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13.1 数系的扩充与复数的引入



学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短!

第十三章 数系的扩充与复数的引入 13.1 数系的扩充与复数的引入
【知识回顾】
1.复数的概念:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a +bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0,b≠0,则 a+bi 为纯虚数. 2.复数

相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). 3.共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b+d=0(a,b,c,d∈R). 4. 复数的模: 向量 OZ― →的长度叫做复数 z=a+bi 的模, 记作|z|或|a+bi|, 即|z|=|a+bi|= a +b . 复数 z=a+bi― →复平面内的点 Z(a,b)― →平面向量 OZ . 1.复数的加、减、乘、除运算法则设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则: (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1?z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)除法: =
2 2

??? ?

z1 a+bi ?a+bi??c-di? ?ac+bd?+?bc-ad?i = = (c+di≠0). z2 c+di ?c+di??c-di? c2+d2

2.复数加法、乘法的运算律 对任意 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);z1?z2=z2?z1,(z1?z2)?z3 =z1?(z2?z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

【热身训练】
1 已知 a∈R,i 为虚数单位,若(1-2i)(a+i)为纯虚数,则 a 的值等于( A.-6 B.-2C.2 D.6 由此解得 a=-2. )

?a+2=0, ? 析:B 由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i 是纯虚数,得? ?1-2a≠0, ?

2.若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( A.a=1,b=1

) D.a=1,b=-1

B.a=-1,b=1C.a=-1,b=-1

解析:选 D 由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根据两复数相等的充要条件得 a=1,b=-1. 5+3i 3.i 是虚数单位,复数 =( 4-i A.1-i 解析:选 C ) D.-1-i
2

B.-1+iC.1+i

5+3i ?5+3i??4+i? 20+5i+12i+3i 17+17i = = = =1+i. 2 4-i ?4-i??4+i? 16-i 17

4.若复数 z 满足 =2i,则 z 对应的点位于第________象限. 1+i 解析:z=2i(1+i)=-2+2i,因此 z 对应的点为(-2,2),在第二象限内.答案:二

z

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学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短! 3+i 5.若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=________. i 3+i 解析:因为 z= -i=1-3i-i=1-4i,则|z|= 17.答案: 17 i 【小结】 1.复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意 (1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a; (2)|z-z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离. 2.复数中的解题策略 (1)证明复数是实数的策略:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z= z . (2)证明复数是纯虚数的策略:①z=a+bi 为纯虚数?a=0,b≠0(a,b∈R); ②b≠0 时,z- z =2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数?z+ z =0 且 z≠0.

【经典例题】
[例 1] 设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的( i

b

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2-bi (2)如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于( 1+2i 2 2 A.- B. C. 2 D.2 3 3 )

主(1)若复数 a+ =a-bi 为纯虚数,则 a=0,b≠0,ab=0;而 ab=0 时 a=0 或 b=0,a+ 不一定 i i 是纯虚数,故“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的必要不充分条件. i 2-bi ?2-bi??1-2i? ?2-2b?-?4+b?i 2 (2) = = ,2-2b=4+b,得 b=- .[答案](1)B (2)A 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 3 【小结】 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数 问题来处理.由于复数 z=a+bi(a,b∈R)由它的实部与虚部唯一确定,故复数 z 与点 Z(a,b)相对应. 【练一练】 1.已知 =1-yi,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭复数为( 1+i A.1+2i B.1-2iC.2+i D.2-i 解

b

b

b

x

)

? ?x=1+y, 解析:选 D 依题意得 x=(1+i)(1-yi)=(1+y)+(1-y)i;又 x,y∈R,于是有? ?1-y=0, ?

得 x=2,y=1.x+yi=2+i,因此 x+yi 的共轭复数是 2-i. [例 2] 2-i 复数 z 的实部为-1,虚部为 2,则 (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为(

z

)

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A.第一象限

学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短! B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2-i 2-i ?2-i??-1-2i? -4-3i [自主解答] 选 C 依题意得 = = = ,因此该复数在复 z -1+2i ?-1+2i??-1-2i? 5 3? ? 4 平面内对应的点的坐标是?- ,- ?,位于第三象限. 5? ? 5 【小结】 复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的,因此复数 加减法的几何意义可按平面向量加减法理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题. 【练一练】 2.(1)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应 的复数是( A.4+8i ) B.8+2iC.2+4i D.4+i

(2)模拟已知复数 z1=-1+2i, z2=1-i, z3=3-4i, 它们在复平面上对应的点分别为 A, B, C, 若 OC =λ OA +μ OB ,(λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值是________.

