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2015数学一模压轴题汇总及答案



海淀 20、有限数列 An : a1 , a2 ,..., an ? n ? 3? 同时满足下列两个条件: ①对于任意的 i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai ? a j ; ②对于任意的 i, j, k ?1 ? i ? j ? k ? n ? , ai a j , a j ak , ai ak 三个数中至少有一个数是数列 An 中的项. (1)若 n ? 4,

且 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a, a4 ? 6. 求 a 的值; (2)证明: 2,3,5 不可能是数列 An 中的项; (3)求 n 的最大值. 东城 20、 无穷数列 {an } 中, 对于任意 n ? N , 都有 an ? N? , 且 an ? an?1 . 设集合 Am ? {n | an ? m, m ? N?} , a1 ? 1 , 将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列 {an } 中满足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值,我们称数 列 {bn } 为数列 {an } 的伴随数列. 例如:数列 {an } 是 1,3, 4, (Ⅰ)设数列 {an } 是 1, 4,5, ,它的伴随数列 {bn } 是 1,1, 2,3, . ,请写出 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 5 项;
?

(Ⅱ)设 an ? 3n?1 (n ? N* ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 20 项和; (Ⅲ)设 an ? 3n ? 2(n ? N* ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 前 n 项和 Sn .

西城20已知点列

(k∈N*,k≥2)满足P 1(1,1) ,

中有且只有一个成立. ⑴写出满足k = 4且P 4(1,1)的所有点列; ⑵证明:对于任意给定的k (k∈N*,k≥2),不存在点列T ,使得 ;

⑶当k = 2n ? 1且

时,求

的最大值.

朝阳 20.若数列 {an } 中不超过 f (m) 的项数恰为 bm (m ? N* ) ,则称数列 {bm } 是数列 {an } 的生成数列,称相应的 函数 f (m) 是 {an } 生成 {bm } 的控制函数.设 f (m) ? m2 . (Ⅰ)若数列 {an } 单调递增,且所有项都是自然数, b1 ? 1 ,求 a1 ; (Ⅱ)若数列 {an } 单调递增,且所有项都是自然数, a1 ? b1 , 求 a1 ; (Ⅲ)若 an ? 2n(n ? 1, 2,3 ) ,是否存在 {bm } 生成 {an } 的控制函数 g (n) ? pn2 ? qn ? r (其中常数 p, q, r ? Z )?使得 数列 {an } 也是数列 {bm } 的生成数列?若存在,求出 g (n) ;若不存在,说明理由.

? a1 ,a 2 , am (m ? Z , 丰台 20.如果数列 A : ?, 且 m ? 3) , 满足: ① ai ? Z ,

m m ? ai ? (i ? 1, 2, 2 2

, m) ;



a1 ? a2 ?

? am ? 1,那么称数列 A 为“Ω”数列.

(Ⅰ )已知数列 M :-2,1,3,-1;数列 N :0,1,0,-1,1.试判断数列 M , N 是否为“Ω”数列; (Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列?请证明你的结论; (Ⅲ)如果数列 A 是“Ω”数列,求证:数列 A 中必定存在若干项之和为 0. 石景山 20 设数列 ?an ? 满足: ① a1 ? 1 ;②所有项 an ? N * ;③ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?. 设集合 Am ? ?n|an ? m, m ? N *?, 将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm , 即 bm 是数列 ?an ? 中满足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ? 为数 ?an ? 的伴随数列.例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2, 3. (Ⅰ)若数列 ?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ; (Ⅱ)设 an ? 3
n ?1

,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 30 项之和;
2

(Ⅲ)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? c (其中 c 常数) ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bm ? 的前 m 项和 Tm .

顺义 20 已知二次函数 y ? f ( x) 的图象的顶点坐标为 ( ?1, ? ) ,且过坐标原点 O .数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点

1 3

(n, Sn )(n ? N ? ) 在二次函数 y ? f ( x) 的图象上.
(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? an an?1 cos(n ? 1)? ,(n ? N? ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn ? tn2 对 n ? N 恒成立,求实数 t 的
?

