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第3讲平面向量的数量积 3


平面向量的数量积
【基础梳理】?
1.向量数量积的运算律 (1) a · b =b · a; (2)λ a · (λ b ); b =λ( a · b )= a · (3)( a + b )· .c c=a · c +b · 2.平面向量数量积的坐标运算 设向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 (1) a · b =___________; (2)| a |=___________; (3)cos〈 a , b 〉=______________________; (4) a ⊥ b ?___________?.___________
⑸ a ∥ b ?___________

3.若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|→ AB|=___________(平面内两点间的距离公式). 探究: (1)若 a · b >0,能否说明 a 和 b 的夹角为锐角? (2)若 a · b <0,能否说明 a 和 b 的夹角为钝角?

【典型例题】?
【例 1】?已知向量 a =(1,2),向量 b =(x,-2),且 a ⊥( a - b ),则实数 x 等于 ( A.9 ). B.4 C.0 D.-4


(2)已知 a ? ?? 2,1? , b ? ??,1? ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是(

?1 ? A.? , 2 ? ? ?2, ? ?? ?2 ?

? ?? B. ?2,

C. ? , ? ??

?1 ?2

? ?

D. ? ? ?, ?

? ?

1? 2?

【变式】?如图,

→· → =________. 在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA AB
1

【例 2】?已知平面向量 a =(1,x), b =(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a ⊥ b ,求 x 的值; (2)若 a ∥ b ,求| a - b |.

【变式】?已知 a ? ?sin ? , cos? ? 2 sin ? ?, b ? ?1,2? ,若 a ∥ b ,求 tan ? 的值





3



?









ABC













? ? ? AB AC ? AB AC 1 AB与AC满足 ? ? ? ,则三角形 ABC 为________三 ? ? ? BC ? 0且 ? AB AC ? AB AC 2 ? ?
角形.

【例 4】 ?设平面内两向量 a 与 b 互相垂直, 且 a ? 2, b ? 1, 又k和t 是不同时为零的 实数 ⑴若 x ? a ? (t ? 3)b与y ? ?k a ? tb 垂直,求 k关于t的函数表达式 k ? f (t ) ; ⑵求函数 k ? f (t ) 的最小值.

2


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