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三角恒等变换 测试题(一)



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第三章《三角恒等变换》测试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填 在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分).
1.sin 1 A.- 2 2.函数 f(x)=sinxcosx+ A.π ,1 3.
2

π 2π -cos

的值为( 12 12 B. 1 2

) C.- 3 2 ) D.2π ,2 D. 3 2

3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 B.π ,2 ) C.-2 C.2π ,1

3 1 - = ( cos10° sin170° B.2

A.4

D.-4 1-cos50° ,则有( 2 ) D.a<c<b )

1 3 4.设 a= cos6° - sin6°,b=2sin13°cos13°,c= 2 2 A.a>b>c B.a<b <c C.b<c<a

4 π 5.若 sin(α -β )sinβ -cos(α -β )cosβ = ,且 α 是第二象限角,则 tan( +α )等于( 5 4 A.7 B.-7 1 C. 7 1 D.- 7 ) D.p-q+1=0

π 2 6. tanθ 和 tan( -θ )是方程 x +px+q=0 的两根,则 p、q 之间的关系是( 4 A.p+q+1=0 B.p-q-1=0 C.p+q-1=0 ) C. ) C.- 4 3 ) D. 4 3 1 23 1 D. 8

7. sin6°·cos24°·sin78°·cos48°的值为( A. 1 16 1 B.- 16

sinα +cosα 1 8.若 = ,则 tan2α =( sinα -cosα 2 3 A.- 4 3 B. 4

π π 2 9.函数 f(x)=sin x+ 3sinxcosx 在区间[ , ]上的最大值是( 4 2 A.1 1+ 3 B. 2 3 C. 2
5

D.1+ 3 tanα 2 ( ) 等于 ( tanβ ) D.5 询电:028-82747656
1

1 1 10.已知 sin(α +β )= ,sin(α -β )= ,则 log 2 3 A.2 B.3

C.4

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二、填空题(每小题 6 分,共计 24 分).
π? 4 π? ? ? 11.设 α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 sin?2α + ?的值为___ 6 12? ? ? 5 ?
2

___.

12.函数 f(x)=

+tanx x π 的定义域为(0, ),则函数 f(x)的值域为_____ ___. cos2x+sin2x 4

5 α 1 13.设 α 、 β ∈(0,π ),且 sin(α +β )= ,tan = ,则 cosβ 的值为________. 13 2 2 14.在一次考试中,由于不慎,致使一选择题已知条件被黑色墨水覆盖,原题为:已知 α 、β 均为锐角,且 1 sinα -sinβ =- ,___ 2 A. 7 3 B. _____,则 tan(α -β )的值为 3 7 C.- 7 3 D. - 3 7

其中________为覆盖部分,试根据所附答案为 C,推断并补出被覆盖部分.

三、解答题(共 76 分).
15.(本题满分 12 分)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角,且 x -xsinAcosB+sinC=0 的两根为 α 、β ,且 1 α +β = α β ,判断△ABC 的形状. 2
2

16.(本题满分 12 分)已知

1 α -β



1 α +β



2 cosα ,且 α ,β 为锐角.求 的值. cosα β cos 2

[来源:学。科。网]

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我们不做宣传,我们只做口碑! 17.(本题满分 12 分)将形如? =a11a22-a12a21.

a11 a12? ?a11 a12? ?a21 a22?的符号称二阶行列式,现规定?a21 a22?

?cosπ ? 4 (1)试计算二阶行列式 ?1 ?
(2)若已知函数 f(θ )=?

? ?; π? cos 3?
1

θ ?cos 2 1θ sin 7 π? sin ?= 2 ,求锐角 θ 的值. 3 ? ? 2

18.(本题满分 12 分)设向量 α =( 3sin 2x,sin x+cos x),β =(1,sinx-cosx),其中 x∈R,函数

f(x)=α ·β .
(1)求 f( x)的最小正周期; (2)若 f(θ )= 3,其中 0<θ < π π ,求 cos(θ + )的值. 2 6

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我们不做宣传,我们只做口碑! π 2 19.(本题满分 14 分)设函数 f(x)=c os(2x+ )+sin x. 3 (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 C 1 (2)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角,若 cosB= ,f( )=- ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

20.(本题满分 14 分)已知向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),0<β <α <π . (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α 、 β 的值.

