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0 函数单调性的概念



1.3函数的基本性质
函数是描述事物运动变化规律的数学模型。 ? 了解了函数的变化规律,基本把握了相应事 物的变化规律。 ? 研究函数的性质,如函数在什么时候递增或 递减,有没有最大值或最小值,函数图象有 什么特征是非常重要的。
?

观察下列函数图象,体会它们的特点,分别反映了相应函数的 哪些变化规律:

1.3.

1

单调性与最大(小)值

第一课时

函数单调性的概念

问题提出

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得 到了以下一些数据:
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后 忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)

以上数据表明,记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.

y
100 80

60 40
20

o

1

2

3

t

思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势?通过这个 60 试验,你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释?

1

2

3

t

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x

上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?
2、在区间 (-∞,+∞) ________上,随着x的增大,f(x)的值随 着 ______ . 增大

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x2

图象在y轴右侧” 上升“

1、在区间 (-∞,0]上,f(x)的值随着x的增大而 ____ 减小 ______. 2、 在区间 (0,+∞)上,f(x)的值随着x的增大而 _____ 增大 _____.

x f(x)=x2

… …

-4 16

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

… …

在区间?0, ? ?上任取两个x1 , x2,得到f ( x1 ) ? x1 , ?
2

f ( x2 ) ? x2,当x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ),这时我
2

们就说函数f ( x ) ? x 在区间?0, ? ?上是增函数. ?
2

思考: 如图为函数f(X)在定义域I内某 个区间D上的图象,对于该区间 上任意两个自变量x1和x2,当 x1<x2 时,f(x1) 与f(x2)的大小 关系如何?
y
y=f(x)

f(x1)

f(x2)

o

x1

x2

x

思考:我们把具有上述特点的函数称为增函数, 那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”?
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值x1,x2,若当x1 < x2时,都有f(x1) <f(x2)则称函数f(x)在区间D上是增函数.

考察下列两个函数:
f(x) = -x
y

f(x) = x2(x<0)
y

o

x

o

x

二者有何共同特征?

思考: 如图为函数f(X)在定义域I内某 个区间D上的图象,对于该区间 上任意两个自变量x1和x2,当 x1<x2 时,f(x1) 与f(x2)的大小 关系如何?
y
y=f(x) y ?

f ( x)
f(x2)

f(x1)

o

x1

x2

x

思考:我们把具有上述特点的函数称为减函数, 那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”?
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值x1,x2,若当x1 < x2时,都有f(x1) >f(x2)则称函数f(x)在区间D上是减函数.

一、函数单调性定义 1.增函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

2.减函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在 区间D上是减函数 .

二.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫 做y=f(x)的单调区间.

问题:

思考

(1)对于某函数,若在区间(0,+∞)上, 当x=1时, y=1;当 x=2时,y=3 ,能否 说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?
y
3 1

0

1

2

x

(2)若x=1,2,3,4,时,相应地 y=1,3,4,6,能否说在区间(0,+∞) 上,y 随x 的增大而增大呢?
y

0 1 2 3 4

x

(3)若有n个正数x1< x2<x3<··< xn,它 ·· ·· 们的函数值满足: y1< y2<y3<··< yn.能 ·· ·· 否就说在区间(0,+∞) 上y随着x的增大, 若x取无数个呢? 而增大呢?
y
yn

y3 y2 y1 0 x1 x2 x3 xn

x

思考 :一般地,若函数 f (x) 在区间A、B上是 单调函数,那么 f (x) 在区间 A ? B上是单调函 数吗?

注意:
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质,是函数的局部性质; 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1, x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.

y
y ? kx ? b ( k ? 0) 在(-∞,+∞)

y
y ? kx ? b ( k ? 0)
在(

-∞,+∞)

o y
y ? 1 x

x

是减函数

o y

x

是增函数

o

x

-∞,0)和 (0,+∞)是减
在( 函数
b ? ? 在 ?- ?, ? 2a ? ? 增函数 在
b ? ? ? , ?? ? ? 减函数 ? 2a ?

y ? ?

1 x

o y ax

x

-∞,0)和 (0,+∞)是增
在( 函数 在 ? ? b , ?? ? ? ? 2a ? ? 增函数 在 ? 减函数 , b ? ?-? ? 2a ? ?

y ? ax ? bx ? c (a ? 0)

y

2

y ?

2

? bx ? c

(a ? 0)

o

x

o

x

例1、下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间 上,它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数, 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。

例2、物理学中的玻意耳定律 p ? V ( k 为正常数 ) 告诉 我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。 证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 取值 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则
p (V1 ) ? p (V2 ) ? k V1 ? k V2 ?k V2 ? V1 V1V2

k

作差 变形

由V1,V2∈ (0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0, V2- V1 >0 又k>0,于是 p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0
即 p(V2 ) ? p(V1 )
k

定号

所以,函数 p ? V , V ? (0,??)是减函数. 也就是说,当体积V减少时,压强p将增大.

结论

三.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: 1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性).

归纳小结:
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利 用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调 性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

作业:
习题1.3 A组 1、2题



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