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如何上好高中数学试卷讲评课 (2)



高考复习如何上好试卷讲评课
刘 忠(江西省永丰中学特级教师) (原创)

数学试卷讲评课该怎么上, 是按题号顺序一道题接一道题地讲, 还是简单地打乱顺序讲, 抑或用其他方法讲?这个问题一直是数学教育工作者努力探求的问题. 教学实践表明,首先 确定哪些题该讲、哪些题不该讲,再就该讲的题从大众化的思想方法、模型化的知识题型、 规范化的解题过程等角度去归类

讲解,是上好数学试卷讲评课的基本策略. 一、该不该讲 笔者曾经听过一节高三理科重点班试卷讲评公开课, 这节课老师只讲了前 5 个较简单的 选择题(全卷共 22 道题),在课堂上老师 “表演”得非常精彩. 但当我们得知班平均 120 多分(满分 150 分),且此 5 题又基本无人错时,我们真为这些学生感到难过啊!这位老师 没有针对性地、根本没有考虑学生实际情况的试卷讲评有什么用呢? 老师在讲评试卷之前首先要批改试卷, 而批改试卷不仅要给出学生的得分, 更重要的还 要记载学生的错误情况.试卷改完后,老师既要把学生的得分情况(包括及格率、优秀率、 平均分、最高分等)统计好,还要把学生答题的错误情况统计好(大题可按答对 60%就算 对的方法统计),并将试卷逐份浏览,以掌握每个学生的答题情况.做完了这些工作之后才 能进课堂讲评试卷了.试卷讲评课首先要对试卷的难度作出评价,再将统计好的学生得分情 况告诉学生(千万不要点得分低的学生的名),使同学们知道自己在这次考试中所处的“地 位”,以利于他们对这次考试进行总结.接下来,就要根据统计好的全班学生每道题的错误 情况确定哪些题该讲哪些题不该讲了. 二、该怎么讲 试卷讲评课是复习课的一种类型. 我们知道,在复习过程中不能“以考代教”,这是因 为, 即使将若干套试卷合在一起也不可能覆盖所有的知识点和方法点, 特别是在近几年的高 考试题不注重知识点覆盖率(主要注重思想和方法的覆盖率)的情况下。因此我们就更有必 要在试卷讲评时将要讲的试题按照大众化的思想方法、 模型化的知识题型、 规范化的解题过 程等去归类讲解,并在此基础上讲清试题的来龙去脉、讲清试题的推广与引申,以达到在试 卷讲评的同时复习知识和方法的目的. 1、讲“大众化”的思想方法 数学考试离不开考查数学的思想和方法, 在复习过程中我们当然要对它们进行归纳总结. 虽然我们偶尔也会讲一讲某些技巧性较强的思想和方法, 但我们千万不能本末倒置、 千万不 能把强化“通性通法”置之脑后. 有这样一些老师,他们热衷于向学生灌输思维巧妙、技巧 极强的解题方法,他们认为这样做可以使学生“居高临下”.实际上这些老师的做法不但不 能使学生居高临下,相反地还会导致学生邯郸学步. 究竟什么样的方法才是好方法呢?笔者

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认为,一般学生最容易想到、最容易掌握的方法才是真正的好方法. 据“最近发展区”理论, 教师应正确地认识学生现有发展水平和其潜在的发展可能, 合理地组织教学, 使教学建立在 学生通过一定努力就可能达到要求的智力发展水平的知识水平上,并据此确定知识的广度、 深度. 只有这样学生才能掌握较多的数学思想和方法,并且能灵活运用,从而在考试中取得 好成绩. 在一次考试中有这样一道题:证明不等式 nn?1 ? (n ? 1)n    (n ? N , 且n ? e) . 本题的解 法有多种,但就下面两种方法而言我们应该选择哪一种呢? 解1 构造函数 f ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,    f ?( x) ? ,   当x>e时,  f ?( x) ? 0,   x x2

∴ f ( x ) 为单调递减函数,∴ f ? 亦即 nn?1 ? (n ? 1)n .

