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高三数学学法指导



中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
高三数学学法指导(二)
一、填空题: lg(x ? 1) 1、函数 y ? 的定义域为 2?x 。 。 。

2、在利用数学归纳法证明 2 n ? n 2 时,第一步应验证 n = 3、数列 {a n }满足a n ?1 ? a n ? lg 2,且a1 ? 1 ,则数列的通项公式 a n ?

r />1 ? (1 ? ) n , ? n ? 4、 若数列 a n ? ? 2 C ? n , ? ?n2 ?1 当1 ? n ? 100时 ,则 lim a n ? n ?? 当n ? 101 时



5、 ?为第二象限角,其终边 上一点为 P( x , 5 ), 且 cos ? ? 6、在△ABC 中,若∠A,∠B、∠C 成等差数列, sin A ?

2x ,则tan ?的值为 4



12 ,则 cosC= 13



?x 2 , x ? 0 7、函数 f (x) ? ? 的反函数 f?1(x)= ? x , x ? 0 ?



8、连续抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次,则结果为两次反面,一次正面的概率是 。 9、若书架上原来排放着 6 本不同的书,现要再插入 3 本不同的书,则插入的 3 本书中,恰有两本相临的 y 插入方法为 。 10、若 f(x)是定义在(-3,3)上的偶函数,当 0<x<3 时,其图象如图: 3 x O 1 则不等式 f(x)sinx ? 0 的解集为 。 11、若 (3x ? 1)7 ? a7 ( x ? 2)7 ? a6 ( x ? 2)6 ? ? ? a0,则a7 ? a6 ? a5 ? ? ? a0 ? 。

12、按照国际惯例,如果一个国家的人均国民收入达到或超过 2000 美元,可列入中等发达国家,某发展 中国家 1996 年的人均国民收入为 352 美元, 该国国民总收入以 8.5%速度递增, 人口自然增长率为 1.2%。 按照这样的速度,至少需经过 年才能达到或超过中等发达国家人均收入的水平。 二、选择题: 13、对任意函数 y ? f (x), x ? R,设数列{a n }的通项公式为: a n ? f (n), 则函数为单调递增的是数列单调递增 的-------------------------------------------------------------------------------( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 14、?是三角形的内角,cot??m,则 cos?等于------------------------------------------------( )

( A) ?

m 1 ? m2 1 ? m2

( B)

m 1 ? m2 1 ? m2

(C ) ?

m 1 ? m2 1 ? m2
193.06

( D)

| m | 1 ? m2 1 ? m2


15、如图是个人所得税增长图表,其中税额增长率最大的年份是---------------------(
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
单位:亿元

131.39 63.4 31.36 72.67

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1998 1999 2000 2001 2002

年份

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(A)1999

(B)2000

(C)2001

(D)2002 )

16、若函数 y ? x 3 ? x ? 2 的图象是曲线 C,则下列命题中正确的是-------------------( (A)曲线 C 不是中心对称图形; (B)曲线 C 关于原点中心对称 (C)曲线 C 上任意一点 P 关于点(0,2)的对称点 P1 必在曲线 C 上; (D)过点(0,2)的任意一条直线必定与曲线 C 有三个不同的交点。 三、解答题: (1)若 x ? R ,求 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 x ? ?0, 17.已知函数 f ?x? ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a ? 1?a ? R? ,

? ?? 且 f ? x ? 的最大值为本 4,求 a 的值。 ? 2? ?

18、已知集合 A ? ? y | y ? a ? tan x , x ? ??

? ?

? ? 2x ?1 ? ? ? ?? ? 1? , , ? ,a ? 0,a ? R? ,集合 B ? ? x | ? x?3 ? ? 4 4? ?

(1) 若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (2) 若 CR A ? B ,求 a 的取值范围。

19、已知 f (x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f (t 2 ) ? t 4 ? t 2 (t ? R) , (1) 求函数 f (x); (2) 若 f (x) = a 有两个不同的实数解,求实数 a 的取值范围。

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20.已知数列 ?an ? 中, a1 ? , an ? 2 ? (1)求证:数列 ?bn ?是等差数列;

3 5

1 ?a ? 2, a ? N ? ,数列 ?bn ?满足 bn ? 1 ?n ? N ? 。 an ? 1 an ?1

(2)求数列 ?an ? 中值最大的项与最小的项,并说明理由; (3)求 lim an 的值。
n ?? n

21、一大型化肥生产企业通过详细的市场调查后预测,某地区明年 1 月份对有机化肥的需求量约为 1.06 亿 千克,二月份对有机化肥的需求量约为 1.04 亿千克,以后各月将以每月 0.04 亿千克的速度递增。 (1) 若该地区明年前 n 个月对有机化肥的需求总量为 f(n),试写出 f(n)的表达式; (2) 如果该企业明年上半年计划每月投放该地区 1.1 亿千克有机化肥(销售未完的化肥都可以在以后的各 月销售) ,是否会发生供不应求的现象? (3) 如果该企业明年全年计划每月投放该地区 p 亿千克有机化肥 (销售未完的化肥都可以在以后的各月销 售) ,要保障不发生供不应求的现象,p 至少为多少亿千克?