取值范围; (III)在数列 {an } 中是否存在这样一些项: an1 , an2 , an3 ,

, ank ,

(1 ? n1 ? n2 ? n3

?

? nk ?

, k ? N ? ) ,这些项都能够构成以 a1 为首项, q(0 ? q ? 5, q ? N ? ) 为公比的等比数列 {ank }, k ? N ? ?

若存在,写出 n k 关于 k 的表达式;若不存在,说明理由.

海淀(1)由①,得 2 ? a ? 6 .
由②,当 i ? 2 , j ? 3 , k ? 4 时. 2 a , 6 a , 12 中至少有一个是数列1 , 2 , a , 6 中的项,但 6a ? 6 ,

12 ? 6 ,故 2a ? 6 ,解得 a ? 3 .

经检验,当 a ? 3 时,符合题意. (2)假设 2,3,5 是数列 An 中的项,由②可知:6,10,15 中至少有一个是数列 An 中的项,则有限数列 An 的最后一项 an ? 5 ,且 n ? 4 . 由①, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 1. 对于数 an?2 , an?1 , an ,由②可知: an?2 an?1 ? an ;对于数 an?3 , an?1 , an ,由②可知: an?3an?1 ? an . 所以

an?2 ? an?3 ,这与①矛盾.
所以 2,3,5 不可能是数列 An 中的项. (3) n 的最大值为 9 ,证明如下: (1)令 A9 : ?4, ?2, ?1, ? , ? ,0, ,1, 2 ,则 A9 符合①、②. (2)设 An : a1 , a2 , ???, an (n ? 3) 符合①、②,则: (ⅰ) An 中至多有三项,其绝对值大于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 1,不妨设 ai , a j , ak , al 是 An 中绝对值最大的四项,其 中 1 ?| ai |?| a j |?| ak |?| al | . 则对 ai , ak , al 有 | ai al | ?| al | , | ak al | ?| al | ,故 ai al , ak al 均不是数列 An 中的项,即 ai ak 是数列 An 中的 项. 同理: a j ak 也是数列 An 中的项.但 | ai ak | ? | ak | , | a j ak | ? | ak | . 所以 ai ak ? a j ak ? al .所以 ai ? a j ,这与①矛盾. (ⅱ) An 中至多有三项,其绝对值大于 0 且小于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 0 且小于 1,类似(ⅰ)得出矛盾. (ⅲ) An 中至多有两项绝对值等于 1. (ⅳ) An 中至多有一项等于 0. 综合(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) , (ⅳ)可知 An 中至多有 9 项. 由(1) , (2)可得, n 的最大值为 9.

1 2

1 4

1 2

东城

西



朝阳(Ⅰ)若 b ? 1 ,因为数列 {a } 单调递增,所以 a ? 1 ,又 a 是自然数,所以 a ? 0
2
1 n

1

1

1

或 1. (Ⅱ)因为数列 {an } 的每项都是自然数, 若 a1 ? 0 ? 12 ,则 b1 ? 1 ,与 a1 ? b1 矛盾;

………2 分

若 a1 ? 2 ,则因 {an } 单调递增,故不存在 an ? 12 ,即 b1 ? 0 ,也与 a1 ? b1 矛盾. 当 a1 ? 1 时,因 {an } 单调递增,故 n ? 2 时, an ? 1 ,所以 b1 ? 1 ,符合条件, 所以, a1 ? 1 . ………6 分

(Ⅲ)若 an ? 2n(n ? 1, 2, ) ,则数列 {an }单调递增,显然数列 {bm }也单调递增,

1 2 由 an ? m2 ,即 2n ? m 2 ,得 n ? m , 2

1 2 所以, bm 为不超过 m 的最大整数, 2
1 2 1 * 2 2 2 当 m = 2k - 1 (k ? N ) 时,因为 2k ? 2k ? m ? 2k ? 2k ? ? 2k ? 2k ? 1 , 2 2
所以 bm ? 2k 2 ? 2k ;

