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2013高考数学一轮复习 5-5数列的综合应用课件 文



第5讲 数列的综合应用

【2013年高考会这样考】 1.以递推关系为背景,考查等差数列、等比数列的通项公式 和前n项和公式. 2.考查数列与函数、不等式等交汇的问题.

【复习指导】 1.本节复习时,需要有扎实的基本功,通过一定量的题型训 练,掌握解题的通性、通法,但不要一味地做难度较大的题 目. 2.认真研究数列与其他知识点的交汇题,以增加解题经验, 选准突破口. 3.对数列应用题,要培养从中筛选信息的能力以及建立数列 模型的能力.

基础梳理 1.等比数列与等差数列比较表
不同点 等差 数列 相同点 (1)都强调从第二项起每一项 与前项的关系; (2)结果都必须是同一个常数 ; (3)数列都可由a1,d 或a1,q确定

(1)强调从第二项起每一项与前项的
差;(2)a1和d可以为零; (3)等差中项唯一

(1)强调从第二项起每一项与前项的
等比 数列 比; (2)a1与q均不为零;

(3)等比中项有两个值

2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转 化成数学问题,弄清该数列的特征、要求是什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.

3.数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型 是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an+1的递推关系, 还是Sn与Sn+1之间的递推关系.

一条主线 数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识 相互联系,优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题 目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解. 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解,有些数 列题目条件已指明是等差(或等比)数列,但有的数列并没有指 明,可以通过分析,转化为等差数列或等比数列,然后应用等 差、等比数列的相关知识解决问题.

(2)数列是一种特殊的函数,故数列有着许多函数的性质.等 差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列,它们是研究 数列性质的基础,它们与函数、方程、不等式、三角等内容有 着广泛的联系,等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛 的应用,随着高考对能力要求的进一步增加,这一部分内容也 将受到越来越多的关注. 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性 质(多为单调性). (2)数列与不等式结合时需注意放缩. (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 的值为( A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 解析 由题意知:a2=a1a4.则(a2+2)2=(a2-2)(a2+4),解得: 3 ).

a2=-6. 答案 B

2.(2011· 运城模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且 4a1,2a2,a3成等差数列,则S4=( A.7 C.15 解析 B.8 D.16 设数列{an}的公比为q,则4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+ ).

a1q2,即q2-4q+4=0, 1-24 ∴q=2.∴S4= =15. 1-2 答案 C

3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}是等差 数列,且a6=b7,则有( A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9与b4+b10的大小关系不确定 ).

解析 记等比数列{an}的公比为q(q>0),由数列{bn}为等差数 列可知b4+b10=2b7,又数列{an}是各项均为正数的等比数列,
?1+q6? ∴a3+a9=a3(1+q6)=a6 ? 3 ? ? q ? ? ? ?1+q6? =b7 ? 3 ? ? q ? ? ?

1+q6 1 ,又 = 3+ q3 q

q3≥2(当且仅当q=1时,等号成立),∴a3+a9≥2b7,即a3+ a9≥b4+b10. 答案 B

4.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数 列,且a+3b+c=10,则a=( A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析 由c,a,b成等比数列可将公比记为q,三个实数a,b, ).

c,待定为cq,cq2,c.由实数a、b、c成等差数列得2b=a+c, 即2cq2=cq+c,又等比数列中c≠0,所以2q2-q-1=0,解一 1 元二次方程得q=1(舍去,否则三个实数相等)或q=- 2 ,又a a 5 +3b+c=a+3aq+q=-2a=10,所以a=-4. 答案 D

5.(2012· 苏州质检)已知等差数列的公差d<0,前n项和记为 Sn,满足S20>0,S21<0,则当n=________时,Sn达到最大 值. 解析 ∵S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0,

S21=21a11<0,∴a10>0,a11<0, ∴n=10时,Sn最大. 答案 10

考向一

等差数列与等比数列的综合应用

【例1】?在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项an; (2)令bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列. [审题视点] 第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an;第(2)问利 用定义证明.