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第三章《 三角恒等变换》测试题参考答案
一、选择题 1.【答案】 C 【解析】 原式=-(cos 2.【答案】 A 1 3 π 【解析】f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),周期 T=π ,振幅为 1,故选 A. 2 2 3 3.【答案】 D 【解析】 3 1 3 1 - = - = cos10° sin170° cos10° sin10° 3sin10°-cos10° = sin10°cos10° - sin10°cos10° =
2

π π 3 2π -sin ) =-cos =- . 12 12 6 2

- -2sin20° = =-4. sin10°cos10° 1 sin20° 2 4. 【答案】 D 【解析】a=sin24°,b=sin26°,c=sin25°. ∵sin24°<sin25°<sin26°,∴a<c<b. 5.【答案】 C 4 4 3 【解析】∵sin(α -β )sinβ -cos(α -β )cosβ = , ∴cosα =- ,又 α 是第二象限角,∴sinα = 5 5 5 π 3 tan +tanα 1- 4 4 1 3 π 则 tanα =- .,∴tan(α + )= = = . 4 4 π 3 7 1-tan tanα 1+ 4 4 6.【答案】 D π π π 【解析】 根据根与系数之间的关系可得 tan( -θ )+tanθ =-p, tan( -θ )tanθ =q, ∴tan( -θ +θ ) 4 4 4 π -θ +tanθ 4 -p π -p = = ,即 tan = =1,∴p-q+1=0. π 1-q 4 1-q 1-tan -θ tanθ 4 tan 7.【答案】A. 2cos6°·sin6°·cos12°·cos24°·cos48° 【解析】原式=s in6°·cos12°·cos24°·cos48° = 2cos6° = sin12°·cos12°·cos24°·cos48° sin24°·cos24°·cos48° sin48°·cos48° sin96° = = = = 2cos6° 4cos6° 8cos6° 16cos6°

cos6° 1 = . 16cos6° 16 8.【答案】 B 地址:成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼
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我们不做宣传,我们只做口碑! sinα +cosα 1 tanα +1 1 【解析】 本题考查三角恒等变换, “弦”化“切”.由 = 得 = 即 2tanα +2=tanα -1, sinα -cosα 2 tanα -1 2 ∴tanα =-3,∴tan2α = 化与化归思想. 9.【答案】C. [来源:学科网] 1-cos2x 3 π 1 π π 2 【解析】 f(x)=sin x+ 3sinxcos x= + sin2x=sin(2x- )+ . ∵ ≤x≤ , 2 2 6 2 4 2 ∴ π π 5 1 π 1 3 ≤2x- ≤ π , ∴ ≤sin(2x- )≤1. ∴f(x)max=1+ = . 3 6 6 2 6 2 2 2tanα - = 2 1-tan α 1- -
2

-6 3 = = ,“弦”化“切”,“切”化“弦”都体现了转 -8 4

10.【答案】 C 1 ? ?sinα cosβ +cosα sinβ =2 ? 1 sinα cosβ -cosα sinβ = ? ? 3

【 解 析 】 由 sin(α + β ) =

1 1 , sin(α - β ) = 得 2 3

,∴

5 sinα cosβ = ? ? 12 ? 1 cosα sinβ = ? ? 12 ∴log
5

tanα , ∴ =5, tanβ

(

tanα 2 ) =log tanβ

5

5 =4.

2

二、填空题 11.【答案】 17 2 50

π? 4 π? 3 π π 2π ? ? 【解析】 ∵α 为锐角,∴ <α + < ,∵cos?α + ?= ,∴sin?α + ?= ; 6? 5 6? 5 6 6 3 ? ? π? π? ? π ? 24 π π 2 π 7 ? ? 2 ∴sin?2α + ?=2sin?α + ?cos?α + ?= ,cos(2α + )=cos(α + ) -sin (α + )= 3? 6? ? 6 ? 25 3 6 6 25 ? ? π? π π? π? π π ? π 17 2 ? ? ? ? ∴sin?2α + ?=sin?2α + - ?=sin?2α - ?cos -cos?2α + ?sin = . 12? 3 4? 3? 3? 4 4 50 ? ? ? ? 2+ 2 12.【答案】 [ ,1) 4 【解析】f(x)= 1+tanx cos x 1 1 = + cos2x+sin2x 2 π 2 2sin 2x+ 4
2

π π 2 , ∵x∈(0, ),∴sin(2x+ )∈( ,1],∴ 4 4 2

f(x)的值域为[
13.【答案】

2+ 2 ,1). 4 16 - 65 询电:028-82747656
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我们不做宣传,我们只做口碑! α 2tan 2 α 1 1 4 3 【解析】 由 tan = 得 sinα = = = ,cosα = , 2 2 α 1 5 5 2 1+tan 1+ 2 4 5 π 12 由 sin(α +β )= <sinα ,α ,β ∈(0,π ),α +β ∈( ,π ),∴cos(α +β )=- . 13 2 13 16 cosβ =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα =- . 65 14. 【答案】cosα +cosβ = 7 2 7 1 ,又 sinα -sinβ =- ,即 sin[(α -β )+β ]-sin[α 3 2