??? ?

??? ?

??? ?

解析:(1)复数 6+5i 对应的点为 A(6,5),复数-2+3i 对应的点为 B(-2,3).利用中点坐标公式得 线段 AB 的中点 C(2,4),故点 C 对应的复数为 2+4i. (2)由条件得 OC =(3,-4), OA =(-1,2), OB =(1,-1),根据 OC =λ OA +μ OB 得 (3,-4)=λ (-1,2)+μ (1,-1)=(-λ +μ ,2λ -μ ),
?-λ +μ =3, ? ∴? ? ?2λ -μ =-4, ?λ =-1, ? 解得? ? ?μ =2.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

∴λ +μ =1.答案:(1)C (2)1 )

[例 3] 若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( A.3+5i i +i +i (2)复数 =( 1-i 1 1 A.- - i 2 2
2 3 4

B.3-5iC.-3+5i )

D.-3-5i

1 1 1 1 B.- + iC. - i 2 2 2 2

1 1 D. + i 2 2

11+7i ?11+7i??2+i? 15+25i [自主解答] (1)z= = = =3+5i. 2-i ?2-i??2+i? 5 i +i +i ?-1?+?-i?+1 -i -i?1+i? 1-i 1 1 (2) = = = = = - i.[答案] (1)A (2)C 1-i 1-i 1-i ?1-i??1+i? 2 2 2 【小结】 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数, 注意要把 i 的幂写成最简形式. 1+i 1-i a+bi 2 2.记住以下结论,可提高运算速度:①(1±i) =±2i;② =i;③ =-i;④ =b-ai; 1-i 1+i i ⑤i =1,i
4n 4n+1 2 3 4

=i,i

4n+2

=-1,i

4n+3

=-i(n∈N).

【练一练】
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z
3.(1 设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z=1-i(i 为虚数单位),则 A.-3i (2)i 为虚数单位,? B.-2iC.i

z

+z 的值为( D.-i

2

)

?1+i?4=________. ? ?1-i?
2

1+i -i +i 2 解:(1) +z = +(1-i) = -2i=i-2i=-i.(2) z 1-i 1-i (2)1
2

z

( ) [
1+i 1-i
4



?1+i?2 2

] =i =1.答:(1)D
4

4

过手训练打分
1.若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z + z 的虚部为( A.0 B.-1C.1
2 2 2 2

)

D.-2
2 2 2

解析:选 A ∵z=1+i,∴ z =1-i,∴z + z =(z+ z ) -2z z =4-4=0,∴z + z 的虚部为 0. 10i 2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为( 3+i A.(1,3) B.(3,1)C.(-1,3) ) D.(3,-1)

10i 10i?3-i? 10?1+3i? 解析:选 A 由 = = =1+3i 得,该复数对应的点为(1,3). 3+i ?3+i??3-i? 10 3.若复数(a+i) 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( A.1 B.-1C. 2
2 2 2

)

D.- 2
2

解析:选 B 因为复数(a+i) =(a -1)+2ai,所以其在复平面内对应的点的坐标是(a -1,2a),又因为
? ?a -1=0, 该点在 y 轴负半轴上,所以有? ?2a<0, ?
2

解得 a=-1.

?1+2i??2+i? 4 复数 等于( ) 2 ?1-i? 5 5 5 5 A. B.- C. i D.- i 2 2 2 2 2 ?1+2i??2+i? 2+4i+i+2i 5i 5 解析:选 B = = =- . 2 ?1-i? -2i -2i 2 2+i 1 5.已知 i 为虚数单位,复数 z= ,则|z|+ =( ) 1-2i z A.i B.1-iC.1+i D.-i 2 2+i -2i +i i?1-2i? 1 1 解析:选 B 由已知得 z= = = =i,|z|+ =|i|+ =1-i. 1-2i 1-2i 1-2i z i 6.设复数 z 的共轭复数为 z ,若(2+i)z=3-i,则 z? z 的值为( A.1 B.2C. 2 D.4 )

解析:选 B 设 z=a+bi(a,b∈R),代入(2+i)z=3-i,得(2a-b)+(2b+a)i=3-i,从而可得 a =1,b=-1,那么 z? z =(1-i)(1+i)=2.

