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2011年上海市杨浦区中考数学二模试卷


2011 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1.两个连续的正整数的积一定是( ) A.素数 B.合数 C.偶数 D.奇数 2.已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则下列等式成立的是( A.|a+b|=a+b B.|a+b|=a﹣b C.|b+1|=b+1 ) C. D.x +ax﹣1=0
2



D.|a+1|=a+1

3.下列关于 x 的方程一定有实数解的是( A.x +ax+1=0
2

B.

4. (2002?泸州)下列图形中,不是中心对称图形的是(



A.

B.
2

C.

D. )

5.根据下表中关于二次函数 y=ax +bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值,可判断二次函数的图象与 x 轴( … x … ﹣1 0 1 2 y … ﹣1 ﹣2 …

A.只有一个交点 D.无交点

B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧

C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧

6.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,DE∥BC,且 AD=2CD,则以 D 为圆心 DC 为半径的⊙D 和以 E 为圆心 EB 为半径的⊙E 的位置关系是( )

A.外离

B.外切

C.相交

D.不能确定

二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 7.用代数式表示“a 的相反数与 b 的倒数的和的平方”: _________ .

8.将

从小到大排列,并用不等号连接: _________ .

9.若最简二次根式



是同类二次根式,则 x= _________ .

10. 如果一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示, 那么该不等式组的解集是 _________ .

11.如果点 P(m,1﹣2m)在第四象限,那么 m 的取值范围是 _________ . 的图象在第二、四象限,则一次函数 y=kx+k 的图象经过

12.若反比例函数 _________ 象限.

13.A(x1,y1) 、B(x2,y2)是一次函数 y=kx+2(k<0)图象上不同的两点,则(x1﹣x2) 1﹣y2) (y _________ 0 (填“>”或“<”) 14.正十边形的中心角等于 _________ 度. 15. (2010?恩施州)如图,在?ABCD 中,已知 AB=9cm,AD=6cm,BE 平分∠ABC 交 DC 边于点 E,则 DE 等于 _________ cm.

16.如图,在△ ABC 中,记

= ,

= ,则

= _________ (用向量 , 来表示) .

17.如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,DC=3,将△ ADC 绕点 A 按逆时针方向旋转到△ AEF(点 A、B、E 在同一直 线上) ,则 C 点运动的路线的长度为 _________ .

18. 如图, 是△ ABC 的中位线, EF 将△ AEF 沿中线 AD 的方向平移到△ A1E1F1, 使线段 E1F1 落在 BC 边上, 若△ AEF 2 2 的面积为 7cm ,则图中阴影部分的面积是 _________ cm .

三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 19.先化简,再求值: ,其中 .

20.解方程组:

21.在一次课外实践活动中,同学们要知道校园内 A,B 两处的距离,但无法直接测得.已知校园内 A、B、C 三 点形成的三角形如图所示,现测得 AC=6m,BC=14m,∠CAB=120°,请计算 A,B 两处之间的距离.

22.已知△ ABC 中,点 D、E、F 分别是线段 AC、BC、AD 的中点,连 FE、ED,BF 的延长线交 ED 的延长线于 点 G,连接 GC.求证:四边形 CEFG 为梯形.

23. (2009?安徽)某校九年级学生共 900 人,为了解这个年级学生的体能,从中随机抽取部分学生进行 1min 的跳 绳测试,并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理,下图是这四名同学提供的部分信息: 甲:将全体测试数据分成 6 组绘成直方图(如图) ; 乙:跳绳次数不少于 106 次的同学占 96%; 丙:第①、②两组频率之和为 0.12,且第②组与第⑥组频数都是 12; 丁:第②、③、④组的频数之比为 4:17:15. 根据这四名同学提供的材料,请解答如下问题: (1)这次跳绳测试共抽取多少名学生?各组有多少人? (2)如果跳绳次数不少于 135 次为优秀,根据这次抽查的结果,估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少? (3)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作为这组跳绳次数的代表,估计这批学生 1min 跳绳次数的平均值.

24.已知抛物线①经过点 A(﹣1,0) 、B(4,5) 、C(0,﹣3) ,其对称轴与直线 BC 交于点 P. (1)求抛物线①的表达式及点 P 的坐标; (2)将抛物线①向右平移 1 个单位后再作上下平移,得到的抛物线②恰好过点 P,求上下平移的方向和距离; (3)设抛物线②的顶点为 D,与 y 轴的交点为 E,试求∠EDP 的正弦值.

