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高三数学考点限时训练023



高三数学考点限时训练 023
1. 如图,圆 C 通过不同的三点 P(m,0) 、 Q(2,0) 、 R(0,1) ,且圆 C 在点 P 处的切线的斜率 为 1, (Ⅰ)试求圆 C 的方程。 (Ⅱ)若点 A 、 B 是圆 C 上不同两点,且满足 CP ? CA ? CP ? CB , (1) 试求直线 AB 的斜率。 (2) 若原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,试

求直线 AB 在 y 轴上的截距的范围。

y P O C R Q x

2. 某公司为了应对金融危机,决定适当进行裁员.已知这家公司现有职工 2m 人(60<m<500, 且 m 为 10 的整数倍),每人每年可创利 100 千元.据测算,在经营条件不变的前提下,若裁 员人数不超过现有人数的 20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年就能多创利 1 千元;若裁 员人数超过现有人数的 20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年就能多创利 2 千元.为保证 公司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的 75%.为保障被裁员工的生活,公 司要付给被裁员工每人每年 20 千元的生活费.问:为了获得最大的经济效益,该公司应裁员 多少人?

参考答案:
1.解:(Ⅰ)设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 则 C 点的坐标为 (? y P O C R Q x

D E ,? ) ,且 PC 的斜率为 ? 1 2 2

----3 分

因为圆 C 通过不同的三点 P(m,0) 、 Q(2,0) 、 R(0,1)

? 1? E ? F ? 0 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? D 2?m ? ? ? ? 2 2 所以有 ? E ? ? ?0 ? 2 ? ?1 ? D ? ?m ? ? 2

? D ?1 ? E ?5 ? 解之得 ? ----8 分 ? F ? ?6 ? ? m ? ?3

所以圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? x ? 5 y ? 6 ? 0

1 5 5 5 ,? ) , P(?3,0) ,所以 CP ? (? , ) 2 2 2 2 1 5 1 5 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 CA ? ( x1 ? , y1 ? ) , CB ? ( x2 ? , y 2 ? ) ----10 2 2 2 2 5 1 5 5 5 1 5 5 由 CP ? CA ? CP ? CB , 得 ? ( x1 ? ) ? ( y1 ? ) ? ? ( x2 ? ) ? ( y 2 ? ) , 即 2 2 2 2 2 2 2 2
(Ⅱ)(1)因为 C (?

x1 ? y1 ? x2 ? y 2 ,? k AB ?

y 2 ? y1 ? 1。 x2 ? x1

(2)设直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,则直线 AB 的方程为 y ? x ? t , 代人圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? x ? 5 y ? 6 ? 0 得 2 x 2 ? (2t ? 6) x ? t 2 ? 5t ? 6 ? 0 (*)
2 2 2 由题意 ? ? (2t ? 6) ? 8(t ? 5t ? 6) ? ?4t ? 16t ? 84 ? 0 ,解得 ? 7 ? t ? 4 ,

又原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,----14 所以 x1 x2 ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? 0 ,由(*)知, x1 x2 ?

1 2 (t ? 5t ? 6) , x1 ? x2 ? ?t ? 3 , 2

t 2 ? 2t ? 6 ? 0 , 代人整理得, 解得 ? 7 ? 1 ? t ?

7 ? 1 ,综上,? 7 ? 1 ? t ? 7 ? 1 ----16

分 2. 解:设公司裁员人数为 x, 获得的经济效益为 y 元, 则由题意得当 0 ? x ?

1 ? 2m时。y ? ? 2m ? x ??100 ? x ? ? 20 x 5

----2 分

2 1 当 m ? x ? ? 2m时,y ? ?2m ? x ??100 ? x ? ? 20 x 5 4

----4 分

2 ? 2 ? ? ? x ? 2 m ? 60 x ? 200 m , 0 ? x ? m且x ? N ? ? ? ? ? ? 5 ?y ? ? , 2 1 2 ??2 ? x ? 2 ? m ? 30 ? x ? ? 200m, m ? x ? m, x ? N ? ? 5 2 ? ?
由①得对称轴 x ? m ? 60 ? 0,



当0 ? m ? 60 ?

2 m,即60 ? m ? 100时,x ? m ? 60时,y取得最大值y1 ? m2 ? 80m ? 3600 5

当m ? 100时,x ?


2 m时,y取得最大值y2 ? 0.64m2 ? 152m ----8 分 5
得 , 对 称 轴 ,



x ? m ? 30
?当x ?

60<m<500,? m ? 30 ?

1 m 2

m 时,y取得最大值y3 ? 1.5m 2 ? 140m 2
2

当60<m ? 100时,y3 ? y1 ? 0.5m2 ? 60m ? 3600 ? 0.5 ? m ? 60 ? ? 5400 ? 0.5 ?1202 ? 5400 ? 1800 ? 0

当100 ? m ? 500时,y3 ? y2 ? 0.86m2 ? 12m ? m ? 0.86m ? 12? ? 0,即当60 ? m ? 500时,y3最大
即当公司应裁员数为

1 1 m ,即原有人数的 时,获得的经济效益最大。----16 分 2 4

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