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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师用书文


4.4 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应用

1.y=Asin(ω x+φ )的有关概念

y=Asin(ω x+
φ )(A>0,ω >0),

振幅

周期

频率

相位 ω x+φ

初相 φ

A x∈R

T=

2π ω

f= = T 2π

1

ω

2.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示:

x

0-φ ω 0 0

π -φ 2 ω π 2

π -φ ω π 0

3π -φ 2 ω 3π 2 -A

2π -φ ω 2π 0

ω x+φ

y=Asin(ω x+φ )

A

3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图象的步骤如下

【知识拓展】 φ 1.由 y=sin ω x 到 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ >0)的变换:向左平移 个单位长度而非 φ ω 个单位长度. 2.函数 y=Asin(ω x+φ )的对称轴由 ω x+φ =kπ + =kπ ,k∈Z 确定其横坐标.
1

π ,k∈Z 确定;对称中心由 ω x+φ 2

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) π ? π? ? π? (1)y=sin?x- ?的图象是由 y=sin?x+ ?的图象向右平移 个单位得到的.( √ ) 4? 4? 2 ? ? (2)将函数 y=sin ω x 的图象向右平移 φ (φ >0)个单位长度,得到函数 y=sin(ω x-φ )的 图象.( × ) (3) 利 用图象变 换作图时“ 先平移, 后伸缩” 与“ 先伸缩, 后平移” 中平 移的长度 一 致.( × ) 2π (4)函数 y=Asin(ω x+φ )的最小正周期为 T= .( × ω )

1 (5)把 y=sin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,所得图象对应的函数解析 2 1 式为 y=sin x.( × 2 )

(6)若函数 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 T, 则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离 为 .( √ ) 2

T

1 π 1.(教材改编)y=2sin( x- )的振幅,频率和初相分别为______________. 2 3 1 π 答案 2, ,- 4π 3 1 ω 1 π 解析 由题意知 A=2,f= = = ,初相为- . T 2π 4π 3 1 2.(教材改编)将 y= sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变,便得 2 到函数 f(x)的图象,则 f(x)=________. 答案 sin x 1 解析 将函数 y= sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变,便得到 2 1 函数 f(x)=2× sin x=sin x 的图象. 2 3.(2016·全国甲卷改编)函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象如图所示,则函数的表达式为 ______________.

2

π? ? 答案 y=2sin?2x- ? 6? ? π π ?π ? π ?? 解析 由图可知,T=2? -?- ??=π ,所以 ω =2,由五点作图法可知 2× +φ = , 3 2 ? 3 ? 6 ?? π? π ? 所以 φ =- ,所以函数的解析式为 y=2sin?2x- ?. 6? 6 ? 4.若函数 y=sin(ω x+φ ) (ω >0)的部分图象如图所示,则 ω =________.

答案 4 π π 解析 由函数图象知 T= ×2= , 4 2 2π 2π ω = = =4. T π 2 5.( 教材改编 ) 在同一平面直角坐标系中,画出三个函数 f(x) = 2sin(2x + sin(2x + π ) , g(x)= 4

π π ) , h(x) = cos(x - ) 的部分图象 ( 如图 ) ,则 a , b , c 对应的函数依次是 3 6

______________.

答案 h(x),f(x),g(x) 解析 由于函数 f(x),g(x),h(x)的最大值分别是 2,1,1,因此结合图形可知,曲线 b 为

f(x)的图象;又 g(x),h(x)的最小正周期分别是 π 、2π ,因此结合图形可知,曲线 a,c
分别是 h(x),g(x)的图象.

题型一 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及变换

3

例1

π? ? (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?在某 2? ?

一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ω x+φ 0 π 2 π 3 0 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 2π

x Asin(ω x+φ )

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ (θ >0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y =g(x)图象的一个对称中心为?

?5π ,0?,求 θ 的最小值. ? ? 12 ?

π 解 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =- .数据补全如下表: 6 ω x+φ 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 π 12 0

x Asin(ω x+φ )

π? ? 且函数解析式为 f(x)=5sin?2x- ?. 6? ? π? ? (2)由(1)知 f(x)=5sin?2x- ?, 6? ? π? ? 得 g(x)=5sin?2x+2θ - ?. 6? ? 因为函数 y=sin x 图象的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+2θ - =kπ ,解得 x= + -θ ,k∈Z. 6 2 12 由于函数 y=g(x)的图象关于点? 所以令

?5π ,0?成中心对称, ? ? 12 ?


2

π 5π kπ π + -θ = ,解得 θ = - ,k∈Z. 12 12 2 3

π 由 θ >0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6 引申探究 π 在本例(2)中,将 f(x)图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 g(x)的图象,求 g(x)的解 6

4

析式,并写出 g(x)图象的对称中心. π 解 由(1)知 f(x)=5sin(2x- ), 6 π π 因此 g(x)=5sin[2(x+ )- ] 6 6 π =5sin(2x+ ). 6 因为 y=sin x 的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+ =kπ ,k∈Z,解得 x= - ,k∈Z. 6 2 12 即 y=g(x)图象的对称中心为(