1 2 * 2 当 m = 2k (k ? N ) 时, m ? 2k ,所以, bm ? 2k 2 . 2

ì ? 2k 2 - 2k , m = 2k - 1(k N* ) ? b = 综上, m í 2 , ? m = 2k ( k N * ) ? ? 2k ,

m2 - 1 m2 m m 即当 m > 0 且 为奇数时, bm = ;当 m > 0 且 为偶数时, bm = . 2 2
若数列 {an } 是数列 {bm } 的生成数列,且 {bm } 生成 {an } 的控制函数为 g (n) , 则 bm 中不超过 g (n) 的项数恰为 a n ,即 bm 中不超过 g (n) 的项数恰为 2n , 所以 b2n ? g (n) ? b2n?1 ,即 2n2 ? pn2 ? qn ? r ? 2n2 ? 2n 对一切正整数 n 都成立, 即?
2 ? ?( p ? 2)n ? qn ? r ? 0 对一切正整数 n 都成立, 2 (2 ? p ) n ? (2 ? q ) n ? r ? 0 ? ?

故得 p ? 2 ,且 ?

又常数 r ? Z , 当 q ? 0 时, 0 ? r ? 2n(n ? 1) ,所以 r ? 0 ,或 r ? 1 ;

?qn ? r ? 0 对一切正整数 n 都成立,故 0 ? q ? 2 , q ? Z . ?(2 ? q)n ? r ? 0

当 q ? 1 时, ?n ? r ? n(n ? 1) ,所以 r ? 0 ,或 r ? ?1 ; 当 q ? 2 时, ?2n ? r ? 0(n ? 1) ,所以 r ? ?2 ,或 r ? ?1 ; 所 以
g( n ? )
2

2n , 或
*

2n 2 ? 1

, 或

2n2 ? n ? 1

, 或

2n 2 ? n

, 或

2n 2 ? n2?

, 2 或

? N ). 2n 2 ? n2? (n 1

………13 分

丰台(Ⅰ)数列 M 不是“Ω”数列;数列 N 是“Ω”数列.
(Ⅱ)不存在一个等差数列是“Ω”数列. 证明:假设存在等差数列是“Ω”数列, 则由 a1 ? a2 ?

……………………2 分

? am ? 1 得 a1 ? am ?

2 ? Z ,与 ai ? Z 矛盾, m
……………………7 分

所以假设不成立,即不存在等差数列为“Ω”数列. (Ⅲ)将数列 A 按以下方法重新排列:

设 Sn 为重新排列后所得数列的前 n 项和( n ? Z 且 1 ? n ? m ) ,

m m ? 1 ? S1 ? , 2 2 m m 假设当 2 ? n ? m, n ? N 时, ? ? 1 ? Sn ?1 ? 2 2
任取大于 0 的一项作为第一项,则满足 ? 若 Sn?1 ? 0 ,则任取大于 0 的一项作为第 n 项,可以保证 ?

m m ? 1 ? Sn ? , 2 2

若 Sn?1 ? 0 ,则剩下的项必有 0 或与 S n ?1 异号的一项,否则总和不是 1, 所以取 0 或与 S n ?1 异号的一项作为第 n 项,可以保证 ? 如果按上述排列后存在 Sn ? 0 成立,那么命题得证; 否则 S1 , S2 ,…, Sm 这 m 个整数只能取值区间 [ ? 因为区间 [ ?

m m ? 1 ? Sn ? . 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数, 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数至多 m-1 个,所以必存在 Si ? S j (1 ? i ? j ? m) , 2 2

那么从第 i ? 1 项到第 j 项之和为 Si ? S j ? 0 ,命题得证. 综上所述,数列 A 中必存在若干项之和为 0. ……………………13 分

石景山
(Ⅰ)1,4,7 (Ⅱ)由 an ? 3
n?1

……………………3 分

? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N * )
……………………4 分

当 1 ? m ? 2, m ? N * 时, b1 ? b2 ? 1

当 3 ? m ? 8, m ? N * 时, b3 ? b4 ? ??? ? b8 ? 2 当 9 ? m ? 26, m ? N ? 时, b9 ? b10 ? ? ? ? ? b26 ? 3 当 27 ? m ? 30, m ? N ? 时, b27 ? b28 ? b29 ? b30 ? 4 ∴ b1 ? b2 ? ? ? ? ? b30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 18 ? 4 ? 4 ? 84 (III)∵ a1 ? S1 ? 1 ? c ? 1 ∴c ? 0

……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分 ……………………8 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ∴

an ? 2n ? 1 (n ? N * )
m ?1 (m ? N * ) 2

……………………9 分

由 an ? 2n ? 1 ? m 得: n ?

