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2.5.1 等比数列的前n项和 课件(人教A版必修5)



只要肯登攀

复习:
等差数列 等比数列

定义
通项公式

an?1 ? an ? d an?1 ? an ? d
an ? am ? (n ? m)d

an ?q an ?1 (q为常数n≥2)

an=a1· qn-1(q≠0)
(m, n, r, s ? N * )

性质

am ? an ? ar ? as
Sn

m?n ? r ? s

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

1.创设情境,提出问题
引入:印度国际象棋发明者的故事

(西 萨)

故事:
传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明者 西萨,西萨说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒, 在第2个格子里放上 2 颗麦粒,在第 3个格子里放上 4颗

麦粒,在第 4个格子里放上 8颗麦粒,依此类推,每个
格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍, 直到第 64 个格子。请给我足够的粮食来实现上述要 求”。国王觉得并不难,就欣然同意了他的要求。你 认为国王有能力满足发明者的要求吗?

设问:同学们,你们知道西萨要的 是多少小麦吗?

引导学生写出麦粒总数为

1+ 2+ 22 + 23 + ??? + 263 =

1.84?10
约7000亿吨

19

错位相减法
S64=1+2+22+23+· · · +263
2S64= 2+22+23+· · · +263+264




两式上下相对的项完全相同,把两式相减, 就可以消去相同的项,得到 .
s= 21 64
64

反思: 纵观全过程,①式两边为什么要乘以2 ?

第二章 数



2.5.1 等比数列的前n项和

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第二章 数



新知初探·思维启动
等比数列的前n项和公式

已知 量

首项、公比与项数
Sn=

首项、末项与公比
Sn=

na1 ?q=1? _______ ? 选用 ? ? a1?1-qn?? 公式 ? 1-q ?____________ ?q≠1?

na1 ?q=1? _______ ? ? ? a1-anq? 1-q ?____________ ? ?q≠1?

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第二章 数



做一做

已知等比数列{an}中, 1 (1)a1=-4,q= ,则 S10=________; 2 (2)a1=1,ak=243,q=3,则 Sk=________.
解析:(1)S10= 1?10? ? ? -4?1-?2? ? 1 1- 2 1023 =- . 128

1-243×3 (2)Sk= =364. 1-3 1023 答案:(1)- (2)364 128

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第二章 数



典题例证·技法归纳
题型探究
题型一 例1 等比数列前n项和的基本运算 设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 已知 a2

=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
【 解 】 设 {an} 的 公 比 为 q , 由 题 设 得 ? ?a1q=6,
? 2 ?6a1+a1q =30. ?

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第二章 数



? ? ?a1=3 ?a1=2, 解得? 或? ? ? ?q=2 ?q=3.

当 a1=3,q=2 时,an=3×2n 1,


a1?1-qn? 3?1-2n? Sn= = =3(2n-1); 1-q 1- 2 当 a1=2,q=3 时,an=2×3n 1,


a1?1-qn? 2?1-3n? Sn= = =3n-1. 1-q 1- 3

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第二章 数



变式训练

1.在等比数列{an}中, (1)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 a4 和 S5. 4 a1?1-qn? - 解:(1)法一:由 Sn= ,an=a1qn 1 以 1-q
n a ? 1 - 2 ? 1 ? ?189= 1-2 及已知条件得? - ? ?96=a1· 2n 1 n n 192 ∴a1· 2 =192,∴2 = . a1



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第二章 数



192 ? ∴189=a1(2 -1)=a1? a -1? ,∴a1=3. ? 1
n

96 又∵2 = =32,∴n=6. 3 a1-anq 法二:由公式 Sn= 及条件得 1-q
n- 1

a1-96×2 - 189= ,解得 a1=3, 又由 an=a1· qn 1, 1-2 得 96=3· 2n 1,解得 n=6. (2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得


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第二章 数



2 a + a q =10 1 1 ?

? ? ? 3 ,即? 3 5 . 5 5 2 ? ? ?a1q +a1q =4 ?a1q ?1+q ?=4
∵a1≠0,1+q2≠0,∴②÷ ①得, 1 3 1 q = ,即 q= ,∴a1=8. 8 2 1?3 3 ? ∴a4=a1q =8×?2? =1, 1?5 ? ? ? a1? 1-q5? 8×?1-?2? ? 31 S5= = = . 1 2 1- q 1- 2

2 a ? 1 + q ?=10 1 ?

