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高二年级期末质量检测数学试卷(理科)(选修2-1)



高二年级期末质量检测数学试卷(理科)(选修 2-1)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 命题“如果 x ? a ? b ,那么 x ? 2ab ”的逆否命题是(
2 2



A.如果 x ? a ? b ,那么 x ? 2ab


2 2

B. 如果 x ? 2ab ,那么 x ? a ? b
2

2

C. 如果 x ? 2ab ,那么 x ? a ? b
2
2 2

2

D. 如果 x ? a ? b ,那么 x ? 2ab 2. 在空间四边形 OABC 中, OA ? AB ? CB 等于( A. OA
2



B. AB B. 3
2 2

C. AC C. 2 D. 1

D. OC )

3. 抛物线 y ? 4 x 的焦点到其准线的距离是( A. 4 4. 已知双曲线

x y ? 2 ? 1(b ? 0) 的一个焦点坐标是(5,0),则 b 等于( 9 b
D. 16 B. 既不充分又不必要条件 )



A. 4 B. 5 C. 8 5. ab=0 是 a=0 的( ) A. 充要条件

C. 充分但不必要条件 D. 必要但不充分条件 6. 已知命题 p,q,若命题“ ? p ”与命题“ p ? q ”都是真命题,则(

A. p 为真命题,q 为假命题 B. p 为假命题,q 为真命题 C. p,g 均为真命题 D. p,q 均为假命题 7. 若向量 m 同时垂直向量 a 和 b,向量 n ? ?a ? ?b(? , ? ? R, ? , ? ? 0) ,则( ? A. m // n C. m 与 n 既不平行也不垂直 8. 下列各组向量平行的是( ) B. a=(0,1,0),b=(1,0,1) D. a=(1,0,0),b=(0,0,1) B. m ? n D. 以上三种情况均有可能



A. a=(1,1,-2),b=(-3,-3,6) C. a=(0,1,-1),b=(0,-2,1) 9. 以下四个命题中,正确的是( )

1 1 A. 若 OP ? OA ? OB ,则 P、A、B 三点共线 2 3
B. 若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底 C. | (a ? b)c |?| a | ? | b | ? | c | D. △ABC 为直角三角形的充要条件是 AB. AC ? 0 10. 已知椭圆两焦点 F1(-1,0),F2(1,0),P 为椭圆上一点,且 F1 F2 是 PF 与 PF2 1 的等差中项,那么该椭圆方程是(
2 2 2 2



x y x y ? ?1 ? ?1 B. 3 4 16 12 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 16 9 4 3 x2 y2 11. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1,左、右顶点为 A1、A2,P 为双曲 a b
A. 线上任意一点,则分别以线段 PF1,A1A2 为直径的两个圆的位置关系为( A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 以上情况都有可能 )

x2 y2 ? ? 1 相交于不同的两点 A、B,则使 AB 为整 12. 设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C : 4 2
数的直线 l 共有( A. 4 条 ) C. 6 条 D. 7 条 B. 5 条

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分,把答案填在题中横线上. 13. 命题 p : ?x ? R, x ? 0 的否定是_______________________. 14. 已知 a ? (2,?3,1), b ? (?4,2, x) ,且 a ? b ,则 x 的值为_______________. 15. 与双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 有共同的渐近线,并且经过点(2, 5 )的双曲线方程是 ____________________________. 16. 已知双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ,A、F 是它的右顶点和左焦点,又 B(0,b),且 a 2 b2

AB ? BF ? 0 ,则双曲线的离心率为________________.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 8 分)求与椭圆 方程. 18. (本小题满分 8 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A (2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线方程. 19. (本小题满分 16 分)正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,O 是 AC 与 BD 的交点, E 是 B1B 上一点,且 B1 E ?

x2 y2 5 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线的 49 24 4

1 . 2

(1)求证:B1D⊥平面 D1AC; (2)求异面直线 D1O 与 A1D 所成角的余弦值; (3)求直线 D1O 与平面 AEC 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 10 分)给定抛物线 C : y ? 4 x, F 是抛物线 C 的焦点,过点 F 的直线 l
2

与抛物线 C 相交 A、B 两点,O 为坐标原点.设 | FA |? 2 | BF | ,求直线 l 的方程.

x2 y2 21. (本小题满分 10 分)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在 a b

椭圆 C 上,且 PF1 ? F1 F2 , | PF1 |? (1)求椭圆 C 的方程;

4 14 , | PF2 |? ? 3 3

(2)若直线 l 过圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A、B 两点,且 A、 B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

【试题答案】
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 1. C 7. B 2. D 8. A 3. C 9. B 4. A 10. D 5. D 11. A 6. B 12. C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. 13. ?p : ?x ? R, x ? 0 14. 14

y2 x2 ? ?1 4 16 5 ?1 16. 2
15. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 17. (本小题满分 8 分)

x2 y2 ? ? 1, 解:∵椭圆的方程为 49 24 ? a 2 ? 49, b 2 ? 24,

?c 2 ? 49 ? 24 ? 25, x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标为(5,0),(-5,0). ∴椭圆 4分 49 24 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有公共焦点的双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 . ∴设与椭圆 49 24 a b 2 2 2 ? a ? b ? c ? 25 5 ∵双曲线的离心率 e ? , 4 c 5 ? ? . a 4 ? a ? 4, b ? 3 .
x2 y2 ? ? 1. ∴所求双曲线方程为 16 9
18. (本小题满分 8 分) 解:(1)由已知,设所求抛物线方程为 y 2 ? 2 px. 将点 A(2,2)代入 y 2 ? 2 px ,得 p=1. 所求抛物线 C 的标准方程为 y ? 2 x.
2

8分

4分

(2)? k 0 A ?