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22、对函数y ? f ( x )给出如下定义:若对于 定义域D内的任意一个值x 0,都有函数值 f ( x 0 ) ? D,则称函数y ? f ( x )是D上的闭函数,称D是函数y ? f ( x )的闭区域。 (1)当定义域D为区间(0,1),判断下列函数中哪些 是D上的闭函数(写出推理过程) 1 ?x (1)y ? x (2) y ? log 1 ( x ? 1) (3) y ? 2 x ? 1 (4) y ? 2 sin ; 2 2
2

5x (2)写出函数y ? 的一个闭区域; x?2 5x ? a 是D上的闭函数? x?2 若存在,求出a的值,并给出证明,若 不存在,请说明理由。 (3)当定义域D为区间(1,2)时是否存在实数a,使得函数f ( x ) ?

高三数学学法指导(二) (答案)
四、填空题: lg(x ? 1) 1、函数 y ? 的定义域为 2?x

?? 1,2?



2、在利用数学归纳法证明 2 n ? n 2 时,第一步应验证 n = 5
,则数列的通项公式 a n ? 3、数列 {a n }满足a n ?1 ? a n ? lg 2,且a1 ? 1

n lg 2 ? lg 5



1 ? (1 ? ) n , ? n ? 4、 若数列 a n ? ? 2 C ? n , ? ?n2 ?1

当1 ? n ? 100时 ,则 lim a n ? n ?? 当n ? 101 时

1 2



5、 ?为第二象限角,其终边 上一点为 P( x , 5 ), 且 cos ? ?

2x ,则tan ?的值为 4

?

15 。 3


6、在△ABC 中,若∠A,∠B、∠C 成等差数列, sin A ?

12 ,则 cosC= 13


12 3 ? 5 26

?x 2 , x ? 0 7、函数 f (x) ? ? 的反函数 f?1(x)= ? x , x ? 0 ?

?? x , x ? 0. ? ?? x, x ? 0.

8、连续抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次,则结果为两次反面,一次正面的概率是

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9、若书架上原来排放着 6 本不同的书,现要再插入 3 本不同的书,则插入的 3 本书中,恰有两本相临的 y 插入方法为 252 。 10、若 f(x)是定义在(-3,3)上的偶函数,当 0<x<3 时,其图象如图: 3 x O 1 则不等式 f(x)sinx ? 0 的解集为 ?? 1,0? ? ?1,3? 。 11、若 (3x ? 1)7 ? a7 ( x ? 2)7 ? a6 ( x ? 2)6 ? ? ? a0,则a7 ? a6 ? a5 ? ? ? a0 ? -128 。

12、按照国际惯例,如果一个国家的人均国民收入达到或超过 2000 美元,可列入中等发达国家,某发展 中国家 1996 年的人均国民收入为 352 美元, 该国国民总收入以 8.5%速度递增, 人口自然增长率为 1.2%。 按照这样的速度,至少需经过 25 年才能达到或超过中等发达国家人均收入的水平。 五、选择题: 13、对任意函数 y ? f (x), x ? R,设数列{a n }的通项公式为: a n ? f (n), 则函数为单调递增的是数列单调递增 的-------------------------------------------------------------------------------( A ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 14、?是三角形的内角,cot??m,则 cos?等于--------------------------------------------------( B )

( A) ?

m 1 ? m2 1 ? m2

( B)

m 1 ? m2 1 ? m2

(C ) ?

m 1 ? m2 1 ? m2
193.06

( D)

| m | 1 ? m2 1 ? m2
A )

15、如图是个人所得税增长图表,其中税额增长率最大的年份是---------------------(
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
单位:亿元

131.39 63.4 31.36 72.67

1998

1999

2000

2001

2002

年份

(A)1999

(B)2000

(C)2001

(D)2002 C )

16、若函数 y ? x 3 ? x ? 2 的图象是曲线 C,则下列命题中正确的是-------------------( (A)曲线 C 不是中心对称图形; (B)曲线 C 关于原点中心对称 (C)曲线 C 上任意一点 P 关于点(0,2)的对称点 P1 必在曲线 C 上; (D)过点(0,2)的任意一条直线必定与曲线 C 有三个不同的交点。 六、解答题: 17.已知函数 f ?x? ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a ? 1?a ? R? , (1)若 x ? R ,求 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 x ? ?0,

? ?? 且 f ? x ? 的最大值为本 4,求 a 的值。 ? 2? ? ? ?