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? 1 ?1+i? ? 2 ?, 7. 已知集合 M=?i,i , , i 是虚数单位, Z 为整数集, 则集合 Z∩M 中的元素个数是( i i ? ?
2

)

A.3 个

B.2 个 C.1 个

D.0 个

解析:选 B 由已知得 M={i,-1,-i,2},Z 为整数集,∴Z∩M={-1,2},即集合 Z∩M 中有 2 个元素. 8.定义:若 z =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根据定义,则 复数-3+4i 的平方根是( A.1-2i 或-1+2i 解析:选 B
2 2

) B.1+2i 或-1-2iC.-7-24i
2 2

D.7+24i 解得?
?x=1, ? ?y=2, ?

?x -y =-3, ? 设(x+yi) =-3+4i(x,y∈R),则? ?xy=2, ?

或?

?x=-1, ? ?y=-2. ?

9.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量 OA 和 OB ,其中 O 为坐标原点,则| AB |= ________. 解析:由题意知 A(1,1),B(-1,3),故| AB |= ?-1-1? +?3-1? =2 2.答案:2 2 z2-2z 10.已知复数 z=1-i,则 =________. z-1 z2-2z ?z-1?2-1 1 1 i 解析: = =z-1- =(-i)- =-i- =-2i.答案:-2i z-1 z-1 z-1 -i -i?i
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

11.设复数 z 满足|z|=5 且(3+4i)z 是纯虚数,则 z =________. 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则有 a +b =5. 于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.
? ?3a-4b=0 由题设得? ?4a+3b≠0 ? ? ?a=4, 3 ?3 ?2 2 得 b= a 代入得 a +? a? =25,a=±4,∴? 4 4 ? ? ?b=3 ?
2 2

或?

? ?a=-4, ?b=-3. ?

∴ z =4-3i 或 z =-4+3i.答案:±(4-3i) ?-1+i??2+i? 12. =________. 3 i ?-1+i??2+i? -3+i 解析: = =-1-3i.答案:-1-3i 3 i -i 13.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1?z2 是实数,则

z2=________.
解析:(z1-2)(1+i)=1-i? z1=2-i.设 z2=a+2i,a∈R. 则 z1?z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.∵z1?z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i.答案:4+2i 14.若复数 z=a -1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则
? ?a -1=0, 解析:由题意得? ?a+1≠0, ?
2 2

1

z+a
1

的虚部为________. 1-2i 1 2 = - i,根据虚部的

所以 a=1,所以

1

z+a 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 5





概念,可得

1

z+a

2 2 的虚部为- .答案:- 5 5

挑战一下?
? ?1+x,x∈R, 1.在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ??1-i?x,x?R, ? 第 5 页

则 f(1+i)等于(

)

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学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短! A.2+i B.-2C.0 D.2 解析:选 D ∵1+i?R,∴f(1+i)=(1-i)(1+i)=2. 1 2. 已知 i 为虚数单位, a 为实数, 复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M, 则“a> ”是“点 2

M 在第四象限”的(

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 选 C z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i, 若其对应的点在第四象限, 则 a+2>0, 且 1-2a<0, 1 1 解得 a> .即“a> ”是“点 M 在第四象限”的充要条件. 2 2 3.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|= 3,则 的最大值为________. 解:|z-2|= ?x-2? +y = 3,∴(x-2) +y =3.知? ?max= x
2 2 2 2 2 2

y x

?y? ? ?

3 = 3.答案: 3 1

4.复数 z=(m +5m+6)+(m -2m-15)i,与复数 12+16i 互为共轭复数,则实数 m=________.
? ?m +5m+6=12, 解析:根据共轭复数的定义得? 2 ?m -2m-15=-16. ?
2

解之得 m=1.答案:1

5.已知 z 是复数,z+2i, 一象限,求实数 a 的取值范围.