25.已知半径为 6 的⊙O1 与半径为 4 的⊙O2 相交于点 P、Q,且∠O1PO2=120°,点 A 为⊙O1 上异于点 P、Q 的动 点,直线 AP 与⊙O2 交于点 B,直线 O1A 与直线 O2B 交于点 M. (1)如图 1,求∠AMB 的度数; (2)当点 A 在⊙O1 上运动时,是否存在∠AMB 的度数不同于(1)中结论的情况?若存在,请在图 2 中画出一种 该情况的示意图,并求出∠AMB 的度数;若不存在,请在图 2 中再画出一个符合题意的图形,并证明∠AMB 的度 数同于(1)中结论; (3)当点 A 在⊙O1 上运动时,若△ APO1 与△ BPO2 相似,求线段 AB 的长.

2011 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1.两个连续的正整数的积一定是( ) A.素数 B.合数 C.偶数 D.奇数 考点:有理数的乘法。 专题:推理填空题。 分析:根据两个连续的正整数中一定有一个偶数,则积一定是偶数. 解答:解:设两个连续的正整数为 2n 和 2n+1,则积为 2n(2n+1) , ∴2n(2n+1)为偶数, 故选 C. 点评:本题考查了有理数的乘法,是基础知识要熟练掌握. 2.已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则下列等式成立的是( )

A.|a+b|=a+b B.|a+b|=a﹣b C.|b+1|=b+1 D.|a+1|=a+1 考点:绝对值;实数与数轴。 专题:计算题;数形结合。 分析:本题运用实数与数轴的对应关系确定 b<0,1>a>0,且|b|>1>|a|,然后根据绝对值的意义化简即可求解. 解答:解:由数轴上 a,b 两点的位置可知 b<0,1>a>0,且|b|>|a|, A、|a+b|=﹣(a+b)=﹣a﹣b,故选项 A 错误; B、|a+b|=﹣(a+b)=﹣a﹣b,故选项 B 错误; C、|b+1|=﹣(b+1)=﹣b﹣1,故选项 C 错误; D、|a+1|=a+1,故选项 D 正确. 故选 D. 点评:本题考查了实数与数轴的对应关系,解答此类题目时应先根据由数轴上 a,b 两点的位置确定 a,b 的符号及 绝对值的大小. 3.下列关于 x 的方程一定有实数解的是( A.x +ax+1=0
2

) C. D.x +ax﹣1=0
2

B.

考点:根的判别式;无理方程。 专题:计算题。 分析:A、D 判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△ =b ﹣4ac 的值的符号就可以了; B、解分式方程,注意验根; C、解无理方程,注意验根. 2 2 2 2 解答:解:A、△ =a ﹣4,当 a <4 时,a ﹣4<0,方程 x +ax+1=0 没有实数根.故本选项错误; B、由原方程,得 x﹣1+x=1,解得,x=1,分母为 0,不符合题意;故本选项错误; C、当 m≤0 时,原方程无解.故本选项错误; 2 2 D、△ =a +4,无论 a 取何值,△ ≥4,故方程 x +ax﹣1=0 一定有实数解;故本选项正确. 故选 D. 点评:本题考查了根的判别式、无理方程. 2 2 ①一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0,a,b,c 为常数)的根的判别式△ =b ﹣4ac.当△ >0,方程有两个不相等的实 数根;当△ =0,方程有两个相等的实数根;当△ <0,方程没有实数根; ②注意解分式方程和无理方程时,都要验根.
2

4. (2002?泸州)下列图形中,不是中心对称图形的是(



A.

B.

C.

D.

