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江苏省东台中学2013届高三实验班提优练习(一)数学试题



江苏省东台中学 2013 届高三阶段练习(一)




命题人:房 胜

15. (本小题满分 14 分) 2012.09. 审核人:沈德仁 ▲ . 是其两条对称轴. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f (? ) ? 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )( ? ? 0

,?

?
2

?? ?

?
2

) 的图像如图所示, 直线 x ?

3? 7? ,x ? 8 8

一、填空题(本题共 14 题,每题 5 分,计 70 分,请把答案填写在答题纸相应位置上) ........ 1. 设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B={2},则 A∪B=

1 2. 计算 ( 1 ? ) 2 ? i





6 ? 3? ? ,且 ? ? ? ,求 f ( ? ? ) 的值. 5 8 8 8

3.为了调查城市 PM2.5 的值,按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为 6, 12,18.若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则乙组中应抽取的城市数为 4. 函数 y ? cos 2 x 的一个单调递增区间是
?



. 16.(本小题满分 14 分)



. ▲ . ▲ .

5. 若向量 a , b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 1 ,则 a ? b =

如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (Ⅰ)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (Ⅱ)求证:A1B//平面 ADC1.
A1 B1 C1

6.若 f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 , x ?[?3,6] ,则对任意 x0 ?[?3,6] ,使 f ( x0 ) ? 0 的概率为 7.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? 2 , a9 ? 8 ,则 a5 =______▲_____. 8.直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x 3 ? ax ? b 相切于点 A(1,3) ,则 b 的值为
x



.
x

9.已知两条直线 l1 : y ? 2 ,2 : y ? 4 , 设函数 y ? 3 的图像与 l1 、2 分别交于点 A、 , B 函数 y ? 5 l l 的图像与 l1 、 l 2 分别交于点 C、D,则直线 AB 与 CD 的交点坐标是 ▲

A B (第 16 题)

C D

10.不等式 x ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集为 ▲ . ? 平面 BCD ,垂足为 O.设 M 是线段 AO 上一点,且满足 11.在正四面体 ABCD 中, AO

?BMC ? 90? ,则

AM ? MO



.

12. 已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实数解,则实数 k 的取值范围是 ▲ . 13.过原点 O 的直线 l 与椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点, P 是椭圆 C 上异于 M , N 的 a2 b2

17.(本题满分 15 分) 设数列 {an } 、 {bn } 满足 a1 ? 4 , a2 ? (Ⅰ) 证明: an bn ? 4

任一点.若直线 PM , PN 的斜率之积为 ? 14.已知数列 {a n } 满足: a 1 为正整数,

1 ,则椭圆 C 的离心率为_____▲_______. 4

a ? bn 5 2anbn , an ?1 ? n , bn ?1 ? . 2 2 an ? bn
*

? an ? , a n 为偶数, a n ?1 ? ? 2 ?3a n ? 1, a n 为奇数, ?

(Ⅱ) 证明: an ? 2 , 0 ? bn ? 2 ( n ? N ); (Ⅲ)设 cn ? log3

an ? 2 ,求数列 {cn } 的通项公式; an ? 2

如果 a1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,则 a1 ? ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤.

18.(本题满分 15 分) 某厂家拟在 2012 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求证:函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; (Ⅱ)若函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)若存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,试求 a 的取值范围.

k ( 年促销费用 m m ? 0) 万元满足 x ? 3 ? ( k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销 m ?1
售量是 1 万件. 已知 2012 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入 和再投入两部分资金,不包括促销费用). (Ⅰ)将 2012 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (Ⅱ)该厂家 2012 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

19.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 (?4,0) , F2 (4,0) , A(0,8) ,直线 y ? t (0 ? t ? 8) 与 线段 AF1 、 AF2 分别交于点 P 、 Q . (Ⅰ)当 t ? 3 时,求以 F1 , F2 为焦点,且过 PQ 中点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 Q 作直线 QR ∥ AF 交 F1F2 于点 R ,记 ?PRF1 的外接圆 1 为圆 C . ① 求证:圆心 C 在定直线 7 x ? 4 y ? 8 ? 0 上; ② 圆 C 是否恒过异于点 F 的一个定点?若过,求出该点的坐 1 标;若不过,请说明理由. P F1 O Q R F2 x y A

第 18 题

线 ………………………………………………………… 班级________ 学号 要 ………………………………………………………… ____________姓名______________考场 号___________考试号_____________ ………………………………………….

江苏省东台中学 2013 届高三限时练习 1

16.





2012.09.