因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 b1 ? b2 ? 1, b3 ? b4 ? 2, ???, b2t ?1 ? b2t ? t (t ? N )
*

当 m ? 2t ? 1 (t ? N ) 时:
*

Tm ? 2 ?

1 ? (t ? 1) 1 ? (t ? 1) ? t ? t 2 ? (m ? 1) 2 2 4
*

……………………11 分

当 m ? 2t (t ? N ) 时:

Tm ? 2 ?

1? t 1 ? t ? t 2 ? t ? m(m ? 2) 2 4

……………………12 分

? (m ? 1)2 ( m ? 2t ? 1 , t ? N * ) ? ? 4 所以 Tm ? ? ? m(m ? 2) (m ? 2t , t ? N * ) ? ? 4

……………………13 分

顺义
解(I)由题意可知 f ( x) ? 所

1 1 ( x ? 1) 2 ? . 3 3
以 ............... ..........................................

1 1 1 2 Sn ? (n ? 1) 2 ? ? n 2 ? n(n ? N ? ). 3 3 3 3
.1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 2 2 1 2 2n ? 1 n ? n ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? . 3 3 3 3 3

当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 适合上式 所 以 , 数 列

{an }













an ?

2n ? 1 (n ? N ? ) ................ ...........................................4 分 3

(II)因为 bn ? an an?1 cos(n ? 1)? ,(n ? N ? ) 所以 Tn ? b1 ? b2 ?

? bn
? (?1)n?1 anan?1
2 的等差数列. 3

? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ?

由(I)可知,数列 {an } 是以 1 为首项,公差为 ① 当 n ? 2m, m ? N 时,
?

Tn ? T2m ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ?
? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ?

? (?1)2m?1 a2ma2m?1

? a2 m (a2 m ?1 ? a2 m ?1 )

4 4 a ? a2 m ? ? (a2 ? a4 ? ? a2 m ) ? ? ? 2 ?m 3 3 2 1 1 ? ? (8m 2 ? 12m) ? ? (2n 2 ? 6n). 9 9
② 当 n ? 2m ? 1, m ? N 时,
?

Tn ? T2m?1 ? T2m ? (?1)2m?1 a2ma2m?1
1 1 ? ? (8m 2 ? 12m) ? (16m 2 ? 16m ? 3) 9 9 1 1 ? (8m 2 ? 4m ? 3) ? (2n 2 ? 6n ? 7). 9 9

? 1 ? (2n 2 ? 6n), n ? ? 9 所以 Tn ? ? ? 1 (2n 2 ? 6n ? 7), n ? ?9
............... ...................................... .....7 分 要使 Tn ? tn2 对 n ? N 恒成立,
2 2 只要使 ? (2n ? 6n) ? tn ( n 为正偶数)恒成立.
?

1 9

即使 ? (2 ? ) ? t 对 n 为正偶数恒成立, 故 实 数

1 9

6 n

t













5 (??, ? ]. 9
(III)由 an ?

............... ...........................................9 分

2n ? 1 知,数列 {an } 中每一项都不可能是偶数. 3 ? ① 如存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 {ank }, k ? N ,此时 {ank } 中每一项除第一项外都是偶数,故不存
在以 a1 为首项,公比为偶数的数列 {ank } . ② 当 q ? 1 时,显然不存在这样的数列 {ank } . 当 q ? 3 时,若存在以 a1 为首项,公比为 3 的数列 {ank }, k ? N ,则 an1 ? 1,
?

n1 ? 1, ank ? 3k ?1 ?

2nk ? 1 3k ? 1 , nk ? . 3 2
3k ? 1 (k ? N ? ). 2
............... ......................................

所以存在满足条件的数列 {ank } ,且 nk ?

.....13 分



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