均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第 2-i

z

2

z x-2i 1 解:设 z=x+yi(x,y∈R),则 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.∵ = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 2 2 2 = (2x+2)+ (x-4)i.由 x=4, ∴z=4-2i.∴(z+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i.由于(z+ai) 在复平 5 5
?12+4a-a >0, ? 面上对应的点在第一象限,∴? ? ?8?a-2?>0, 1 6.设 z 是虚数,ω =z+ ,且-1<ω <2.
2

解得 2<a<6.∴实数 a 的取值范围是(2,6).

z

(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; 1-z (2)设 u= ,求证:u 为纯虚数. 1+z 解:(1)设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0),ω =a+bi+ ∵ω 是实数,∴b-

a ? ? b ? 1 ? =?a+ 2 2?+?b- 2 2?i, a+bi ? a +b ? ? a +b ?

b 2 2 =0.又 b≠0,∴a +b =1.∴|z|=1,ω =2a. a2+b2

1 ? 1 ? ∵-1<ω <2,∴- <a<1,即 z 的实部的取值范围是?- ,1?. 2 ? 2 ? 2 2 1-z 1-a-bi 1-a -b -2bi b 1 (2)u= = = i.∵- <a<1,b≠0,∴u 为纯虚数. 2 2 =- 1+z 1+a+bi ?1+a? +b a+1 2

试一试?
1.已知 A.-1

a+2i
i

=b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=( B.1C.2
第 6 页

)

D.3
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学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短! =2-ai=b+i,由复数相等的条件得 b=2,a=-1,则 a+b=1. 2 i 2.对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) 解析:选 B i = A.|z- z |=2y B.z =x +y C.|z- z |≥2x
2 2 2

a+2i i?a+2i?

D.|z|≤|x|+|y|
2 2 2 2

解析:选 D ∵z- z =2yi,∴|z- z |=2|y|,选项 A、C 错误;而 z =(x+yi) =x -y +2xyi, 选项 B 错误;而|z|= x +y ,|z| =x +y ,(|x|+|y|) =x +y +2|xy|≥x +y ,因此|z|≤|x|+|y|. 3.已知虚数 z,使得 z1= 都为实数,求 z. 2和 z2= 1+z 1+z 解:设 z=x+yi(x,y∈R,且 y≠0),则 x?x2+y2+1?+y?1-x2-y2?i 2 2 z2=x2-y2+2xyi,∴z1= ,∵z1∈R,又 y≠0,∴x +y =1, 2 2 2 2 2 ?x -y +1? +4x y 1 x=- , ? ? 2 同理,由 z ∈R 得 x +2x+y =0,解得? 3 ? ?y=± 2 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

z

z2

1 3 ∴z=- ± i. 2 2

家庭作业

打分

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) -3+i 1.复数 z= 的共轭复数是( 2+i A.2+i ) D.-1-i

B.2-iC.-1+i

-3+i ?-3+i??2-i? 解析:选 D z= = =-1+i,所以 z =-1-i. 2+i ?2+i??2-i? 4 ? π ? 2.已知 x∈?- ,0?,cos x= ,则 tan 2x=( ) 5 ? 2 ? 7 7 24 24 A. B.- C. D.- 24 24 7 7 3 sin x 3 2tan x 2??-4? 24 析:选 Dsin x=- 1-cos x=- ,tan x= =- ,所以 tan 2x= =- . 2 = 7 3 5 cos x 4 1-tan x ? ?2
2

?

3?

1- -

?

4?

3 设复数 z1=1-3i,z2=3-2i,则 在复平面内对应的点在( A.第一象限 解析:选 D 因为 = B.第二象限 C.第三象限

z1 z2

)

D.第四象限

7? z1 1-3i ?1-3i??3+2i? 9-7i z1 ?9 = = ,所以 在点为? ,- ?,在第四象限. 13? z2 3-2i ?3-2i??3+2i? 13 z2 ?13 2 4.已知 a=(1,sin x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π ).若|a?b|=|a||b|,则 tan x 的值等于( A.1 B.-1C. 3 D. 2 2

)

