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天津市蓟县第二中学2015届高考模拟预测数学(文)试题



2015 届蓟县二中高三数学(文)6 月冲刺模拟试卷
参考公式: 数据 x1,x2,…,xn 的平均值 x ,方差为:s =
2

( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 n

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是

符合题目要求的) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,2,3},N={3,4,5},则 M∩( ? UN)=( A.{1,2}
2

)

B.{4,5} )

C.{3}

D.{1,2,3,4,5}

2. 复数 z=i (1+i)的虚部为(

A.1 B. i C. -1 D. - i 3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积 为( ) A. 3? B. ?

7 3

C.

20 ? 3

D. ? )

4.在等比数列 {an } 中, a2 ? ?3 , a4 ? ?6 ,则 a8 的值为( A.–24 B.24 C.±24 D.–12

5.在四边形 ABCD 中,“ AB ? 2DC ”是“四边形 ABCD 是梯形”的( A.充要条件 C.必要不充分条件
x



B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

6. 方程 e ? 2 x ? 6 ? 0 的解一定位于区间(

A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(5,6) 7.如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶 点为圆心,半径为

a 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个 2
) B.

点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是(

? 4 ? C. 1 ? 8
A. 1 ?

? 4

D.与 a 的取值有关
?

8. 在三角形 ABC 中, A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7, 则 ( ) A.

sin B 的值为 sin C
D.

8 5

B.

5 8

C.

5 3

3 5
)

9.设 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 1, ?? 2 x ? 6,

x?0 ,若 f (t ) ? 2 ,则实数 t 的取值范围是( x?0

) ? (4,??) A. (??,?1 ? (1,??) C. (??,?4)

? (3,??) B. (??,2) ? (3,??) D. (??,0)

10.设 ? 表示平面, a , b 表示直线,给定下列四个命题: ① a // ? , a ? b ? b ? ? ③ a ? ? , a ? b ? b // ? 其中正确命题的个数有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个 ② a // b, a ? ? ? b ? ? ④ a ? ? , b ? ? ? a // b

11.右图是某次歌唱比赛中,七位评委为某选手打出分数的茎叶 统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和 方差分别为( A. 84 , 4.84 ) B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4

7 6 8 4 4 6 4 7 9 5

12.设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ' ( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题 中的横线上)

? x ? y ? 5 ? 0, ? 13.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ? 3, ?

.

14. 右面是一个算法的程序框图,当输入的值 x 为 20 时,则其输出的结果 是 .
2

15.若一个圆的圆心在抛物线 y ? ?4 x 的焦点处,且此圆与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 相 切,则圆的方程是 . 16. 对任意实数 x、y,定义运算 x*y=ax+by+cxy,其中 a、b、c 为常实数,等号右边的运算是 通常意义的加、乘运算.现已知 2*1=3,2*3=4,且有一个非零实数 m,使得对任意实数 x,都 有 x*m=2x,则 m= .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知 a ? (sin x,cos x) , b ? (cosx, cos x) ,f(x)= a ? b ⑴ 求 f(x)的最小正周期和单调增区间; ⑵ 如果三角形 ABC 中,满足 f(A)=

?

1 ,求角 A 的值. 2

18. (本小题满分 12 分)如图在棱长都相等的正三棱柱(底面是正三角形,侧棱垂直于底面) ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AA1,B1C 的中点. B1 A1 ⑴ 求证:DE∥平面 ABC; ⑵ 求证:B1C⊥平面 BDE.
C1 E D

B C

A

19.(本小题满分 12 分)下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布,共有队员 40 人,成 绩分为 1~5 五个档次,例如表中所示跳高成绩为 4 分,跳远成绩为 2 分的队员为 5 人. 将全部队员的姓名卡混合在一起,任取一张,该卡片队员的跳高成绩为 x 分,跳远成绩为 y 分. ⑴求 m+n 的值; ⑵求 x=4 的概率及 x≥3 且 y=5 的概率. y x 5 跳 高 4 3 2 1 5 1 1 2 1 0 跳 4 3 0 1 m 0 3 1 2 0 6 1 远 2 0 5 4 0 1 1 1 1 3 n 3

20. (本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn.且点 ( n, S n ) 在函数 f ( x) ? 3x ? 2x
2



图象上. ⑴求数列{an} 的通项公式;

⑵设 bn ? 最小值 m .

m 3 * ,Tn 是数列{ bn }的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有的 n ? N 都成立的 60 a n a n ?1

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? b (a, b ? R) ⑴ 若函数 f ( x) 在 x ? 0, x ? 2 处取得极值,且极小值为 ? 2 ,求 a, b 的值. ⑵ 若 x ? [0,1] ,函数 f ( x) 在图象上任意一点的切线的斜率为 k ,求 k≤1 恒成立时 a 的 取值范围.

22. (本小题满分 14 分)设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点, a2 b2

若椭圆 C 上的点 A(1, )到F1 , F2 两点的距离之和等于 4. ⑴ 求出椭圆 C 的方程和焦点坐标; ⑵ 过点 P(0,

3 2

3 )的直线与椭圆交于两点 M、N,若 OM⊥ON,求直线 MN 的方程. 2

高三数学(文)模拟测试答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B A B A A D D B C C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13. 15.

? x2 ? ( y ?

5 2

14. 16.

