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江西省崇义中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 文



崇义中学 2016 年下学期高二月考一文科数学试卷
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、复数

5i =( 1 ? 2i

) C. ? 2 ? i D. ?1 ? 2i

A. 2 ? i

B. 1 ? 2

i

2.已知 x、y 的取值如下表所示:

3. a ? 0 是复数 z ? a ? bi (a,b ? R) 为纯虚数的( A.充分但不必要条件 C.重要条件

).

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( A.a、b、c 都是奇数 C.a、b、c 都是偶数

B.a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数

5. 在平面直角坐标 系 xOy 中,点 P 的直角坐标为(1,- 3).若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是( ) π 4π A.(1,- ) B.(2, ) 3 3 π 4π C.(2,- ) D.(2,- ) 3 3 6.执行如右图所示的程序框图,输出的 s 值为 ( ) A.—3 B.—

1 2

C.

1 3

D.2

7.若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,且与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 a 2 b2
) .

有相同的焦点,则该椭圆的方程是(

x2 y 2 ? ?1 A. 4 2

x2 y 2 ? ?1 B. 2 4

x2 ? y2 ? 1 C. 3

y2 ?1 D. x ? 3
2

8.在极坐标系中,圆 ρ =-2sin θ 的圆心的极坐标是

( D.(1,π )

)

? π? A.?1, ? 2? ?

π? ? B.?1,- ? 2? ?

C.(1,0)

-1-

9 . 如 图 , 5 ( ).

个 (x , y) 数 据 , 去 掉 D(3,1

0) 后 , 下 列 说 法 错 误 的 是

A.相关系数 r 变大 B.残差平方和变大 C.相关指数 R 变大 D.解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强 10. 已知双曲线 x ?
2
2

y2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 M 在双曲线上, 2
) D.

且 MF 1 ? MF2 ? 0 ,则点 M 到 x 轴的距离为( A.

4 3

B.

5 3

C. 3

2 3 3

11. 某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 2 ? 2 列联表。根 据列联表的数据判断有多少的把握认为 “成绩与班级有关系”。 ( ) 优秀 甲班 乙班 合计 10 20 30 非优秀 50 30 80 合计 60 50 110
p( K 2 ? k 0 )
k0

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10. 828

K2 ?
参考公式与临界值表: A. 90% B. 95%

n(ad ? bc ) 2 (a ? b)( c ? d )( a ? c )( b ? d ) 。
C. 99% D. 99.9%

12.定义一种运算“ ? ” :对于自然数 n 满足以下运算性质: (1)1 ? 1 ? 1 , (2) (n ? 1) ?1 ? n ?1 ? 1 , 则 n ?1 等于( ) A. n B. n ? 1 C. n ? 1 D. n
2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、当 x 取 时,复数 z ? ( x ? 1) ? ( x ? 2)i( x ? R) 对应的复平面内的点在第四象限。

14. 设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r=

2S ,类 a?b?c

比这个结论可知: 四面体 S—ABC 的四个面的面积分别为 S1, S2, S3, S4, 内切球半径为 R, 四面体 S—ABC 的体积为 V,则 R 等于 2 15 、设抛物线 y =16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12,则点 P 与焦点 F 的距离|PF|= . 16. 已知 f ( x) ? a ln x ?

1 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x (a ? 0) ,若对任意两个不等的正实数 x1、x2 都有 ?2 2 x1 ? x2
.

恒成立,则 a 的取值范围是

-2-

三、解答题: (本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)⑴ 解不等式: x -5x+6≤0 2x -5x-1 ⑵解不等式: 2 >1. x -3x+2
2

2

18. (12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C1,直线 C2 π 的极坐标方程分别为 ρ =4sinθ ,ρ cos(θ - )=2 2. 4 求 C1 与 C2 交点的极坐标; ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? )

19.(12 分)某地今年上半年患某种传染病的人数 y(单位:人)与月份 x(单位:月)之间满足 函数关系,模型为 y ? aebx ,请转化成线性方程。 (小数点后面保留 2 位有效数字) 月份 x/月 人数 y/人 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83

-- ?xiyi-n x y ^ 附:b=
i=1

n

-2 i-n x ?x2
i=1

n

^ - ^- ,a= y -b x .令 u ? ln y ,

? ui ? 25.3595 , ? ui2 ? 107.334 , ? xiui ? 90.3413 , u ? 4.2265
i ?1 i ?1 i ?1

6

6

6

20.(12 分) ⑴求证:

+

<2



1 1 1 ⑵设 a,b,c∈(0,+∞),求证:三个数中 a+ ,c+ ,b+ 至少有 一个不小于 2。

b

a

c

-3-

21.(12 分).已知椭圆 G:

x2 y2 6 ? 2 =1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0).斜率为 1 2 a b 3

的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰 三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

( x ? 1) 2 22..(12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ( e 为自然对数的底数). 2
(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)证明:当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ; (3)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有 f ( x) ? k ( x ? 1) .

-4-

崇义中学 2016 年下学期高二月考一文科数学参考答案 一、选择题: 二、填空题: 三、解答题 17.⑴【解析】由 x -5x+6≤0,得 ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,
2

1~6 C B B B C D 13. (?1, 2) ; 14.