① ②

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第二章 数



题型二
例2

等比数列前n项和性质的运用

在等比数列{an}中,若前10项的和S10

=10,前20项的和S20=30,求前30项的和S30.
【解】 法一:设数列{an}的首项为 a1,公比

? ? 为 q,显然 q≠1,则? a ? 1-q ? ? 1-q
1

a1? 1-q10? =10, 1-q
20

? =30.

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第二章 数



两式相除得 1+q10=3,∴q10=2. a1? 1-q30? a1? 1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1- q =10×(1+2+4)=70. 法二:∵S10, S20- S10, S30- S20 仍成等比数 列, 又∵S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-30= , 10 即 S30=70.

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变式训练 2.一个等比数列的首项是1,项数是偶数,

其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求
此数列的公比和项数.
解:法一:设原等比数列的公比为 q,项数为 2n(n∈N*). 1-q2n =85, ① 1-q2 由已知 a1=1,q≠1,有 q?1-q2n? =170. ② 1-q2

? ? ? ? ?

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1-4n 由②÷ ①,得 q=2,∴ =85,4n=256, 1-4 ∴n=4.故公比为 2,项数为 8. 法二:∵S 偶=a2+a4+?+a2n =a1q+a3q+?+a2n-1q =(a1+a3+?+a2n-1)q=S 奇· q, S偶 170 ∴q= = =2.又 Sn=85+170=255, S奇 85 a1?1-qn? 1 - 2n 据 Sn= ,得 =255,∴2n=256, 1-q 1- 2 ∴n=8.故公比 q=2,项数 n=8.
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题型三 例3 列{an },

等差、等比数列的综合应用

(本题满分12分)已知等差数

a2=9,a5=21.
(1)求{an}的通项公式; (2)令bn=2an,求数列{bn}的前n项和Sn.

【思路点拨】首先求出 a1 和 d ,再计算 an ,
由bn=2an可判断数列{bn}的类型.

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【解】

(1)设等差数列{an}的公差为 d, 3分 5分 6分 7分

? ?a1+d=9, 依题意得方程组? ?a1+4d=21, ?

解得 a1=5,d=4. 所以{an}的通项公式为 an=4n+1. (2)由 an=4n+1 得,bn=24n 1,


所以{bn}是首项为 b1=25,公比为 q=24 的等 比数列. 9分

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25×?24n-1? 于是得 {bn} 的前 n 项和 Sn = = 24-1 32×?24n-1? . 12 分 15
名师微博

这是本题的难点. 在解决等差、等比数列的综

【名师点评】

合题时,重点在于读懂题意,而正确利用等
差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和 公式是解决问题的关键.

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变式训练 3.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an =log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和.

解:设{bn}的前n项和为S′n,
当n=1时,a1=S1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3-2n, 又∵an=log5bn,∴bn=53-2n.

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bn+ 1 53 2? n 1? 1 ∵ = 3-2n = ,b1=5, bn 25 5
- +

1 ∴{bn}是以 5 为首项, 为公比的等比数列, 25 1 n 5[1-? ? ] 25 125 1 ∴S′n= = (1- n). 1 24 25 1- 25

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备选例题
7 63 1.在等比数列{an}中,S3= ,S6= ,求 an. 2 2 解:∵S6≠2S3,∴q≠1.

? ? 7 63 由 S = ,S = ,得? 2 2 a ? 1-q ? 63 ? ? 1-q = 2 .
3 6 1 6

a1? 1-q3? 7 = ,① 2 1-q ②

② ,得 1+q3=9,∴q=2, ① 1 - - 代入①,得 a1= ,∴an=a1qn 1=2n 2. 2
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2.已知等差数列{an}满足a2=2,a5=8.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设各项均为正数的等比数列{bn}的前n项 和为Tn,若b3=a3,T3=7.求Tn.
解 : (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 则 ? ?a1+d=2,
? ?a1+4d=8. ? ? ?a1=0, 解之得? ∴an=2n-2. ? ?d=2,

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(2) 设各项均为正数的等比数列 {bn}的公比为 q(q>0), 由(1)知 a3=4,∴b3=4.又 T3=7,∴q≠1. 2 b · q =4, 1 ? ? ? ?q=2 3 ∴?b1?1-q ? 解得? 或 ?b1=1 =7, ? ? ? 1-q 2 ? ?q=-3, ? (舍去) ? ?b1=9. ?1-2n? n ∴Tn=1× =2 -1. 1-2
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