解析:选 A 由|a?b|=|a||b|知,

a∥b,所以 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x,而 x∈(0,π ),所以 sin x=cos x,tan x=1.
3 7 5.(“cos α = ”是“cos 2α =- ”的( 5 25 A.充分而不必要条件 ) D.既不充分也不必要条件
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B.必要而不充分条件 C.充要条件
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学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短! 3 9 7 7 2 3 解析:选 A ∵cos α = ,∴cos 2α =2cos α -1=2? -1=- ,∴由 cos α =5可推出 cos 2α =- . 5 25 25 25 7 3 7 3 由 cos 2α =- 得 cos α =± ,∴由 cos 2α =- 不能推出 cos α = . 25 5 25 5 3 7 综上,“cos α = ”是“cos 2α =- ”的充分而不必要条件. 5 25 x+φ 6.若函数 f(x)=sin (φ ∈[0,2π ])是偶函数,则 φ =( ) 3 π 2π 3π 5π A. B. C. D. 2 3 2 3 φ π 解析:选 C ∵f(x)为偶函数,∴ =kπ + (k∈Z), 3 2 3 3 ∴φ =3kπ + π (k∈Z).又∵φ ∈[0,2π ],∴φ = π . 2 2 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是直角三角形 D.一定是斜三角形

b2+c2-a2 2 2 2 解析:选 C 在△ABC 中,因为 ccos A=b,根据余弦定理,得 c? =b,故 c =a +b ,因此 2bc
△ABC 一定是直角三角形. 8.设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且| AB |=2| AP |,则点 P 的坐标为( A.(3,1) B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1) D.无数多个

??? ?

??? ?

)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解析:选 C 设 P(x,y),则由| AB |=2| AP |,得 AB =2 AP 或 AB =-2 AP . ??? ? ??? ? AB =(2,2), AP =(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)=-2(x-2,
y),x=1,y=-1,P(1,-1).
π 9.将函数 f(x)=sin 2x(x∈R)的图象向右平移 个单位后,所得到的图象对应的函数的一个单调递 4 增区间是( ) π ? ? ? π ? ?π 3π ? ?3π ,π ? A.?- ,0? B.?0, ?C.? , ? D.? ? 2? ?2 4 ? ? 4 ? ? ? 4 ? π ? π? 解析:选 B 将函数 f(x)=sin 2x(x∈R)的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x)=sin2?x- ?= 4? 4 ? π ? ? -cos 2x 的图象,则函数 g(x)的单调递增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z,而满足条件的只有 B. 2? ? 4 5 10.已知 tan β = ,sin(α +β )= ,且 α ,β ∈(0,π ),则 sin α 的值为( ) 3 13 63 13 33 63 33 A. B. C. D. 或 65 65 65 65 65 4 3 5 π 解析:选 A 依题意得 sin β = ,cos β = ;注意到 sin(α +β )= <sin β ,因此有 α +β > 5 5 13 2 π π (否则,若 α +β ≤ ,则有 0<β <α +β ≤ ,0<sin β <sin(α +β ),这与“sin(α +β )<sin β ” 2 2 12 63 矛盾),cos(α +β )=- ,sin α =sin[(α +β )-β ]=sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β = . 13 65 11.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b =a -ac+c ,C-A=90°,则 cos
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2 2 2

学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短!

Acos C=(
A. 1 4

) B. 2 1 C.- 4 4 D.-

2 4 a2+c2-b2 ac 1 2 2 2 解析:选 C 依题意得 a +c -b =ac,cos B= = = .又 0°<B<180°,所以 B=60°,C+A 2ac 2ac 2 1 =120°.又 C-A=90°,所以 C=90°+A,A=15°,cos Acos C=cos Acos(90°+A)=- sin 2A=- 2 1 1 sin 30°=- . 2 4 α ?β 12.对任意两个非零的平面向量 α 和 β ,定义 α ? β = .若两个非零的平面向量 a,b 满足 a β ?β ?n ? ?π π ? 与 b 的夹角 θ ∈? , ?,且 a? b 和 b? a 都在集合? |n∈Z?中,则 a? b=( ) 4 2 2 ? ? ? ? 5 3 1 A. B. C.1 D. 2 2 2 a?b |a||b|cos θ |a|cos θ b?a |b||a|cos θ |b|cos θ 解析: 选 D a ? b= = = , ①b? a= = = .②∵θ 2 2 b?b |b| |b | a?a |a | |a| 2 ?π π ? ? 1? 2 ∈ ? , ? ,∴ 0<cos θ < . ①?②得 (a ? b)(b ? a) = cos θ ∈ ?0, ? . 因为 a ? b 和 b ? a 都在集合 2 ?4 2? ? 2?
?n ? ? |n∈Z?中,设 a? 2 ? ?

