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1.3.1.2函数的最大(最小)值



第2课时 函数的最大(小)值

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第一章集合与函数概念

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学习目标 1.理解

函数的最大值和最小值的概念 及其几何意义. 2.能借助函数的图象和单调性,求一些 简单函数的最值. 3.能利用函数的最值解决有关的实际 应用问题.

思维脉络

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最大值和最小值 最大值 最小值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在 x0∈I,使得 f(x 0)=M 我们称 M 是函数 我们称 M 是函数 y=f(x)的 y=f(x)的最大值 最小值 f(x)图象上最高点的纵 f(x)图象上最低点的纵坐 坐标 标

条件

结论 几何 意义

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做一做 已知函数 f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的 最小值、最大值分别是( )

A.f(-2),0 B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2 解析:由题图可知,该函数的最小值为 f(-2),最大值为 f(1)=2. 答案:C
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第一章集合与函数概念
探究一 探究二 探究三 思想方法

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探究 一利用函数的图象求函数的最值 【例 1】 已知函数 y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情 况,并写出值域 . 分析: 去绝对值 →分段函数 →作图 → 识图 →结论 .

3-, ≥ 1, + 1, < 1, 函数图象如图所示 . 由图象知 ,函数 y=-|x-1|+2 的最大值为 2,没有最小值 . 所以其值域为 (-∞,2]. 解:y=-|x-1|+2=

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1

变式训练 1 已知函数 f(x)=



,0 < < 1,

,1 ≤ ≤ 2.

(1)画出 f(x)的图象; (2)利用图象写出该函数的最大值和最小值. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示 .

(2)由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)=1,无最大值 .

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探究二利用函数的单调性求最值 4 【例2】已知函数f(x)=x+ ,x∈[1,3]. (1)判断f(x)在区间[1,2]和(2,3]上的单调性; (2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值. 分析:(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结 论; (2)借助最值与单调性的关系,写出最值.

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解:(1)设 x1,x2 是区间[1,3]上的任意两个实数 ,且 x1<x2, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+ ? =(x1-x2) 1=
1 2 4 1 2 1 2 ( 1 - 2 )( 1 2 -4)

.

∵x1<x2, ∴x1-x2<0.
当 1≤x1<x2≤ 2 时 ,x1x 2>0,1<x1x 2<4, 即 x1x2-4<0.

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∴f(x1)>f(x2),即 f(x)在区间 [1,2]上是减函数 .
当 2<x1<x2≤ 3 时 ,x1x 2>0,4<x1x 2<9,即 x1x 2-4> 0. ∴f(x1)<f(x2),即 f(x)在区间 (2,3]上是增函数 . 故 f(x)在区间 [1,2]上是减函数 ,在区间 (2,3]上是增函数 . 4 (2)由 (1)知 f(x)的最小值为 f(2),f(2)=2+ =4.

∵f(1)=5,f(3)=3+ 3 = ∴f(x)的最大值为 5.

4

13 3

2

<f(1),

故 f(x)的最小值为 4,最大值为 5.

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变式训练 2 已知函数 f(x)=值. 则 f(x1)-f(x2)=2 1 +1 2 +1 2( +1- 1 -1) 2( 2 - 1 ) =- 2 =. ( 1 +1)( 2 +1) ( 1 +1)( 2 +1)

2

+1

(x∈[0,2]),求其最大值和最小

解:设 x1,x2 是区间 [0,2]上的任意两个实数 ,且 x1<x2, ? 2

由 0≤x1<x2≤ 2,得 x2-x 1>0,(x 1+1)(x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在区间 [0,2]上是增函数 . 2 因此 ,函数 f(x)=- 在区间 [0,2]的左端点处取得最小值 ,右端点
+1

处取得最大值 ,即最小值是 f(0)=-2,最大值是 f(2)=- .
3

2

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探究三与最值有关的应用问题 【例3】某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000 元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将 会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆 每月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大 月收益是多少? 分析:读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题

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解:(1)当每辆车的月租金为 3 600 元时 ,未租出的车辆数为
3 600-3 000 50

=12,所以此时租出了 88 辆 . (x-150) 2 50 -3 000 50

(2)设每辆车的月租金为 x 元 ,租赁公司的月收益为 y= 100 -3 000 50

×50,
1 50

整理得 y=- +162x-21 000=- (x-4 050)2+307 050. 所以当 x=4 050,即每辆车的租金为 4 050 元时 ,租赁公司的月收 益最大 ,最大月收益是 307 050 元 .