? ln n ? ? ln(n ? 1) ? ?? f ? ? ,   即(n ? 1) ln n ? n ln(n ? 1), ? n ? ? n ?1 ?

解2

? 1? 数学归纳法. 所证不等式可变形为: n ? ?1 ? ? .(1)当 n=3 时,不等式显 ? n? ? ? 1? ? , 则 当 n=k+1 时, k?
k ?1 k

n

然 成 立 . ( 2 ) 假 设 当 n ? k( k ? 3) 时 不 等 式 成 立 , 即 k ? ?1 ?

? 1? ? 1? k ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? k? ? k?

k ?1

? 1? ,   即k+1> ?1 ? ? ? k?
.

k ?1

.

∵ ?1 ?

? ?

1? ? k?

1 ? ? ? ?1 ? ? ? k ?1 ?

k ?1

,

1 ? ? ∴ k ? 1 ? ?1 ? ? ? k ?1 ?

k ?1

∴ 当 n=k+1 时不等式 也成立 . 由( 1 )( 2 )可 知,不等 式

n ? N , 且n ? e 时成立.
因为本题是关于正整数 n 的命题, 用数学归纳法证明非常自然, 而导数法因技巧性相对 较强而难于想到,所以最好选数学归纳法. 通性通法很多,除了课本上介绍的思想、方法以外,我们还可以结合试卷上的试题特点 从以下一些思想、方法的角度去讲解: (1)分离常数法.如:已知函数 y= (∵y=

3 ? 2x ,①求值域; ②作图象. x ?3

3 3 ? 2x ?2( x ? 3) ? 3 ? ?2 ? = , ∴值域为{y|y ? R且y ? ?2 },图象略). x ?3 x ?3 x ?3

(2)分离变量法. a≥f(x) ? a≥[f(x)]max,; 已知 1+2x+3x·a≥0 在(-∞,1

a≤f(x) ? a≤[f(x)]min.
(a≥-1).

如:

? 上恒成立,求 a 的取值范围.

(3)反客为主法.如:设不等式 mx2-2x-m+1 ? 0 对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立,

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求 x 的取值范围 .(将已知不等式变形为关于 m 的不等式,将客元 m 变为主元便易得出结论

x? ?

? -1 ? 7 1 ? 3 ? , ? ). 2 2 ? ?
(4)利用数列的递推公式求通项公式的方法.①倒序相加法:如:求

n ?1 2 3 n S= C1 );②错位相消法;③待定系数法:如:已知数列{an} n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nC n . ( n ? 2

满足 a1=2, ④累加法: 如: 已知数列{an}满足 a1=1, an+1-an=n, a n ? 2a n ?1 ? 1, 求 a n .( a n =2n-1+1) ; 求

? n (n ? 1) ? ? 1? an. ? 2 ? ?

; ⑤ 累 乘 法 : 如 : 已 知 数 列 {an} 满 足

a1=

1 n ?1 1 an ?1 (n ? 2),    ). , an ? 求an . (an ? n ?1 2 n(n ? 1)
( 5 )求函数值域的方法 . ①判别式法 (x 有无数个不可取的值时不可用此法 ). 如:

y ?

3x2 +3x+1 . x2 +x ? 1
4

?? 1? ? ? -?,- ? 5? ??

?3,+?? ?
?

?













.





y?3

x ? 2 ? 7 ? x .([?3 3, 6 3 ]) ; ③ 图 象 法 ; ④ 复 合 法 . 如 :
1

y ? 3 x ?2 ? ; ( y

? y|且

3 4 ? 7 7 ? .如: y ? x ? 1 ? 2 x , x ? ? , ?; ? ? , ? ? ;⑥利 0 y;⑤换元法 1 ) ?? ? ? ? ? ?8 9 ? ? ? 9 8 ? ?

用已知值域求值域的方法.如: y?

y ? x 2 ? 4 ? x 2 ? 2 x ? 10. [ 26 ,??) .
(6) 构造法.①构造向量.如: 已知实数 m,n,a,b 满足 m ? n ? a, x ? y ? b(a ? b) ,
2 2 2 2

?