0 3

1 2 1 ) ? 16 16

三、解答题: 17.本题考查向量、二倍角和辅助角公式、三角函数性质和三角形的有关性质,要求学生能 运用所写的知识解决实际问题.满分 12 分 解:⑴f(x)= sinxcosx+ cos x ???1 分 =
2

1 1 1 sin 2 x + cos 2 x ? ???2 分 2 2 2

=

? 1 2 sin(2x+ )+ ???3 分 4 2 2

最小正周期为π ,???????4 分 单调增区间(k∈Z)????????6 分 ⑵由 f ( A) ?

1 ? 得 sin(2A+ )=0, ????7 分 2 4 ? ? 9? <2A+ < ,?????9 分 4 4 4 ? 3? 7? ∴2A+ =π 或 2π ∴A= 或 ???????? 12 分 8 4 8

18.本题主要考察空间线线、线面、面面的位置关系,考查空间想象和推 理、论证能力,同时也可考察学生灵活利用所学的知识解决问题的能力. 解:(1)取 BC 中点 G,连结 AG,EG, ∵G,E 分别为 CB,CB1 的中点,∴EG∥BB1,且 BB1=2EG, 又∵正三棱柱 ABC-A1B1C1,∴EG∥AD,EG=AD B ∴四边形 ADEG 为平行四边形.∴AG∥DE ∵AG ? 平面 ABC, DE ? 平面 ABC ????6 分 所以 DE∥平面 ABC (2)取 BC 中点 G ∵正三棱柱 ABC-A1B1C1,∴BB1⊥平面 ABC. ∵AG ? 平面 ABC,∴AG⊥BB1, ∵G 为 BC 的中点,AB=AC,∴AG⊥BC ∴AG⊥平面 BB1C1C,∵B1C ? 平面 BB1C1C,∴AG⊥B1C

B1

A1

C1 D E

A G C

∵AG∥DE,∴DE⊥B1C, ∵BC=BB1,B1E=EC,∴B1C⊥BE ∵BE ? 平面 BDE,DE ? 平面 BDE,BE∩DE=E,∴B1C⊥平面 BDE ????12 分 19.本题主要考察学生的对统计图表的认识,古典概率,同时也考察学生信息收集与数据处 理的能力. 解:(1) m+n=40-37=3 答:?6 分 (2).当 x=4 时的概率为 P 1 ?

9 ,?????9 分 40 1 当 x≥3 且 y=5 时的概率为 P2 ? .答:?????12 分 10

20.本题主要考查学生对数列的知识的处理,同时考查学生对式的运算能力和应变能力. 解: (1) 因为点 ( 均在函数 y ? f (x) 的图像上, 所以 S n =3n2-2n. ??? nS ,n ) ( n ? N ) 1分 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( =6n-5. ??4 分 3 n ? 1 ) ? 2 ( n ? 1 )
2
?

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5, 所以,an=6n-5 ( n?N ) ??(6 分) (2)由(Ⅰ)得知 bn ?
n
?

?5 分

3 1 1 1 3 = = ( ,(7 分) ? ) ? ? 26 anan?1 ( 6 n ? 5 ) 6 ( n ? 1 )? 5 n ? 5 6 n ? 1

故 Tn=

?b
i ?1

i



1 ? 11 1 1 1? ( 1 ? ) ? (? ) ? ... ? ( ? ) ? ? 13 6 n ? 5 6 n ? 1 2 ? 77 ?

1 1 (1- ).(10 分) 2 6n ? 1 m m 1 1 1 ? 因此,要使 (1- )< ( n?N )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ , 60 60 2 6n ? 1 2
= 即 m≥30,所以满足要求的最小值 m 为 30. (12 分) 21.本题主要考查函数、导数的基本知识以及不等式的恒成立问题,同时考查学生的逻辑推 理能力和灵活应用知识的能力. 解:(1)由 f ?( x) ? 3x ? 2ax
2

得x ? 0或x ? ?

2a 3

∴?

2a ? 2 得 a=-3. ??????????????3 分 3

当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 2 时 f ?( x) ? 0 故当 x ? 2 时 f ( x) 取得极小值, f (2) ? 8 ? 4a ? b ? ?2 所以 b ? 2 ????6 分 (2)当 x ? [0,1] , k ? f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1恒成立,
2

即令 g ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 ? 0 对一切 x ? [0,1] 恒成立,???9 分 只需 ?

? g (0) ? ?1 ? 0 即 a ? ?1 ? g (1) ? 2 ? 2a ? 0
????????????12 分

所以 a 的取值范围为 (??,?1] .

22.本题考查解析几何的基本思想方法,要求学生能正确分析问题,寻找较好的解题方向, 同时兼顾考查算理和逻辑的能力,数形结合能力. 解:(Ⅰ)椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.; 又点 A(1, 3 )在椭圆上,因此 1
2 3 ( )2 ? 2 2 ? 1得b 2 ? 3, 于是c 2 ? 1. ; 22 b

2 2 所以椭圆 C 的方程为 x ? y ? 1, 焦点F1 (?1,0), F2 (1,0). ,???6 分 4 3

3 ,代入椭圆 C 的方程得 2 12k 3 (3+4k2)x2+12kx-3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=, x1x2=,且△>0 成立. 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
(Ⅱ)直线 MN 不与 x 轴垂直,∴设直线 MN 方程为 y=kx+

3 3 9 3(1 ? k 2 ) 18k 2 又 OM ? ON = x1x2+ y1y2= x1x2+( kx1+ )(kx2+ )= + =0, 2 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 4
∴16k2=5,k=±

5 5 3 ,∴MN 方程为 y=± x+ ?????14 分 2 4 4



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