命题人:房 胜 审核人:沈德仁 一、填空题(本题共 14 题,每题 5 分,计 70 分,请把答案填写在答题纸相应位置上) ........ 1.___________;2.________;3_________;4______________________;5.___________;

6._______;7.___________;8.___________;9.___________;10.____________________;

11.________;12.______________________;13._________;14._____________; 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15.

17.

封 不 ____________________________________ 密 ____________________________________ 内 ___________________________________ 答



18.

20.

19.

江苏省东台中学 2013 届高三限时练习参考答案
一、填空题 1. {1,2,5}; 7. 4 ; 2. -2i ; 8. 3; 3. 4 ; 9. (0, 0) ; 4. [k? ? 10.

连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD//A1B. …………………11 分 ?平面 ADC1,A1B/ 平面 ADC1, ? 因为 OD 所以 A1B//平面 ADC1. …………………14 分 (证法二) ∥ 取 B1C1 的中点 D1,连结 A1D1,D1D,D1B.则 D1C1 = BD. 所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B// C1D. ? 因为 C1D?平面 ADC1,D1B/ 平面 ADC1, 所以 D1B//平面 ADC1. 同理可证 A1D1//平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1//平面 ADC1. …………………11 分 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B//平面 ADC1. …………………14 分
A1 B1 C1 A1 B1 C1

?
2

, k? ]( k ? Z ) ;

5. 1; 11. 1;

6.

5 ; 9

? x x ? 3或x ? ?1? ;
14.5;

12.

? ??,0? ??4? ;

13.

3 ; 2

二、解答题 T 7π 3π π 15.解:(1) 由题意, = - = ,∴ T=π. 2 8 8 2 又 ω>0,故 ω=2,∴ f(x)=2sin(2x+φ).…………………2 分 3π 3π π 由 f( )=2sin( +φ)=2,解得 φ=2kπ- (k∈Z). 8 4 4 π π π π 又- <φ< ,∴ φ=- ,∴ f(x)=2sin(2x- ).…………………5 分 2 2 4 4 π π π π 3π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),知 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 2 4 2 8 8 π 3π ∴ 函数 f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z).…………………7 分 8 8 π 6 π 3 (2) 依题意得 2sin(2α- )= ,即 sin(2α- )= ,…………………8 分 4 5 4 5 π 3π π π ∵ <α< , ∴ 0<2α- < . 8 8 4 2 π π 3 4 ∴ cos(2α- )= 1-sin2?2α- ?= 1-? ?2= ,…………………10 分 4 4 5 5 π π π f( +α)=2sin[(2α- )+ ]. 8 4 4 π π π π π π 23 4 7 2 ∵ sin[(2α- )+ ]=sin(2α- )cos +cos(2α- )sin = ( + )= , 4 4 4 4 4 4 2 5 5 10 π 7 2 ∴ f( +α)= …………………(14 分 8 5 16. (本小题满分 14 分) 证明:(1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. …………………5 分 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. …………………7 分 (2)(证法一)
D1

O

A B

C D (第 16 题图)

A B

C D

a ? bn 2anbn 17.( 1) ? an ?1 ? n , bn ?1 ? 两式相 乘得 anbn ? an?1bn?1 , ?{anbn } 为 常数列 , 2 an ? bn

(第 16 题图)

?anbn ? a1b1 ? 4 ;……………4 分 1 4 4 ? bn ? ? an?1 ? (an ? ) ? 2; 0 ? bn ? 2 ; ? 2 an an
(2)? cn ? log3

(若 an ? 2 ,则 an?1 ? 2 ,从而可得 ?an } 为常数列与 a1 ? 4 矛盾);……………8 分

an ? 2 , an ? 2

1 2 an ? ? 2 2 ? an ? 2 ? ? an ? 2 ? an ?1 ? 2 2 an ? cn ?1 ? log 3 ? log 3 ? log 3 ? ? ? 2 log 3 ? ? ? 2cn 1 2 an ?1 ? 2 ? an ? 2 ? ? an ? 2 ? an ? ? 2 2 an
又因为 c1 ? 1 ,?{cn } 为等比数列, ?cn ? 2
n ?1

……………15 分

18.解:(1)由题意可知,当 m ? 0 时, x ? 1 ,∴ 1 ? 3 ? k 即 k ? 2 ,……………2 分

2 8 ? 16 x ,每件产品的销售价格为 1.5 ? 元. ……………4 分 m ?1 x 8 ? 16 x ] ? (8 ? 16 x ? m ) ∴2012 年的利润 y ? x[1.5 ? x 2 16 ? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8(3 ? ) ? m ? ?[ ? ( m ? 1)] ? 29( m ? 0) ………8 分 m ?1 m ?1 16 ? (m ? 1) ? 2 16 ? 8 . (2)∵ m ? 0 时, m ?1 16 ? m ? 1 ,即 m ? 3 时, ymax ? 21 .……………15 分 ∴ y ? ?8 ? 29 ? 21 ,当且仅当 m ?1
∴ x ? 3? 答:该厂家 2012 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大为 21 万元. 19.