考点:中心对称图形;生活中的旋转现象。 分析:根据中心对称图形的概念,即可求解. 解答:解:中心对称图形,即把一个图形绕一个点旋转 180°后能和原来的图形重合,A、C、D 都符合; 不是中心对称图形的只有 B. 故选 B. 点评:本题考查中心对称图形的概念:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转 180 度,旋转后的图形能和原 图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形. 5.根据下表中关于二次函数 y=ax +bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值,可判断二次函数的图象与 x 轴( … x … ﹣1 0 1 2 y … ﹣1 ﹣2 …
2



A.只有一个交点 B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧 D.无交点 考点:抛物线与 x 轴的交点。 专题:数形结合。 2 分析:利用二次函数 y=ax +bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值. 2 解答:解:根据表中的二次函数 y=ax +bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值,可以发现当 x=0,x=2 时,y 的值都等 于﹣ <0, 又根据二次函数的图象对称性可得:x=1 是二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴,此时 y 有最小值﹣2, 再根据表中的数据,可以判断出 y=0 时,x<﹣1 或 x>2, 因此判断该二次函数的图象与 x 轴有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧. 故选 B. 点评:本题难度中等,考查二次函数与一元二次方程的关系.解决本题时能够画出图形,利用图象理解起来更为方 便,数形结合是数学上一种重要的方法思想. 6.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,DE∥BC,且 AD=2CD,则以 D 为圆心 DC 为半径的⊙D 和以 E 为圆心 EB 为半径的⊙E 的位置关系是( )
2

A.外离 B.外切 C.相交 D.不能确定 考点:圆与圆的位置关系。 专题:数形结合。 分析:首先根据直角三角形的知识求出 AB 的长,再根据 DE∥BC,且 AD=2CD,求出 CD、BE 和 DE 的长,最后 根据两圆圆心距和半径之间的数量关系求出两圆的位置关系. 解答:解:∵Rt△ ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6, ∴AB=10, ∵DE∥BC,且 AD=2CD,

∴CD= ,EB=

,DE=4,

则两圆圆心距为 DE=4, 两圆半径之和为 EB+CD= + =6,两圆半径之差为 EB﹣CD= ﹣ = ,

因为 EB﹣CD<DE<EB+CD, 所以,以 D 为圆心 DC 为半径的⊙D 和以 E 为圆心 EB 为半径的⊙E 相交, 故选 C. 点评:本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点,解答本题的关键是求出 DC 和 BE 的长,本题难度不大. 二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 7.用代数式表示“a 的相反数与 b 的倒数的和的平方”: 考点:列代数式。 专题:和差倍关系问题。 分析:先表示出 a 的相反数与 b 的倒数的和,再平方即可. 解答:解:∵a 的相反数与 b 的倒数的和为﹣a+ , ∴a 的相反数与 b 的倒数的和的平方为(﹣a+ ) . 故答案为: (﹣a+ ) . 点评:考查列代数式;根据关键词得到相应的运算顺序是解决本题的关键.
2 2



8.将

从小到大排列,并用不等号连接: a<c<b .

考点:负整数指数幂;零指数幂。 专题:计算题。 分析:先计算 a、b、c 的值,再比较大小即可. 解答:解:∵a=﹣2 , ∴a=﹣ ,b= =2,c=(﹣2π) =1,
0
﹣1

∵2>1>﹣ ,∴a<c<b, 故答案为 a<c<b. 点评:本题考查了负整数指数幂,零指数幂的计算,比较简单,要识记.

9.若最简二次根式



是同类二次根式,则 x= 1 .

考点:同类二次根式。 专题:计算题。 分析:根据题意,它们的被开方数相同,列出方程求解. 解答:解:∵最简二次根式 ∴2x=x +1,即(x﹣1) =0, 解得,x=1. 故答案是:1.
2 2



是同类二次根式,

点评:本题考查同类二次根式的概念,同类二次根式是化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式称为同类二 次根式. 10.如果一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示,那么该不等式组的解集是 x>1 .

考点:在数轴上表示不等式的解集。 专题:数形结合。 分析:“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线. 解答:解:由图示可看出,从 1 出发向右画出的折线且表示 1 的点是空心圆,表示 x>1;从﹣2 出发向左画出的折 线且表示﹣2 的点是空心圆,表示 x<2,所以这个不等式组的解集为 x>1. 故答案为:x>1. 点评:此题主要考查的是在数轴上表示不等式组的解集.不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解 集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画) ,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示 解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要 用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.

11.如果点 P(m,1﹣2m)在第四象限,那么 m 的取值范围是 考点:点的坐标;解一元一次不等式组。 分析:点在第四象限的条件是:横坐标是正数,纵坐标是负数. 解答:解:∵P(m,1﹣2m)在第四象限, ∴m>0,1﹣2m<0. 解得 m> .