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变式训练3 如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方 向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点,水平方 向为x轴,竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度 h(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系式为h=-x2+2x+ 5 5 .求水流喷出的高度h的最大值. ∈ 0, 4 2

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解:由函数 h=-x +2x+

2

5 4

∈ 0,

5 2

的图象 (图略 )可知 ,函数图象

的顶点就是水流喷出的最高点 . 此时函数取得最大值 . 对于函数 h=-x2+2x+ hmax=-1 +2×1+ = (m).
2

5 4

∈ 0,
9 4

5 2

,当 x=1 时,函数有最大值

5 4

9 4

于是水流喷出的最高高度是 m.

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利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值 典例求函数 y=x2- 2ax-1 在区间 [0,2]上的最值. 【审题视角】 可变对称轴 x=a → 与定区间 [0,2]的 相对位置关系 →结合单调性与图象求解 解:y=(x-a)2-1-a2. 当 a<0 时 ,[0,2]是函数的递增区间 ,如图 ①. 故函数在 x=0 处取得最小值 -1, 在 x=2 处取得最大值 3-4a. 当 0≤a≤1 时 ,结合函数图象 (如图 ②)知 , 函数在 x=a 处取得最小值 -a2-1, 在 x=2 处取得最大值 3-4a.

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当1<a≤2时,结合图象(如图③)知, 函数在x=a处取得最小值-a2-1, 在x=0处取得最大值-1. 当a>2时,[0,2]是函数的递减区间,如图④. 函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a. 综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a; 当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a; 当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1; 当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.

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变式训练 函数 f(x)=x2-2x+2(其中 x∈[t ,t+1],t∈R)的最小值为 g(t),求 g(t)的表达式. 解:由函数 f(x)=x2-2x+2 知其图象的开口向上 ,对称轴为 x=1,下 面分三种情况讨论 : 当 t+1≤1,即 t≤0 时 ,如图 ①所示 ,此时函数 f(x)在 [t,t+1]上为减 函数 , ∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.

图①
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< 1, 即 0<t<1 时 ,如图 ②所示 ,此时 ,函数 f(x)在 [t,1]上为 + 1 > 1, 减函数 ,在 (1,t+1]上为增函数 , ∴g(t)=f(1)=1. 当

图② 当 t≥1 时 ,如图 ③所示 ,此时 ,函数 f(x)在 [t,t+1]上为增函数 ,∴ g(t)=f(t)=t2-2t+2.

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图③ 2 + 1( ≤ 0), 综上可知 ,g(t)= 1(0 < < 1), 2 -2 + 2( ≥ 1).

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1

2

3

1.函数 y= 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( A.1,
1

2

)

C. ,

2 1 1 2 4 2 2 2 4 1 2

B.2,1 D.2,
2 1 2

解析:因为函数 y= 在区间 [2,4]上是减函数 ,所以其最大值、 最小值分 别是 =1, = .故选 A. 答案:A

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1

2

3

2.函数 y=|x+1|+2 的最小值是( ) A.0 B.-1 C.2 D.3 解析:y=|x+1|+2 的图象如图所示 .

由图可知函数的最小值为 2. 答案:C

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1

2

3

3.函数 f(x)=4x-1 在区间
1 2 1 2 1 2

1 2

,1 上的值域是
1 2

. ≤f(x)≤f(1).

解析:f(x)=4x-1 在区间 ,1 上是增函数 ,则 f 又f =4× -1=1,f(1)=4×1-1= 3, 所以 1≤f(x)≤3. 答案:[1,3]

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1

2

3

4.若函数 f(x)=

2 + 6,∈[1,2],

7-,∈[-4,1], 解析:当 x∈[1,2]时 ,f(x)为增函数 ,其最大值为 f(2)=10;当 x∈[-4,1] 时 ,f(x)为减函数 ,其最大值为 f(-4)=11.故函数 f(x)的最大值为 11. 答案:11

则 f(x)的最大值为

.

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1

2

3

5.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段 ,各自围成一个正方形,求这两个 正方形面积之和的最小值. 解:设一个正方形的边长为 x cm,则另一个正方形的边长为
12-4 4

=(3-x)cm,两个正方形的面积之和为 S cm2,则
2

S=x +(3-x) =2 2

3 2 2

+ (0<x<3).
2 9 2 9 2

9

所以当 x= 时 ,S 取得最小值 .
2

3

故这两个正方形面积之和的最小值为 cm2.

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