?

2x ?1 . ((-1 , 1)) ; ⑦ 几 何 2x ?1

法. 如:

求 mx+ny 的最大值 .( 设 s =(m,n), t =(x,y), 最大值为

?

?

ab ). ②构造平移 . 如:函数
B. y 轴 C. 直线 x ? a

y ? f (a ? x ) 与 y ? f ( x ? a ) 的图象关于(

)对称. A. x 轴

D. 直线 x ? 2a .( 不妨设 a>0, 先将函数图象向左平移 a 个单位 ,得到函数 y ? f ( ? x ) 与

y ? f ( x ) 的图象.再将 y ? f ( ? x ) 与 y ? f ( x ) 的图象向右平移 a 个单位,即得结论 C ).
(7)运动变化观. 如:正三棱锥相邻两个侧面所成的角是 ? ,求 ? 的取值范围.(当正 三棱锥的顶点在底面的起始位置时,两“侧面”所成的角为π ,在顶点向上运动到无穷高的 终此位置时,所求的角几乎等于正三棱柱相邻两侧面所成的角 2、讲模型化的知识题型 将知识和题型模型化,有些人不赞成. 他们认为这样做不仅禁锢了学生的思维、阻碍了 学生的发展、形成了学生的定势,而且还影响了学生发散性思维的形成. 对于这个有不同看
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? ? ,故 ? ?( , ? )). 3 3

法的问题实际上是探究性教学与接受性教学孰优孰劣的问题 . 虽然现在提倡的是探究性教 学,但也有的专家提出,初中的勾股定理、高中的球的体积公式学生也探究得出?所有的公 式定理你都去探究一番吗?其实数学能够发展到今天, 正是不断接受前人的研究成果、 不断 将典型问题模型化的功劳. 因此, 我们在试卷讲评时要大胆地将知识、 题型归类和模型化. 以 下一些知识、方法的归类和模型化可供大家参考。 2 (1)一元二次方程根的分布问题:对于关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ①两实根都小于
? ??0 , k ? ? ? ?af (k ) ? 0 , ? b ? ? 2a ? k ; ?
? ? ? 0, ? ? ? af (k 1 ) ? 0, ?af (k ) ? 0; 2 ?

? ? 0, ? ? af (k ) ? o, 1 ②两实根都在(k1,k2)内 ? ? ? af (k ) ? o, 2 ? b ?k 1 ? ? ? k 2; 2a ?

③一

根小于 k1, 另一根大于 k2

④两根有且只有一根在(k1,k2)内 ? f (k 1 )f (k 2 ) ? 0.

⑤ 两 根 中 一 根 小 于 k , 另 一 根 大 于 k ? af(k)<0. ⑥ 两 实 根 分 别 在 (k1,k2) 、 (k3,k4) 内
? af (k 1 ) ? 0 ? af (k ) ? 0 2 ? ?? af ( k 3) ? 0 ? ?af (k ) ? 0 4 ? , , , .
2

(2)二次函数在给定闭区间上的值域:对于函数 f(x)=a(x-h) +k(a>0),x∈[p,q] .① 若 h<p,则 y∈[f(p),f(q)]; ②若 p≤h<

p+q p+q ,则 y∈[f(h),f(q)];③若 ≤h<q,则 y∈ 2 2
5 C 10 ); 2
4

[f(h),f(p)];④若 h>q,则 y∈[f(q),f(p)]. (3) 排列组合基本模型: ①分组: 如: 10 个人平均分成两组有多少种不同的分法. (

②将信投入信箱:设 A={a1, a2, a3 ,a4},B={b1, b2, b3},则 A→B 的映射有多少个?(3 );③ 不相邻(插入法);④相邻(捆绑法);⑤“两不”:如:6 人站一排,甲不站排头乙不站 排尾,共有多少种站法?(504);⑥相同的球放入不同的盒子(隔板法):6 个相同的球放 入 3 不同的盒子每个盒子都不空,共有多少种不同的放法?(10). ( 4 ) ① 过 圆 (x-a) +(y-b) =r
2 2 2 2