点评:本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号根据条件可以转化为不等式或不等式组的问题.

12.若反比例函数

的图象在第二、四象限,则一次函数 y=kx+k 的图象经过

二、三、四 象限. 考点:反比例函数的性质;一次函数的性质。 专题:常规题型。 分析:根据题意,反比例函数 y= 的图象在第二、四象限,可得 k 的范围,进而分析一次函数 y=kx+k 的图象,可 得答案. 解答:解:根据题意,反比例函数 y= 的图象在第二、四象限, 则 k<0,则一次函数 y=kx+k 的图象过二、三、四象限. 故答案为:二、三、四. 点评:本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质:当 k>0 时,反比例图象分别位于第一、三象限;当 k<0 时,反比例图象分别位于第二、四象限. 13.A(x1,y1) 、B(x2,y2)是一次函数 y=kx+2(k<0)图象上不同的两点,则(x1﹣x2) 1﹣y2) (y < 0 (填“>”或“<”) 考点:一次函数图象上点的坐标特征。 专题:推理填空题。 分析:根据一次函数的性质知,当 k<0 时,判断出 y 随 x 的增大而减小,即可比较出 x1 与 x2,y1 与 y2 的大小. 解答:解:∵k<0,

∴一次函数 y=kx+2 中 y 随 x 的增大而减小, ∴若 x1>x2,则 y1<y2, 若 x1<x2,则 y1>y2, 故 x1﹣x2 与 y1﹣y2 始终异号, 故(x1﹣x2) 1﹣y2)<0. (y 点评:此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题. 14.正十边形的中心角等于 36 度. 考点:正多边形和圆。 专题:计算题。 分析:根据正多边形的圆心角定义可知:正 n 边形的圆中心角为: 解答:解:正十边形的中心角为: =36°. ,则代入求解即可.

故答案为:36°. 点评:此题考查了正多边形的中心角的知识.题目比较简单,注意熟记定义. 15. (2010?恩施州)如图,在?ABCD 中,已知 AB=9cm,AD=6cm,BE 平分∠ABC 交 DC 边于点 E,则 DE 等于 3 cm.

考点:平行四边形的性质。 分析:要求 DE 的长,只要求出 CE 即可,根据平行四边形的性质和角平分线,证得 CE=BC,从而求得 DE. 解答:解:在?ABCD 中, ∵AB∥CD, ∴∠ABE=∠BEC, ∵BE 平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠CBE=∠BEC, ∴CB=CE, ∵AB=9cm,AD=6cm, ∴DE=CD﹣CE=AB﹣AD=9﹣6=3cm 故答案为 3. 点评:本题考查的是利用平行四边形的性质结合等角对等边来解决有关线段长度的问题.

16.如图,在△ ABC 中,记

= ,

= ,则

=



(用向量 , 来表示) .

考点:*平面向量。 分析:根据向量的性质,可以得出 + = ,进而得出 = ﹣ ,从而得出答案.

解答:解:∵ ∴ = ﹣

+

=



= ,

= ,

= ﹣ .

故答案为: ﹣ . 点评:此题主要考查了向量的性质,得出 + = ,是解决问题的关键.

17.如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,DC=3,将△ ADC 绕点 A 按逆时针方向旋转到△ AEF(点 A、B、E 在同一直 线上) ,则 C 点运动的路线的长度为 π .

考点:弧长的计算;旋转的性质。 专题:计算题。 分析:根据题意可得转过的角度为 90°,C 点运动的路线的长度为扇形的弧长,半径为 AC,圆心角为 90°. 解答:解:∵将△ ADC 绕点 A 按逆时针方向旋转到△ AEF(点 A、B、E 在同一直线上) , ∴转过的角度为 90°, ∵AD=4,DC=3, ∴由勾股定理得 AC=5, ∴C 点运动的路线的长度为 故答案为 π. 点评:本题考查了弧长的计算以及旋转的性质,要熟练掌握扇形的弧长公式:l= . = π.

18. 如图, 是△ ABC 的中位线, EF 将△ AEF 沿中线 AD 的方向平移到△ A1E1F1, 使线段 E1F1 落在 BC 边上, 若△ AEF 2 2 的面积为 7cm ,则图中阴影部分的面积是 14 cm .