n1 n2 n1n2 b= ,b? a= (n1,n2∈Z),即(a? b)?(b? a)=cos2θ = ,所以 0<n1n2<2,所以
2 2 4 2 2

n1 1 n1,n2 的值均为 1,故 a? b= = .
sin A 13. △ABC 的三个内角 A、 B、 C 所对边的长分别为 a、 b、 c, 已知 a=2, b=3, 则 =________. sin?A+C? sin A sin A a 2 2 解析: = = = .答案: sin?A+C? sin B b 3 3 14. (2012?安徽高考)设向量 a=(1,2m), b=(m+1,1), c=(2, m). 若(a+c)⊥b, 则|a|=________. 解析:a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b,∴(a+c)?b=(3,3m)?(m+1,1)=6m+3= 1 0.∴m=- .∴a=(1,-1).∴|a|= 2.答案: 2 2

15.如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和 30°,且座位 A、B 的距离为 10 6米,则旗杆的高度为________米. 解析:由题可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得

AN 10 6 = ,解 sin 45° sin 30°

得 AN=20 3(米),在 Rt△AMN 中,MN=20 3sin 60°=30(米).故旗杆的高度为 30 米.答案:30

? ? π ? 2?π 16.已知函数 f(x)=2sin ? +x?- 3cos 2x-1,x∈R,若函数 h(x)=f(x+α )的图象关于点?- ,0? ?4 ? ? 3 ? 对称,且 α ∈(0,π ),则 α 的值为________. π? ? ? 2 ?π 解 析 : ∵ f(x) = 2sin ? +x? - 3 cos 2x - 1 = 2sin ?2x- ? , ∴ h(x) = f(x + α ) = 3? ?4 ? ? π? ? 2sin?2x+2α - ?. 3? ?
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学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短! 2π π ?k+1?π ? π ? ∵函数 h(x)的图象的对称中心为?- ,0?∴- +2α - =kπ .∴α = , k∈z.又 α ∈ 3 3 2 ? 3 ? π π (0,π ),∴α = .答案: 2 2 π? ? 17.已知函数 f(x)=Asin?ω x- ?(A>0,ω >0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别 3? ? 5 π 11 π ? ,2?,? ? 为? ? ? 12 ,-2?. ? 12 ? ? ? (1)求 A 和 ω 的值; 4 ? π? (2)已知 α ∈?0, ?,且 sin α = ,求 f(α )的值. 2? 5 ? 解:(1)∵函数 f(x)在某一周期内的图象的最高坐标为? ∴A=2,得函数 f(x)的周期 T=2?

?5π ,2?, ? ? 12 ?

?11π -5π ?=π ,∴ω =2π =2. ? 12 ? T ? 12 π? 4 3 ? ? π? 2 (2)由(1)知 f(x)=2sin?2x- ?.∵α ∈?0, ?,且 sin α = ,∴cos α = 1-sin α = , 3? 2? 5 5 ? ?
24 7 2 2 ∴sin 2α =2sin α cos α = ,cos 2α =cos α -sin α =- . 25 25 π? ? π π ? ?24 1 7 3? 24+7 3 ? ∴f(α )=2sin?2α - ?=2?sin 2α cos -cos 2α sin ?=2? ? + ? ?= . 3? ? 3 3 ? ?25 2 25 2 ? 25 ? π? π? ? ? 2 18 已知函数 f(x)=sin?2x+ ?+sin?2x- ?+2cos x-1,x∈R. 3 3? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
π π π π +cos 2x?sin +sin 2x?cos -cos 2x?sin +cos 2x=sin 2x 3 3 3 3 π? 2π ? +cos 2x= 2sin?2x+ ?. 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 4? 2 ? ? π π? ?π π ? ? π? ?π ? (2)因为 f(x)在区间?- , ?上是增函数,在区间? , ?上是减函数,又 f?- ?=-1,f? ?= 2, 4 8 8 4 4 ? ? ? ? ? ? ?8? 解:(1)f(x)=sin 2x?cos

f? ?=1,故函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 2,最小值为-1. 4 4 4

?π ? ? ?

? π ?

π?

?