2?0 1 ? 1, F ( ,0), 2?0 2 1 2

∴直线 l 的方程为 y ? 0 ? ?1( x ? ) , 即 2 x ? 2 y ? 1 ? 0. 19. (本小题满分 16 分) 解:(1)如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D—xyz. 8分

则 D(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2)

? AD1 ? (?2,0,2), AC ? (?2,2,0), B1 D ? (?2,?2,?2) ? ? AD1 ? B1 D ? 4 ? 0 ? 4 ? 0, AC ? B1 D ? 4 ? 4 ? 0 ? 0, ? AD1 ? B1 D, AC ? B1 D,
又 AC 与 AD1 交于 A 点,

? B1 D ? 平面D1 AC.

5分

(2)设 A1D 与 D1O 所成的角为 ? . D1(0,0,2),O(1,1,0),A1(2,0,2).

? A1 D ? (?2,0,?2), D1O ? (1,1,?2).
? cos? ? | A1 D ? D1O | | A1 D | . | D1O |

?

2 2 2? 6

?

3 ? 6
3 ? 6
10 分

所求异面直线 A1D 与 D1O 所成角的余弦值为 设平面 AEC 的法向量为 n=(x,y,z).

(3)设平面 AEC 与直线 D1O 所成的角为 ? .

3 3 3 E (2,2, ), C (0,2,0), A(2,0,0), AE ? (0,2, ), EC ? (?2,0,? ) ? 2 2 2 3 ? ?n ? AE ? 0 ? x ? ? 4 z , ? ? ?? ? ?n ? EC ? 0 ? y ? ? 3 z. ? ? 4 ? 3 3 令 z=1,则 x ? ? , y ? ? . 4 4

3 3 ? n ? ( ? ,? ,1). 4 4

? sin ? ?| cos ? n, D1O ?|?

n ? D1O n ? D1O

?

7 51 ? 51
7 51 ? 51
16 分

所求平面 AEC 与直线 D1O 所成角的正弦值为 20. (本小题满分 10 分) 解:由题意,得 F(l,0).

因为 FA ? 2 BF ,三点 A,F,B 共线且点 A,B 在点 F 两侧, 所以 FA ? 2BF, 设 A,B 两点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则

FA ? ( x1 ? 1, y1 ), BF ? (1 ? x2 ,? y2 ), ? x1 ? 1 ? 2(1 ? x2 ), 所以 ? ① 3分 ? y1 ? ?2 y 2 . 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) (x=l 不符合题意,舍去). ? y ? k ( x ? 1) 由? 2 ,消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0, ? y ? 4x
因为直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,所以 k≠0, 则 ? ? 16 ? 16 k ? 0,? y1 ? y 2 ?
2

4 , y1 y 2 ? ?4. ② k

6分

4 ? ?k ? 2 2 , ? y1 ? y 2 ? k , ?k ? ?2 2 , ? ? ? ? 由①②,得方程组 ? y1 y 2 ? ?4, 解得 ? y1 ? ?2 2 , 或 ? y1 ? 2 2 , ? ? . ? y ? 2; ? 2 ? y2 ? ? 2; ? y1 ? ?2 y 2 , ? ? 故直线 l 的方程为 2 2x ? y ? 2 2 ? 0 或 2 2 x ? y ? 2 2 ? 0. 10 分
21. (本小题满分 12 分)

? 4 14 ? 3 ? 3 ? 2a, 解:(1)由已知,可得 ? 14 4 ?( ) 2 ? ( ) 2 ? (2c) 2 . 3 ? 3 2 ? a ? 3, c ? 5. ?b 2 ? 4. x2 y2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 3分 9 4 2 2 (2)由已知,得圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5,
∴圆心 M 的坐标为 M(-2,1).

? x12 y12 ? ? 4 ? 1, ① ?9 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 ? 2 2 ? x 2 ? y 2 ? 1.② ?9 4 ? ( x ? x 2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. ①一②,得 1 9 4 ?x 1 ? x2 ? ?4, ?? ?? 1 ? y 2 ? 2, ? 4( x1 ? x 2 ) 2( y1 ? y 2 ) ? ? ? 0, 9 4 y ? y1 8 ∴直线 l 的斜率为 k l ? 2 ? , x2 ? x1 9 8 ∴直线 l 的方程为 y ? 1 ? ( x ? 2) ? 10 分 9



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