上 一 点
2 2 2

P(x0,y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r ;②过圆(x-a) +(y-b) =r 外一点 P(x0,y0)引圆的两条切线, 则切 点弦所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r . (5)①在等差数列{an}中,若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=nd,
2

S偶 S奇



a n ?1 ;若项数为 2n+1, an

则 S 奇-S偶=an?1 ,

S奇 S偶



n ?1 若项数为 2n, , S 2n?1 ? an?1 ? (2n ? 1) ; ②在等比数列{an}中, n

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S偶 S奇

=q ;若项数为 2n+1,则

S 奇 ? a1 S偶

=q .

(6)①对于定义在 R 上的函数 y=f (x),若 f (a+x)=f (b-x),则 y=f (x)的图象关于直线

a?b 对称 ;②已知定义在 R 上的函数 y=f (x),则函数 y= f (a+x)与 y=f (b-x)的图象关 2 b?a 于直线 x= 对称. 2
x= 3、讲规范化的解题过程 会与对永远是数学考试的一对矛盾,如何解决这对矛盾是数学教师和学生永恒的主题 . 但不少学生总是不以为然,他(她)们甚至在会与对之间画等号. 实际上会做的题会因为算 错、看错、抄错等原因而致错,甚至有的情况下会因为结论写得不符合要求而扣分甚至得零 分. 那么怎样才能避免这些错误呢?那就是老师在平常的教学过程中要讲, 在试卷讲评时更 要讲,要结合学生的错误情况有针对性地讲,并再一次告诉他们: (1)考试要精力集中、字迹清秀、操作规范、计算正确、不涂改. 精力集中、做事一板 一眼是一种优秀品质, 对成才大有裨益. 好的习惯靠平常养成, 等出了问题再来纠正就非常 困难了,所谓积重难返嘛. (2)出现错题要重做,要查明原因,要把失误点记入“错题集”.只有把失误控制在平常, 才能取得考试的好成绩. (3)要避免不下结论或下错结论的事情发生.如: ① 不 要 把 函 数 y?

??

? ,    0 ?

?

1 的 单 调 区 间 ? ??,    0? ,    ? ?? 写 成 ?0,    x 或 “ x ? 0或x ? 0 ”,或 ?x | x ? 0或x ? 0     0 , ? ? ,? ?.

②求函数 y ? f ( x) 的定义域和值域,不能只求出 x 和 y 的取值范围,而不把 x 和 y 的 范围写成集合的形式,如不能将定义域 ? ??,    0?

? ?? 写成“ x ? 0或x ? 0 ”. ?0,   
8 9

③要注意区间的开闭.其实,区间的开闭问题是数学中的一个“敏感”问题. 如:函数
2 y= kx ? 6kx ? 8 的定义域是R,求 k 的取值范围 . 这个题的正确答案为 [0, ] ,若为

? 8? ? 0, ? 就只能得零分了. ? 9?
④应用题得出结果后要标明单位. ⑤利用数学归纳法证明数学问题时,在验证了 n ? n0 及证明了 n=k 和 n=k+1 成立后要 有一个结论性的表述:由(1)(2)可知,命题当 n ? n0 (n ? N ? ) 时都成立. ⑥注意角的范围而不写错结论. 如立体几何中求异面直线所成的角 .当用解三角形的 方法历尽“千辛万苦”才求出一个角为 120°时,如果你的结论就是 120°,那么这个填空
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题的得分又只能是零分了. 在解析几何中求直线的倾斜角也有类似的情况. ⑦有的选择题和填空题,题目问的是多个命题中错误命题的个数,而你做了不少类似 的题,问的又都是正确命题的个数.在这种情况下你就很有可能因填上的是正确命题的个数 而得零分. 总之,数学试卷讲评课的上法是很有学问的,我们要努力探求好的方法. 以上观点是 本人的一些体会,不当之处请大家指正!

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