7~12A B B D C A

3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

15. 13

16. ?1, ?? ?

从而得不等式 x -5x+6≤0 的解集为
2

2

? x 2 ? x ? 3? .

5分

⑵原不 等式等价变形为 即

x -2x-3 >0,??2 分 x2-3x+2

( x ? 1)( x ? 3) ?0 ( x ? 1)( x ? 2)
由图可得所求不等式解集为{x| x<-1 或 1<x<2 或 x>3}. 10 分

18.解:圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. ?4 分 2 2 ?x +?y-2? =4, ? 解? ?x+y-4=0 ? 得?
?x1=0, ? ?y1=4, ? ?x2=2, ? ? ?y2=2. ?

2

2

????8 分

所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ? ?4,

? ?

3? 2

5? ? ? ? ? , ? ?2 2, ? 4 ? ? ?

????12 分

19 解:设 u ? ln y , c ? ln a , u ? c ? bx 由此可得

? ui ? 25.3595 , ? ui2 ? 107.334 ,
i ?1 i ?1

6

6

?xu
i ?1 6

6

i i

? 90.3413 , u ? 4.2265
6

?x
i ?1

i

? 21 , ? xi2 ? 91 , x ? 3.5
i ?1

4分

所以 b ?

? x u ? 6 xu
i ?1 6 i i 2 i

6

?x
i ?1

? 6x

2

? 0.09 , c ? u ? bx ? 3.91

8分

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 ? u ? 0.09 x ? 3.91 。

20.⑴证明:因为 3 ? 7 和 2 5 都是正数,
-5-

所以为了证明 3 ? 7 ? 2 5 , 只要证
( 3 ? 7)2 ? (2 5)2 ,

只需证: 10 ? 2 21 ? 20 , 2 21 ? 10 ,即证: 21 ? 5 ,即证: 即证: 因为 21<25 显然成立,所以原不等式成立. ⑵证明:假设三个数都小于 2

21 ? 25 , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分

? 1? ? 1? ? 1? 即 ?a+ ?+?c+ ?+?b+ ?<6 b a c ? ? ? ? ? ?
1 ∵a,b,c∈(0,+∞),∴a+ ? 2

a

b+ ? 2 c+ ? 2 b c

1

1

? 1? ? 1? ? 1? ∴?a+ ?+?c+ ?+?b+ ? ? 6 ?
b? ? a? ? c?
说明假设是错误的,原命题成立。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 21. 解:(1)由已知得, c =2 2 ,

c 6 .解得 a =2 3 . = a 3

又 b =a -c =4,所以椭圆 G 的方程为 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m.

2

2

2

x2 y2 ? =1 . 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 12 4

? y =x ? m, ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 4x +6mx+3m -12=0.① ? ? =1 ?12 4
设 A,B 的坐标分别为(x1,y 1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), 则 x0 =

x1 ? x2 3m m =? ,y0=x0+m= . 4 2 4

因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB.

m 4 = ? 1 .解得 m=2. 所以 PE 的斜率 k = 3m ?3 ? 4 2?
此时方程①为 4 x +12x=0.解 得 x1=-3,x2=0. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。8 分 所以 y1=-1,y2=2.所以|AB|= 3 2 . 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离为 d =
2

| ?3 ? 2 ? 2 | 3 2 , = 2 2

所以△PAB 的面积 S=

1 9 |AB|·d= . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 2 2

-6-

22. 解:(Ⅰ)得 f ? ? x ? ?

1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , x ? (0, ??) . x x

x?0 ? 1? 5 ,解得 0 ? x ? f ?? x? ? 0 得 ? 2 2 ?? x ? x ? 1 ? 0
故 f ( x) 的单调递增区间是 (0,

1? 5 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 )。 2

(Ⅱ)令 F ? x ? ? f ( x) ? ( x ? 1), x ? (0, ??) , 则有 F ? ? x ? ?

1 ? x2 x

当 x ? (1, ??) 时, F ? ? x ? ? 0 所以 F ? x ? 在 [1, ??) 上单调递减, 故当 x ? (1, ??) 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? (1, ??) 时, f ? x ? ? x ? 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意。 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ( x) ? x ? 1 ? k ( x ? 1), 则 f ( x) ? k ( x ? 1), 从而不存在 x0 ? 1 满足题意。 当 k ? 1 时,令 G ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1), x ? (0, ??) ,

G? ? x ? ?

1 ? x 2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? x ?1? k ? x x

由 G ? ? x ? ? 0 得, ? x 2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? 0 。 解得 x1 ?

1 ? k ? (1 ? k ) 2 ? 4 1 ? k ? (1 ? k ) 2 ? 4 ? 0, x1 ? ?1 2 2

当 x ? (1, x2 ) 时, G ? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 [1, x2 ) 内单调递增。 从而当 x ? (1, x2 ) , G ? x ? ? G (1) ? 0, 即 f ( x) ? k ( x ? 1), 综上吗,k 的取值范围是 (??,1) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

-7-



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