19.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),且 m?n 的最大值是 5,求 k 的值. 解:(1)因为(2a-c)cos B=bcos C,所以在△ABC 中,由正弦定理,得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 所以 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C,即 2sin Acos B=sin A. 1 π 又在△ABC 中,sin A>0,B∈(0,π ),所以 cos B= .所以 B= . 2 3 2 (2)因为 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),所以 m?n=4ksin A+cos 2A=-2sin A+4ksin A+1, π ? 2π ? 2 2 即 m?n=-2(sin A-k) +2k +1.又 B= ,所以 A∈?0, ?.所以 sin A∈(0,1]. 3 ? 3 ?

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学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短! π 3 ? ? 所以当 sin A=1?A= ?时,m?n 的最大值为 4k-1.又 m?n 的最大值是 5,所以 4k-1=5.所以 k= . 2? 2 ? 20.已知复数 z1=sin 2x+ti,z2=m+(m- 3cos 2x)i(i 为虚数单位,t,m,x∈R),且 z1=z2. (1)若 t=0 且 0<x<π ,求 x 的值; π? 1 ? (2)设 t=f(x),已知当 x=α 时,t= ,试求 cos?4α + ?的值. 3? 2 ?

?sin 2x=m, 解:(1)因为 z1=z2,所以? ?t=m- 3cos 2x,

即 t=sin 2x- 3cos 2x.

若 t=0,则 sin 2x- 3cos 2x=0,得 tan 2x= 3. π 4π π 2π 因为 0<x<π ,所以 0<2x<2π ,所以 2x= 或 2x= ,所以 x= 或 x= . 3 3 6 3 π ? ? (2)因为 t=f(x)=sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x- ?, 3? ? π? 1 1 1 ? ?π ? 因为当 x=α 时,t= ,所以 2sin?2α - ?= ,sin? -2α ?=- , 3? 2 2 4 ? ?3 ? π? π? π? 7 ? ? ? ? 1?2 2? 2?π 所以 cos?4α + ?=cos 2?2α + ?=2cos ?2α + ?-1=2sin ? -2α ?-1=2?- ? -1=- . 3? 6? 6? 8 ? ? ? ?3 ? ? 4? 21.如图,在平面直角坐标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点. 4 12 (1)如果 A,B 两点的纵坐标分别为 , ,求 cos α 和 sin β ; 5 13 (2)在(1)的条件下,求 cos(β -α )的值; (3)已知点 C(-1, 3),求函数 f(α )= OA ? OC 的值域. 4 12 解:(1)根据三角函数的定义,得 sin α = ,sin β = .又 α 是锐角,所以 cos 5 13 3 α = . 5 12 5 (2)由(1)知 sin β = .因为 β 是钝角,所以 cos β =- . 13 13

??? ?

??? ?

? 5 ? 3 12 4 33 所以 cos(β -α )=cos β cos α +sin β sin α =?- ?? + ? = . ? 13? 5 13 5 65
(3)由题意可知, OA =(cos α ,sin α ), OC =(-1, 3). ??? ? ??? ? π? π π π π ? 所以 f(α )= OA ? OC = 3sin α -cos α =2sin?α - ?,因为 0<α < ,所以- <α - < , 6? 2 6 6 3 ? π? 3 1 ? 所以- <sin?α - ?< ,从而-1<f(α )< 3.所以函数 f(α )的值域为(-1, 3). 6? 2 2 ? 22.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知 (1)若 a -c =b -mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 1 2 解:(1)由 2sin A= 3cos A两边平方得 2sin A=3cos A 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A= 或 2 cosA=-2(舍). b2+c2-a2 m m 1 2 2 2 而 a -c =b -mbc 可以变形为 = ,即 cos A= = ,所以 m=1. 2bc 2 2 2
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2 2 2

??? ?

??? ?

2sin A= 3cos A.

学在苦中求,勤中练;不怕学问浅,怕志短! 1 3 b2+c2-a2 1 (2)由(1)知 cos A= ,则 sin A= .又 = , 2 2 2bc 2

bc a 3 3 3 2 2 2 2 2 所以 bc=b +c -a ≥2bc-a , 即 bc≤a .当且仅当 b=c 时等号成立. 故 S△ABC= sin A≤ ? = . 2 2 2 4

2

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