答: (1) f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

??

? ?? ? ? ? a ,递增区间为 ?k? ? , k? ? ??k ? Z ? 。 6? 3 6? ?

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(2) a ? 2 。 18、已知集合 A ? ? y | y ? a ? tan x , x ? ??

? ?

? ? 2x ?1 ? ? ? ?? ? 1? , , ? ,a ? 0,a ? R? ,集合 B ? ? x | ? x?3 ? ? 4 4? ?

(3) 若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (4) 若 CR A ? B ,求 a 的取值范围。 答案: (1) a ? ?? 3,0? ? ?0,3? 。 (2) a ? ?? ? 4? ? ?4,? ?? 。 19、已知 f (x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f (t 2 ) ? t 4 ? t 2 (t ? R) , (1) 求函数 f (x); (3) 若 f (x) = a 有两个不同的实数解,求实数 a 的取值范围。
2 ? ? x ? x, x ? ?0,? ? ? 答案: (1) f ? x ? ? ? 2 ? ? x ? x, x ? ?? ? ?

(2) a ? ?0,? ?? ? ?? ? 。 20.已知数列 ?an ? 中, a1 ?

? 1? ? 4?

3 1 ?a ? 2, a ? N ? ,数列 ?bn ?满足 bn ? 1 ?n ? N ? 。 , an ? 2 ? 5 an ?1 an ? 1

(1)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (2)求数列 ?an ? 中值最大的项与最小的项,并说明理由; (3)求 lim an 的值。
n ?? n

答案: (1) an ? 1 ? 1 ? (2) bn ? n ?

1 1 1 ? ? ? 1 , bn ? bn ?1 ? 1 ,数列 ?bn ?是等差数列。 an ?1 an ? 1 an ?1 ? 1

7 1 ? an ? ? 1 , n ? 4 时, an 的最大值为 3, n ? 3 时, an 的最小值为-3。 7 2 n? 2

(3) lim an ? e 。
n n ??

21、一大型化肥生产企业通过详细的市场调查后预测,某地区明年 1 月份对有机化肥的需求量约为 1.06 亿 千克,二月份对有机化肥的需求量约为 1.04 亿千克,以后各月将以每月 0.04 亿千克的速度递增。 (4) 若该地区明年前 n 个月对有机化肥的需求总量为 f(n),试写出 f(n)的表达式; (5) 如果该企业明年上半年计划每月投放该地区 1.1 亿千克有机化肥(销售未完的化肥都可以在以后的各 月销售) ,是否会发生供不应求的现象? (6) 如果该企业明年全年计划每月投放该地区 p 亿千克有机化肥 (销售未完的化肥都可以在以后的各月销 售) ,要保障不发生供不应求的现象,p 至少为多少亿千克?
2 答案: (1) n ? 1, f ?1? ? 1.06 ; n ? 2 时, f ?n? ? 0.02n ? 0.98n ? 0.06 。

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(2) f ?6? ? 6.66 ? 1.106,会发生供不应求的现象。 (3) pn ? f ?n? , p ? ?

f ?n ? 3? ? f ?n ? ? ? ? 0.02? n ? ? ? 0.98 , ? , n n? ? ? n ?max

f ?1? f ?n ? ? f ?n? ? ? 1.06 , n ? 2 时, 单调递增,所以 n ? 12 , ? ? ? 1.225。 1 n ? n ?max
所以每月至少投放 1.225 亿千克化肥。

22、对函数y ? f ( x )给出如下定义:若对于 定义域D内的任意一个值x 0,都有函数值 f ( x 0 ) ? D,则称函数y ? f ( x )是D上的闭函数,称D是函数y ? f ( x )的闭区域。 (1)当定义域D为区间(0,1),判断下列函数中哪些 是D上的闭函数(写出推理过程) 1 ?x (1)y ? x (2) y ? log 1 ( x ? 1) (3) y ? 2 x ? 1 (4) y ? 2 sin ; 2 2
2

5x (2)写出函数y ? 的一个闭区域; x?2 5x ? a 是D上的闭函数? x?2 若存在,求出a的值,并给出证明,若 不存在,请说明理由。 (3)当定义域D为区间(1,2)时是否存在实数a,使得函数f ( x ) ?
答案: (1) y ?

1 x , y ? 2x ? 1 是闭函数。 2

5x ? , ?y ? (2) ? x ? 2 ? x ? 0, x ? 3 ,闭区域 ?0,3? 。 ? ? y ? x.
(3) a ? 2 。

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