【解析】根据所附答案为 C 得 tan(α -β )=-

1 1 -(α -β )]=- ,整理得(sinβ -sin α )cos(α -β )+(cosα +cosβ )·sin(α -β )=- .① 2 2 π π 7 π ∵α 、β 均为锐角,∴- <α -β < ,又∵tan(α -β )=- ,∴- <α -β <0, 2 2 3 2 ∴cos(α -β )= 1 1+tan
2

α +β

3 = ,② 4 7 ,③ 4

sin(α -β )=cos(α -β )·tan(α -β )=- 将②③代入①得 cosα +cosβ = 7 . 2

这一结果在结构上与已知条件比较接近. 故所缺失的条件即被覆盖部分可能为 cosα +cosβ = 7 . 2

三、解答题
15. 解:∵α ,β 是方程 x -xsinAcosB+sinC=0 的两根, ∴α +β =sinAcosB,α β =sinC. 1 又 α +β = α β , 2 ∴2sinAcosB=sinC, ∴2sinAcosB=sin[π -(A+B)], ∴2sinAcosB=sin(A+B), ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB, 即 sin(A-B)=0. 又 0<A<π ,0<B<π , ∴-π <A-B<π ,∴A-B=0,即 A=B, ∴△ABC 为等腰三角形. 地址:成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼
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16.

解 : ∵ 2cosα cosβ

2 cosα ∴



1 α -β



1 α +β



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1 2

α +cos2β

2 4cosα cosβ = , cosα cos2α +cos2β
2

即 cos2α +cos2β =2cos α cosβ , ∴2cos α -1+2cos β -1=2cos α cosβ ,[来源:学。科。网 Z。X。X。K] cos α (1-cosβ )=1-cos β ,又 β 为锐角, ∴cos α =1+cosβ ,∴cos α =2cos cosα 又 α ,β 为锐角,∴ = 2. β cos 2
2 2 2 2 2 2 2 2

β . 2

?cosπ ? 4 17. 解:(1)由题中规定的运算法则得: ?1 ?
(2)? θ ?cos 7π 1 1θ sin 7 π? sin ?=sin 3 cosθ -2si nθ 3 ? ? 2

? π π ?=cos cos -1= 2-1. 4 3 4 π cos ? 3?
1

π π ?π ? =sin cosθ -cos sinθ =sin? -θ ?. 3 3 ?3 ? 依题意,有 sin? ∴ ∴

?π -θ ?= 2.而 θ ∈?0,π ?, ? 2 ? 2? ?3 ? ? ?

π ? π π? -θ ∈?- , ?, 3 ? 6 3? π π π -θ = ,∴θ = . 3 4 12

π 18. 解: (1)由题意得 f(x)= 3sin2x+(sinx+cosx)·(si nx-cosx)= 3sin2x-cos2x=2sin(2x- ), 6 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π (2)由(1)知,f(θ )=2sin(2θ - ),若 f(θ )= 3, 6 π 3 则 sin(2θ - )= . 6 2 π π π 5π π π π 2π π 5π 又因为 0<θ < ,所以- <2θ - < ,则 2θ - = 或 2θ - = ,故 θ = 或 θ = . 2 6 6 6 6 3 6 3 4 12 π π π π π π π π 6- 2 当 θ = 时,cos(θ + )=cos( + )=cos cos -sin sin = . 4 6 4 6 4 6 4 6 4

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我们不做宣传,我们只做口碑! 5π π 5π π 5π 5π π π 6- 2 当 θ = 时,cos(θ + )=cos( + )=cos(π - )=-cos =-cos( + )=- . 12 6 12 6 12 12 4 6 4 19. π π π 1-cos2x 1 3 2 (1)f(x)=cos(2x+ )+sin x=cos2xcos -sin2xsin + = - sin2x,所以函数 f(x)的 3 3 3 2 2 2

1+ 3 最大值为 ,最小正周期为 π . 2

C 1 3 1 3 (2)f( )= - sinC=- ,所以 sinC= . 2 2 2 4 2
π 因为 C 为锐角,所以 C= . 3 1 2 在△ABC 中,cosB= ,所以 sinB= 2. 3 3 2 1 1 3 2 2+ 3 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 2× + × = . 3 2 3 2 6 20. 解:(1)由题意得|a-b| =2,即(a-b) =a -2a·b+b =2. 又因为 a =b =|a| =|b| =1,所以 2-2a·b=2,即 a·b=0, 故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cosα +cosβ ,sinα +sinβ )=(0,1),
?cosα +cosβ =0, ? 所以? ?sinα +sinβ =1, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

由此得,cosα =cos(π -β ), 由 0<β <π ,得 0<π -β <π , 又 0<α <π ,故 α =π -β .代入 sinα +sinβ =1 得, 1 sinα =sinβ = ,而 α >β , 2 5π π 所以 α = ,β = .[来源:学#科#网] 6 6

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