………………4 分 4 2 (2)若 ?x1 , x 2 ? [e, e ] ,使 f ( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? a 成立, 2 则有 x ? [e, e ] 时, f ( x) min ? f ?( x) max ? a
而 f ?( x) ?

1 1 ? a ,所以 f ?( x) max ? a ? 4 4 1 2 由此问题转化为:当 x ? [e, e ] 时, f ( x) min ? …………………………6 分 4 1 2 ①当 a ? 时,由(1)知,函数 f ( x) 在 [e, e ] 上是减函数 4 e2 1 1 1 2 ? ae 2 ? ,所以 a ? ? 2 ; ………………7 分 则 f ( x) min ? f (e ) ? 2 4 2 4e 1 ②当 a ? 时, 4 1 1 1 ln x ? 1 1 2 1 由于 f ?( x) ? ? )2 ? ? a ? a ? ?( ) ? ? a ? ?( 2 ln x 2 4 ln x ln x (ln x)
由(1)知当 x ? [e, e ] 时, f ?( x) max ?
2

在 [e, e ] 上是增函数 所以 f ?(e) ? f ?( x) ? f ?(e ) ,即 ? a ? f ?( x) ?
2

2

1 ?a, 4

1 …………8 分 ?a ?0 4 2 2 若 ? a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 [e, e ] 上恒成立,函数 f ( x) 在 [e, e ] 上是增函数 1 所以 f ( x) min ? f (e) ? e ? ae ? e ? ,不合题意; …………………9 分 4 1 2 若 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 时,而 f ?( x) 在 [e, e ] 上是增函数, 4 1 且 ? a ? f ?( x) ? ? a 4
此时 所以存在唯一的 x 0 ? [e, e 2 ] ,使 f ?( x 0 ) ? 0 ,且满足:
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当 x ? [e, x 0 ] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 [e, x 0 ] 上是减函数; 当 x ? ( x 0 , e 2 ] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( x 0 , e 2 ] 上是增函数;

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? [e, e 2 ] ln x0 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴a ? ? ? ? ? ? ? 与 0 ? a ? 矛盾,不合题意。……11 分 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 1 1 综上,得实数 a 的取值范围是 a ? ? 2 。 ………………………12 分 2 4e
所以 f ( x) min ? f ( x 0 ) ? 22.解析: (1) 证明: 连结 OC . 因为 OA ? OB ,CA ? CB , 所以 OC ? AB. 又 OC 是圆 O 的半径, 所以 AB 是圆 O 的切线. ………………………5 分

(2)因为直线 AB 是圆 O 的切线,所以 ?BCD ? ?E. 又 ?CBD ? ?EBC , 所以 △BCD ∽△BEC. 则有 故
BD CD 1 ? ? . BC EC 2 BC BD CD CD 1 ,又 tan ?CED ? ? ? ? , BE BC EC EC 2

设 BD ? x ,则 BC ? 2 x ,又 BC 2 ? BD ? BE ,故 (2 x) 2 ? x( x ? 6) ,即 3x 2 ? 6 x ? 0 . 解得 x ? 2 ,即 BD ? 2 . 所以 OA ? OB ? OD ? DB ? 3 ? 2 ? 5.
2

………………………10 分
x ? ? y 2 ? 1 .当 ? ? 时,设点 M 对应的 4 3

23.解析: (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程是

1 ? x ?2? t ? x2 2 ? 参数为 t0 . 直线 l 方程为 ? ( t 为参数) , 代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 , 4 ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2

得 13t 2 ? 56t ? 48 ? 0 ,设直线 l 上的点 A , B 对应参数分别为 t1 , t2 . 则 t0 ?
12 3 t1 ? t2 28 ). ? ? ,所以点 M 的坐标为 ( , ? 13 13 2 13

……………………5 分

? x2 ? x ? 2 ? t cos ? (2) 将 ? 代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 , 4 ? ? y ? 3 ? t sin ?
得 (cos 2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? (8 3 sin ? ? 4cos ? )t ? 12 ? 0 ,

12 , | OP |2 ? 7 , cos ? ? 4sin 2 ? 12 5 ? 7 ,得 tan 2 ? ? . 所以 2 2 16 cos ? ? 4sin ?
因为 | PA | ? | PB |?| t1t2 |?
2

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由于 ? ? 32cos ? (2 3 sin ? ? cos ? ) ? 0 , 故 tan ? ?
5 5 .所以直线 l 的斜率为 . 4 4

………………………10 分

24.解析: (1)因为 f ( x ? 1) ? f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 3 | ≥ | x ? 4 ? 3 ? x |? 1 , 不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,则 1 …a 即可, 所以实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . (2) ………………………5 分

f (ab) b f (ab) b ? f ( ) ,证明:要证 ? f ( ) ,只需证 | ab ? 3 | ? | b ? 3a | , |a| a |a| a

即证 (ab ? 3) 2 ? (b ? 3a) 2 , 又 (ab ? 3) 2 ? (b ? 3a) 2 ? a 2 b 2 ? 9a 2 ? b 2 ? 9 ? (a 2 ? 1)(b 2 ? 9) 因为 | a |? 1 , | b |? 3 , 所以

(ab ? 3)2 ? (b ? 3a) 2 ? 0 ,所以原不等式成立.………………………10 分

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