(1)解

由an=a1+(n-1)d,a10=30,

?a +9d=30, ? 1 a20=50,得方程组? ?a1+19d=50, ? ?a =12, ? 1 解得? ?d=2. ?

∴an=12+(n-1)· 2=2n+10.

(2)证明

由(1),得bn=2an-10=22n+10-10=22n=4n,

bn+1 4n+1 ∴ b = 4n =4. n ∴{bn}是首项是4,公比q=4的等比数列.

对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等 比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列项之间的关 系.往往用到转化与化归的思想方法.

【训练1】 数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+ 1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15, 又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.

解 (1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an(n≥2). 又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1. 故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,∴an=3n-1. (2)设{bn}的公差为d, 由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5, 故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2, 解得d1=2,d2=-10. ∵等差数列{bn}的各项为正,∴d>0, n?n-1? ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ 2 ×2=n2+2n.

考向二 数列与函数的综合应用 【例2】?(2012· 南昌模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对 任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求r的值; n+1 (2)当b=2时,记bn= 4a (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn. n [审题视点] 第(1)问将点(n,Sn)代入函数解析式,利用an=Sn- Sn-1(n≥2),得到an,再利用a1=S1可求r. 第(2)问错位相减求和.

解 (1)由题意,Sn=bn+r,当n≥2时,Sn-1=bn-1+r,所以an =Sn-Sn-1=bn-1· (b-1), 由于b>0且b≠1,所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数 b?b-1? a2 列,又a1=b+r,a2=b(b-1),a =b,即 =b, b+r 1 解得r=-1.

(2)由(1)知,n∈N ,an=(b-1)b n+1 n+1 . 2 n+1 2 3 4 Tn= 2+ 3+ 4+?+ n+1 , 2 2 2 2 n+1 1 2 3 n T = + +?+ n+1+ n+2 , 2 n 23 24 2 2

*

n-1

=2

n-1

n+1 ,所以bn= = 4×2n-1

n+1 1 2 1 1 1 两式相减得 Tn= 2+ 3+ 4+?+ n+1- n+2 2 2 2 2 2 2 n+1 3 1 = - n+1- n+2 , 4 2 2 3 1 n+1 3 n+3 ∴Tn= - n- n+1 = - n+1 . 2 2 2 2 2

此类问题常常以函数的解析式为载体,转化为数列问题,常 用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等.

【训练2】 已知f(x)=logax(a>0且a≠1),设f(a1),f(a2),?, f(an)(n∈N+)是首项为4,公差为2的等差数列. (1)设a为常数,求证:{an}是等比数列; (2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a= 2时,求Sn.

(1)证明

f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,

∵logaan=2n+2,∴an=a2n+2. a2n 2 a2n 2 2 an ∴ = - + = 2n =a (n≥2)为定值. an-1 a2?n 1? 2 a ∴{an}是以a4为首项,a2为公比的等比数列.
+ +

(2)解

bn=anf(an)=a2n 2logaa2n 2=(2n+2)a2n 2.
+ +







当a= 2时,bn=(2n+2)( 2)2n 2=(n+1)2n 2. Sn=2·3+3·4+4·5+?+(n+1)·n+2,① 2 2 2 2 2Sn=2·4+3·5+4·6+?+n·n 2+(n+1)·n 3,② 2 2 2 2 2 ①-②得 -Sn=2·3+24+25+?+2n+2-(n+1)·n+3 2 2 24?1-2n-1? =16+ -(n+1)·n+3 2 1-2 =16+2n+3-24-n·n+3-2n+3=-n·n+3. 2 2 ∴Sn=n·n+3. 2
+ +

考向三 数列与不等式的综合应用 【例3】?(2011· 惠州模拟)在等比数列{an}中,an>0(n∈N*), 公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项 为2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn; S1 S2 Sn (3)是否存在k∈N ,使得 1 + 2 +?+ n <k对任意n∈N*恒成
*

立,若存在,求出k的最小值,若不存在,请说明理由.