考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理。 分析:由三角形的中位线的性质,得到 EF∥BC,得出三角形相似,进一步利用三角形相似的性质解决问题.+ 解答:解:∵EF 是△ ABC 的中位线, ∴EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴EF:BC=1:2, ∴S△ AEF:S△ ABC=1:4, ∴S△ A1E1F1+S△ AEF= S△ ABC,又 S△ A1E1F1=S△ AEF, S△ ABC=28cm ,
2

因此 S 阴影= S△ ABC= ×28=14cm . 故答案为:14. 点评:此题主要考查三角形的中位线性质,三角形相似的判定与性质,以及三角形的面积等知识. 三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 19.先化简,再求值: 考点:分式的化简求值。 专题:计算题。 分析:先把原式进行化简,再把 x= 解答:解:原式= ﹣ ,其中 .

2

代入化简结果进行计算即可. ,

= ﹣ = 当 x= ,



时,原式=

=

﹣1.

故答案为: ﹣1. 点评:本题考查的是分式的化简求值,能把分式化为最简形式是解答此题的关键.

20.解方程组: 考点:高次方程。 分析:由①可知 x=2﹣y,代入②可得一个关于 y 的一元二次方程,进行解答,求出 x 值,再进一步求 y 即可. 解答:解:方法 1:由①得:y=2﹣x, 代入②化简得 3x ﹣7x+4=0,解得 x1=1,x2= , 分别将 x1=1,x2= 代入①,得 y1=1,y2= .
2

∴原方程组的解为



方法 2:由②得(x﹣y) (x﹣2y)=0、∴x﹣y=0 或 x﹣2y=0(2 分) 原方程组可化为 (2 分)

解这两个方程组,得原方程组的解为

. 分) (6

点评:解答此类题目一般用代入法比较简单,先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程,把求得结 果代入一个较简单的方程中即可.

21.在一次课外实践活动中,同学们要知道校园内 A,B 两处的距离,但无法直接测得.已知校园内 A、B、C 三 点形成的三角形如图所示,现测得 AC=6m,BC=14m,∠CAB=120°,请计算 A,B 两处之间的距离.

考点:勾股定理的应用。 专题:应用题。 分析:过 C 作 CH⊥AB 于 H 构造直角三角形,在两个直角三角形中分别求得 BH、AH,相减即可求得 AB 的长. 解答:解:过 C 作 CH⊥AB 于 H, ∵∠CAB=120°, ∴∠CAH=60°, ∵AC=6, ∴AH=3,HC= , 在 Rt△ BCH 中,∵BC=14,HC= , ∴BH= ∴AB=BH﹣AH=13﹣3=10 即 A,B 两处之间的距离为 10 米.

点评:本题考查了勾股定理的应用,解决本题的关键是作出钝角三角形的高,从而构造两个直角三角形,利用勾股 定理解之. 22.已知△ ABC 中,点 D、E、F 分别是线段 AC、BC、AD 的中点,连 FE、ED,BF 的延长线交 ED 的延长线于 点 G,连接 GC.求证:四边形 CEFG 为梯形.

考点:梯形;全等三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:由点 D、E 分别是线段 AC、BC 的中点,即可证得:DE∥AB,利用 AAS,可证得:△ ABF≌△DGF,则可 得: =1,又由 =1,即可证得:EF∥CG,则问题得证.

解答:证明:∵点 D、E 分别是线段 AC、BC 的中点, ∴DE∥AB, ∴∠A=∠FDG,∠ABF=∠FGD, ∵F 是线段 AD 的中点, ∴AF=FD ∴△ABF≌△DGF, ∴BF=FG,即 F 为 BG 的中点, 又 E 为 BC 中点,

∴EF 为三角形 BCG 的中位线, ∴EF∥CG, 而 GF 与 CE 交于点 B, ∴四边形 CEFG 为梯形.

点评:此题考查了三角形中位线的性质,全等三角形的判定与性质以及梯形的判定等知识.题目综合性较强,难度 适中,注意数形结合思想的应用. 23. (2009?安徽)某校九年级学生共 900 人,为了解这个年级学生的体能,从中随机抽取部分学生进行 1min 的跳 绳测试,并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理,下图是这四名同学提供的部分信息: 甲:将全体测试数据分成 6 组绘成直方图(如图) ; 乙:跳绳次数不少于 106 次的同学占 96%; 丙:第①、②两组频率之和为 0.12,且第②组与第⑥组频数都是 12; 丁:第②、③、④组的频数之比为 4:17:15. 根据这四名同学提供的材料,请解答如下问题: (1)这次跳绳测试共抽取多少名学生?各组有多少人? (2)如果跳绳次数不少于 135 次为优秀,根据这次抽查的结果,估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少? (3)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作为这组跳绳次数的代表,估计这批学生 1min 跳绳次数的平均值.

