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高一数学必修一课件3.4.2对数的运算性质



4.1对数及其运算 (Ⅱ)

广昌二中

徐建龙

温故知新
我们知道,在三元关系式ab=N中,

已知a、b, 求N是 乘方运算
已知b、N, 求a是 开方运算

已知a、N, 求b是 对数运算

↓ ↓↓

b ?

log a N

对数 底数 真数

↓↓ ↓ 指数
底数 幂

a ?N
b

?a ? 0, a ? 1,N ? 0?

对数的基本性质:
⑴负数与零没有对数(即N>0).
⑵ log a 1 ? 0,

log a a ? 1

? a ? 0, 且a ? 1?
(3)对数恒等式

a

log a N

?N

(a ? 0, 且a ? 1, N ? 0)

新课导入
思考: (1)你知道

2

1000

大概是一个几位数吗?

(2) lg2+lg5=?

想一想

请同学们回顾一下指数运算性质 :

a ?a ? a
m n m n n n

m? n

(m, n ? R )

(a ) ? a (m, n ? R )
mn

(ab) ? a ? b (n ? R )
n

(a ? 0, b ? 0)
那么,对数运算是否有类似的结论?

对数的运算性质

知识探究

思考:

lg100000,

lg100,

lg1000.

这三个数之间呢?

(1)求下列三个对数的值:
log232, log24 , log28.
你能发现这三个对数之间有哪些内在联系?
结论:①log232=log24十log28

②log232-log24=log28

(2)将log232=log24十log28推广到一般情形有什么结论?
猜想性质:loga(M·N)=logaM十logaN

(3)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,你能证明 等式loga(M·N)=logaM十logaN成立吗?
证明: 设 log a M ? p, log a N ? q,
由对数的定义可以得:

M ?a ,N ?a
p

q

∴MN=

a ? a ? a p?q
p q

? log a MN ? p ? q

即证得 log a MN ? log a M ? log a N

知识探究
(4)将log232-log24=log28推广到一般情形又 有什么结论?
M log 猜想性质: a N ? log a M ? log a N
5

(5) 3 3 与5 log3 3有什么关系? log
结论:log3 3 ? 5 log3 3
5

你能证明这 两个性质吗?

(6)将log3 3 =5log33推广到一般情形有 什么结论?
猜想性质:logaMn=nlogaM

5

证明:②设 log a M ? p, log a N ? q,
由对数的定义可以得:M

?a ,N ?a
p

q



M ? N

a M p ?q ? log a ? p?q q ?a a N
N

p

即证得 log a M ? log a M ? log a N

证明:③设 log a M ? p, M ? ap, 由对数的定义可以得: ∴ M n ? a np ? log a M n ? np
即证得
log a M n ? nlog a M(n ? R)

知识要点
对数运算性质如下:

计 log 2 (4 ? 32 ), log 算: 6 2 ? log 6 3
10 lg 100 ,

计 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么: 算: lg 20 ? lg 2 (1) loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N ; 3 M 计 log 2 4 , ? log a M ? log a N ; (2) log 算: 2 lg 5 ? lg 4 a N

(3) log a M ? n log a M(n ? R ).
n

文字语言表达: 积的对数 = 对数的和
商的对数=对数的差 一个数 次方的对数=这个数对数的 倍

乘除变加减

指数提到前

如 ;

注 意
① 有时可逆向运用公式
如: 10 5 ? log10 2 ? log10 10 ? 1 log

②注意限制条件:必须是同底的对数,真数 必须是正数; ③当心记忆错误,要特别注意:
log a (MN ) ? log a M ? log a N ,
log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N
④性质(1)可以进行推广: 即 loga(M1M2M3…Mn)=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn (其中a>0,且a≠1,M1、M2、M3…Mn>0).

解决思考问题:
① 2
1000

是几位数?
1000lg 2

1000 解:设 21000 =A,则 lg A ? lg 2 ? 1000 lg 2

? A ? 10

用计算器可得 lg2≈0.3010, 则 1000lg2 ≈301

所以可知, 21000 是一个302位的数。

② lg2+lg5=lg(2ⅹ5)=lg10=1

例1 计算:
(2) lg 解 (1) log3 (35 ? 92 ) ? log3 35 ? log3 92 (1)

log3 (3 ? 9 );
5 2

5

100 .

? 5 log3 3 ? log3 34
=4+5=9 (2) lg 100
5

? lg 100
1 2 ? lg10 5

1 5

2 2 ? lg10 ? 5 5

例2 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:
(2)

(1)

xy log ; a z

log
a

x

2

y
3

z

.

xy log 解(1) a z ? log a ( xy) ? log a z ? log a x ? log a y ? log a z

(2) log a

x

2

y

Z3

? log a ( x 2 y ) ? log a z 3

1 2

? loga x2 ? loga y ? loga z 3
1 ? 2 log a x ? log a y ? 3 log a z 2

1 2

例3 科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I 为地震时所发出来的相对能量程度,则里氏震级r 可定义为r=0.6lgI,试比较6.9级和7.8级地震的相对 能量程度.
解 设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为 I1 和 由题意得 ?6.9 ? 0.6 lg I ,
? ?7.8 ? 0.6 lg I 2 .
1

I2 ,

因此 0.6(lg I 2 ? lg I1 ) ? 0.9, 即 lg 所以
I2 I1

I2 I1

? 1.5,

? 10

1. 5

? 32 .

因此,7.8级地震的相对能量程度约为6.9级 地震的相对能量程度的32倍

随堂练习
课本第83页练习2 .第1,2,3题

课堂小结
1°通过这堂课你学到了什么?
2°给你留下印象最深的是什么? 3°你还有一些什么想法?

?

课后作业:
1.课本第87页,习题3-4 A组,5、6、7. B组,2,3.

2.课后思考问题:
如何用科学计算器计算 log2 15 ?
你还可以得到对数运算的其它法则吗?

谢 谢!



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