[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为 a3+a5 与 a3a5 的关 系求 a3 与 a5;进而求 an;第(2)问先判断数列{bn},再由求和公 Sn S1 S2 Sn 式求 Sn; 第(3)问由 n 确定正负项, 进而求 1 + 2 +?+ n 的最大 值,从而确定 k 的最小值.



(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,

∴a2+2a3a5+a2=25,∴(a3+a5)2=25, 3 5 又 an>0,∴a3+a5=5,又 a3 与 a5 的等比中项为 2, ∴a3a5=4,而 q∈(0,1), 1 ∴a3>a5,∴a3=4,a5=1,∴q= ,a1=16, 2
?1? - ∴an=16×?2?n 1=25-n. ? ?

(2)∵bn=log2an=5-n, ∴bn+1-bn=-1, b1=log2a1=log216=log224=4, ∴{bn}是以 b1=4 为首项,-1 为公差的等差数列, n?9-n? ∴Sn= . 2

n?9-n? Sn 9-n (3)由(2)知 Sn= ,∴ = . 2 n 2 Sn Sn 当 n≤8 时, n >0;当 n=9 时, n =0; Sn 当 n>9 时, <0. n S1 S2 S3 Sn ∴当 n=8 或 9 时, 1 + 2 + 3 +?+ n =18 最大. S1 S2 Sn 故存在 k∈N ,使得 + +?+ <k 对任意 n∈N*恒成立,k 1 2 n
*

的最小值为 19.

解决此类问题要抓住一个中心——函数, 两个密切联系: 一是 数列和函数之间的密切联系,数列的通项公式是数列问题的核 心,函数的解析式是研究函数问题的基础;二是方程、不等式 与函数的联系,利用它们之间的对应关系进行灵活的处理.

【训练 3】 (2012· 岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{an}满足: a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog2an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n·n+1>50 2 成立的正整数 n 的最小值.

(1)解 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q. 依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28, 可得a3=8,∴a2+a4=20,
?a q2=8, ? 1 所以? ?a1q+a1q3=20, ? ?q=2, ? 解之得? ?a1=2 ?

? 1 ?q= , 或? 2 ?a1=32. ?

又∵数列{an}单调递增,所以q=2,a1=2, ∴数列{an}的通项公式为an=2n.

1 n (2)因为bn=2 log 2 =-n·n, 2 2
n

所以Sn=-(1×2+2×22+?+n·n), 2 2Sn=-[1×22+2×23+?+(n-1)·n+n·n+1], 2 2 两式相减,得 Sn=2+22+23+?+2n-n·n+1=2n+1-2-n·n+1. 2 2 要使Sn+n·n+1>50,即2n+1-2>50,即2n+1≥52. 2 易知:当n≤4时,2n 1≤25=32<52;当n≥5时,2n 1≥26=64 >52.故使Sn+n·n+1>50成立的正整数n的最小值为5. 2
+ +

难点突破14——数列与解析几何、三角的交汇问题 从近几年新课标高考试题可以看出,不同省市的高考对该内容 要求的不尽相同,考生复习时注意把握.数列与解析几何交汇 问题主要是解析几何中的点列问题,关键是充分利用解析几何 的有关性质、公式,建立数列的递推关系式,然后借助数列的 知识加以解决.

一、数列与解析几何交汇 【示例】? (2011· 陕西)如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y =ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2 作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列 点:P1,Q1;P2,Q2;?;Pn,Qn.记Pk点的坐标为(xk,0)(k= 1,2,?,n). (1)试求xk与xk-1的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn|.

二、数列与三角交汇 【示例】? (2011· 安徽)在数1和100之间插入n个实数,使得这n +2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn, 再令an=lg Tn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=tan an· an+1,求数列{bn}的前n项和Sn. tan

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