考点:加权平均数;用样本估计总体;频数(率)分布直方图。 专题:阅读型;图表型。 分析: (1)由直方图中,各组频率之和为 1,可求出②③组的频率,再根据②③组的频数结合频数与频率的关系可 求得总数; (2)从图中可以看出,第⑤⑥组的频数在 135 以上,故这两组优秀,所以用它们的频率乘总数;可估计总体; (3)直接根据平均数的计算公式计算即可. 解答:解: (1)∵跳绳次数不少于 106 次的同学占 96%,即②③④⑤⑥组人数占 96%, 第①组频率为:1﹣96%=0.04. ∵第①、②两组频率之和为 0.12, ∴第②组频率为:0.12﹣0.04=0.08, 又∵第②组频数是 12, ∴这次跳绳测试共抽取学生人数为:12÷0.08=150(人) , ∵②、③、④组的频数之比为 4:17:15, ∴12÷4=3 人, ∴可算得第①~⑥组的人数分别为: ①150×0.04=6 人; ②4×3=12 人,

③17×3=51 人, ④15×3=45 人, ⑥与②相同,为 12 人, ⑤为 150﹣6﹣12﹣51﹣45﹣12=24 人. 答:这次跳绳测试共抽取 150 名学生,各组的人数分别为 6、12、51、45、24、12; (2)第⑤、⑥两组的频率之和为=0.16+0.08=0.24, 由于样本是随机抽取的,估计全年级有 900×0.24=216 人达到跳绳优秀, 答:估计全年级达到跳绳优秀的有 216 人; (3) ≈127 次,

答:这批学生 1min 跳绳次数的平均值为 127 次. 点评:本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识.要理解各组频率之和为 1,各组频数之和等于总数. 24.已知抛物线①经过点 A(﹣1,0) 、B(4,5) 、C(0,﹣3) ,其对称轴与直线 BC 交于点 P. (1)求抛物线①的表达式及点 P 的坐标; (2)将抛物线①向右平移 1 个单位后再作上下平移,得到的抛物线②恰好过点 P,求上下平移的方向和距离; (3)设抛物线②的顶点为 D,与 y 轴的交点为 E,试求∠EDP 的正弦值.

考点:二次函数综合题。 专题:数形结合;待定系数法。 2 分析: (1)根据题意设抛物线的表达式为 y=ax +bx﹣3,将 A、B 两点的坐标代入求得 a、b 的值,进而求得抛物线 的对称轴.根据 B、C 两点的坐标求得直线 BC 的解析式.对称轴与直线 BC 交于点 P,因而 P 的坐标即可确定. (2)设抛物线①向右平移 1 个单位后再向上平移 m 个单位得抛物线②,根据抛物线①的顶点式解析式,写出抛物 线②的顶点式解析式.再将(1)中得到的 P 点坐标值代入,即可求得 m 的值,那么抛物线②上下平移的方向和距 离也就得知. (3)首先根据(2)写出抛物线②的解析式,D 点的坐标也就确定.因为 E 点是抛物线②与 y 轴的交点,那么可求 得 P 点的坐标值.首先根据 D、P 点的坐标,可得到直线 DP 与 x 轴夹角.再利用角间的关系及三角函数,得到结 果. 2 解答:解: (1)据题意设抛物线的表达式为 y=ax +bx﹣3, 则 ,

解得


2

∴抛物线的表达式为 y=x ﹣2x﹣3, ∴对称轴为直线 x=1, 据题意设直线 BC 的解析式为 y=kx﹣3,则 5=4k﹣3,k=2, ∴直线 BC 的解析式为 y=2x﹣3, ∴P(1,﹣1) ; (2)设抛物线①向右平移 1 个单位后再向上平移 m 个单位得抛物线②,