? ? D?t ? (4 ? t ) 2 ? (4 ? t ) D ? F ? 0 ? ? 7 ? 2 (?4) ? 4 D ? F ? 0 则y?? ,解得 ? E ? 4 ? t …10 分 4 ? t ?8 ? t ?8 2 2 ?( ) ?t ? D ? tE ? F ? 0 ? F ? 4t ? 16 ? ? 2 2 t 7t 所以圆心坐标为 ( ? , ? 2) ,经验证,该圆心在定直线 7 x ? 4 y ? 8 ? 0 上 …11 分 2 8 7 2 2 ②由①可得圆 C 的方程为 x ? y ? tx ? (4 ? t ) y ? 4t ? 16 ? 0 ………13 分 4 7 2 2 该方程可整理为 ( x ? y ? 2 y ? 16) ? t ( x ? y ? 4) ? 0 , 4 4 ? ? x 2 ? y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 ? x ? 13 ? x ? ?4 ? ? 则由 ? ,解得 ? 或? , 7 32 ? y ? 0 x? y?4?0 ?y ? ? ? 4 ? 13 ? 4 32 所以圆 C 恒过异于点 F 的一个定点,该点坐标为 ( , ) ………………16 分 1 13 13 x 20. 解:(Ⅰ) f ?( x) ? a ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ?1)ln a ………………3 分 x 由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, a ? 1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , 故函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 ……………………………5 分 (Ⅱ)当 a ? 0, a ? 1 时,因为 f ?(0) ? 0 ,且 f ?( x ) 在 R 上单调递增, 故 f ?( x) ? 0 有唯一解 x ? 0 ………………………………7 分 所以 x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表所示:
(??, 0)
- 递减

x

0 0 极小值

(0, ??)
+ 递增

f ?( x ) f ( x)

又函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以方程 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 解法二: 易得直线 AF : y ? 2 x ? 8; AF2 : y ? ?2 x ? 8 ,所以可得 P ( 1 ∥ AF ,得 R(4 ? t , 0) ………………………8 分 1 设 ?PRF1 的外接圆 C 的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2 2

t ?8 8?t , t ), Q ( , t ) ,再由 QR 2 2

而 t ? 1 ? t ? 1 ,所以 t ?1 ? ( f ( x))min ? f (0) ? 1 ,解得 t ? 2 …………………11 分 ( Ⅲ ) 因 为 存 在 x1 , x2 ?[?1,1] , 使 得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 , 所 以 当 x ?[?1,1] 时 ,

| (f (x ) )a x? ( x m ) n | f ( x ( m)?x f (x ( m ) n ?…………12 分 f ( )i? ?i ) e 1 m a) 由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [?1, 0] 上递减,在 [0,1] 上递增, 所以当 x ?[?1,1] 时, ( f ( x))min ? f (0) ? 1,( f ( x))max ? max ? f (?1), f (1)? ,
而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a ) ? ( ? 1 ? ln a) ? a ?

1 a

1 ? 2 ln a , a

记 g (t ) ? t ? ? 2 ln t (t ? 0) ,因为 g ?(t ) ? 1 ?

1 t

1 2 1 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 (当 t ? 1 时取等号), 2 t t t

所以 g (t ) ? t ? ? 2 ln t 在 t ? (0, ??) 上单调递增,而 g (1) ? 0 , 所以当 t ? 1 时, g (t ) ? 0 ;当 0 ? t ? 1 时, g (t ) ? 0 , 也就是当 a ? 1 时, f (1) ? f (?1) ;当 0 ? a ? 1 时, f (1) ? f (?1) ……14 分 ①当 a ? 1 时,由 f (1) ? f (0) ? e ? 1 ? a ? ln a ? e ? 1 ? a ? e , ②当 0 ? a ? 1 时,由 f (?1) ? f (0) ? e ? 1 ?

1 t

1 1 ? ln a ? e ? 1 ? 0 ? a ? , a e

综上知,所求 a 的取值范围为 a ? ? 0, ? ? ? e, ?? ? …………………………16 分 e

? ?

1? ?



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