则抛物线②的表达式为 y=(x﹣1﹣1) ﹣4+m, ∵抛物线②过点 P, ∴﹣1=(1﹣1﹣1) ﹣4+m, ∴m=2, ∴再将它向上移动 2 个单位可得到抛物线②; (3)∵抛物线①向右移动 1 个单位,再向上平移 2 个单位得到抛物线②, ∴抛物线②的表达式是 y=(x﹣1﹣1) ﹣4+2,即 y=(x﹣2) ﹣2, ∴D(2,﹣2) ,E(0,2) , ∵P(1,﹣1) , ∴直线 DP 过点 O,且与 x 轴夹角为 45°, 过点 E 作 EH⊥DP 于点 H, ∴∠EOH=45°, ∵E(0,2) , ∴EH= ,而 ED= . ,
2 2 2

2

∴sin∠EDP=

点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的平移等知识点,综合性强,考查学生利用抛物线的 顶点式解决平移,以及数形结合的数学思想方法. 25.已知半径为 6 的⊙O1 与半径为 4 的⊙O2 相交于点 P、Q,且∠O1PO2=120°,点 A 为⊙O1 上异于点 P、Q 的动 点,直线 AP 与⊙O2 交于点 B,直线 O1A 与直线 O2B 交于点 M. (1)如图 1,求∠AMB 的度数; (2)当点 A 在⊙O1 上运动时,是否存在∠AMB 的度数不同于(1)中结论的情况?若存在,请在图 2 中画出一种 该情况的示意图,并求出∠AMB 的度数;若不存在,请在图 2 中再画出一个符合题意的图形,并证明∠AMB 的度 数同于(1)中结论; (3)当点 A 在⊙O1 上运动时,若△ APO1 与△ BPO2 相似,求线段 AB 的长.

考点:相似三角形的判定与性质;圆周角定理;相交两圆的性质。 分析: (1)由等边对等角得∠A=∠APO1 与∠PBO2=∠BPO2,又由∠O1PO2=120°,可得∠A+∠PBO2=60°,则可求 得∠AMB 的度数;

(2)根据题意作图,由∠A=∠APO1 与∠B=∠BPO2,可得∠APO1+∠BPO2=120°,又由∠M+∠A=∠PBM=180°﹣ ∠BPO2,则可求得∠AMB 的度数; (3) 分两种情况分析: P 在 A、 之间时, 当 B ∠APO1=∠BPO2=30°, 与当 P 不在 A、 之间时, B ∠APO1=∠BPO2=60°, 分析求解即可,注意不要漏解. 解答:解: (1)∵A、P 都在⊙O1 上, ∴∠A=∠APO1, 同理,∠PBO2=∠BPO2, ∵AB 是直线,∠O1PO2=120°, ∴∠APO1+∠O1PO2+∠BPO2=180°, ∴∠APO1+∠BPO2=60°,即∠A+∠PBO2=60°, ∴∠O1MO2=180°﹣60°=120°; 即∠AMB=120°; (2)存在,如图所示, ∵A、P 都在⊙O1 上, ∴∠A=∠APO1, 同理,∠PBO2=∠BPO2, ∴∠APO1+∠BPO2=120°, ∵∠M+∠A=∠PBM=180°﹣∠BPO2, ∴∠M=180°﹣∠BPO2﹣∠A =180°﹣∠BPO2﹣∠APO1=180°﹣120°=60°; (3)∵△APO1 与△ BPO2 相似,且△ APO1 与△ BPO2 都是等腰三角形, ∴底角∠APO1=∠BPO2, 情况一:当 P 在 A、B 之间时,∠APO1=∠BPO2=30°, 作 O1H⊥AB,O2D⊥AB, ∴AP=2HP,BP=2PD, ∵O1P=6,O,2P=4, ∴HP= ,DP= , ∴AB= . 情况二:当 P 不在 A、B 之间时,∠APO1=∠BPO2=60°, ∴PA=O1A=6,PB=O2B=4, ∴AB=2.

点评:此题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.此题图 形较复杂,注意合理应用数形结合思想.

参与本试卷答题和审题的老师有: sjzx;lzhzkkxx;开心;gbl210;liumei;zhjh;137-hui;nhx600;dbz1018;zcx;CJX;lanchong;Linaliu;bjy;HJJ; 王金铸;73zzx;张超。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 4 月 6 日


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