π - ,0),k∈Z. 2 12

思维升华 (1)五点法作简图:用“五点法”作 y=Asin(ω x+φ )的简图,主要是通过变量 π 3 代换,设 z=ω x+φ ,由 z 取 0, ,π , π ,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出 2 2 五点坐标,描点后得出图象. (2)图象变换:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象,有两种主要 途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半, 纵坐标保持不变, 再把所得函数图象向左平移 答案 y=cos 2x 解析 由 y=sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的 π π 解析式为 y=sin 2x,再向左平移 个单位得 y=sin 2(x+ ),即 y=cos 2x. 4 4 题型二 由图象确定 y=Asin(ω x+φ )的解析式 π 例 2 如图是函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的图象,求 A、ω 、φ 的值,并 2 确定其函数解析式. π 个单位,得到的函数图象的解析式是________________. 4

解 方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅 A=3,

5

5π π 2π 又 T= -(- )=π ,∴ω = =2. 6 6 T π π 由点(- ,0)在图象上,令- ×2+φ =0, 6 6 π π 得 φ = ,∴y=3sin(2x+ ). 3 3 方法二 (待定系数法) π 5π 由图象知 A=3,又图象过点( ,0)和( ,0),根据五点作图法原理(以上两点可判为“五 3 6 π ? ? 3 ω +φ =π , 点法”中的第三点和第五点),有? 5π ? ? 6 ω +φ =2π , π ∴y=3sin(2x+ ). 3 方法三 (图象变换法) π π 由 T=π ,点(- ,0),A=3 可知图象由 y=3sin 2x 向左平移 个单位长度而得, 6 6 π ∴y=3sin 2(x+ ), 6 π π 即 y=3sin(2x+ ),且 ω =2,φ = . 3 3 思维升华 求 y=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0)解析式的步骤 (1)求 A,B,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2π (2)求 ω ,确定函数的周期 T,则 ω = . ω =2, ? ? 解得? π φ= . ? 3 ?

M-m
2

,B=

M+m
2

.

T

(3)求 φ ,常用方法如下: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或 把图象的最高点或最低点代入. ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一 点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =0;“第二点”(即图象的“峰点”)为 ω x+ π φ= ; “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =π ; “第四点”(即图象的“谷 2 3π 点”)为 ω x+φ = ;“第五点”为 ω x+φ =2π . 2 π (2016·徐州模拟)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |< )的部分图象 2

6

π 如图所示,则 y=f(x+ )取得最小值时 x 的集合为__________________. 6

π 答案 {x|x=kπ - ,k∈Z} 3 7π π 2π 解析 根据所给图象, 周期 T=4×( - )=π , 故π= , ∴ω =2, 因此 f(x)=sin(2x 12 3 ω 7π 7π π +φ ),另外图象经过点( ,0),代入有 2× +φ =kπ (k∈Z),再由|φ |< ,得 φ = 12 12 2 π π π π π π - ,∴f(x+ )=sin(2x+ ),当 2x+ =- +2kπ (k∈Z),即 x=- +kπ (k∈Z) 6 6 6 6 2 3 π 时,y=f(x+ )取得最小值. 6 题型三 三角函数图象性质的应用 命题点 1 三角函数模型的应用 例 3 (2015·陕西改编)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=

?π ? 3sin? x+φ ?+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为________. ?6 ?

答案 8 解析 由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5. ∴ymax=k+3=8. 命题点 2 函数零点(方程根)问题 例4

?π ? 2 已知关于 x 的方程 2sin x- 3sin 2x+m-1=0 在? ,π ?上有两个不同的实数根, ?2 ?

则 m 的取值范围是________. 答案 (-2,-1) 解析 方程 2sin x- 3sin 2x+m-1=0 可转化为
2

m=1-2sin2x+ 3sin 2x
=cos 2x+ 3sin 2x

7

π? ? ?π ? =2sin?2x+ ?,x∈? ,π ?. 6? ? ?2 ? 13 ? π ?7 设 2x+ =t,则 t∈? π , π ?, 6 ? 6 ?6 ∴题目条件可转化为

m
2

13 ? ?7 =sin t,t∈? π , π ?有两个不同的实数根. 6 6 ? ?

13 ? m ?7 ∴y= 和 y=sin t,t∈? π , π ?的图象有两个不同交点,如图: 6 ? 2 ?6

m 1 由图象观察知, 的范围为(-1,- ), 2 2
故 m 的取值范围是(-2,-1). 引申探究 例 4 中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是__________. 答案 [-2,1) 1? m ? 解析 由例 4 知, 的范围是?-1, ?, 2? 2 ? ∴-2≤m<1, ∴m 的取值范围是[-2,1). 命题点 3 图象与性质的综合应用 π π π 例 5 已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )(ω >0,- ≤φ < )的图象关于直线 x= 对称, 2 2 3 且图象上相邻两个最高点的距离为 π . (1)求 ω 和 φ 的值; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 y=f(x)的最大值和最小值. 2 解 (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π ,所以 f(x)的最小正周期 T=π ,从 2π 而 ω = =2.

T

π 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2· +φ =kπ + ,k∈Z, 3 2 π π 由- ≤φ < ,得 k=0, 2 2
8

π 2π π 所以 φ = - =- . 2 3 6 π 综上,ω =2,φ =- . 6 (2)由(1)知 f(x)= 3sin(2x- π ), 6

π π π 5π 当 x∈[0, ]时,- ≤2x- ≤ , 2 6 6 6 π π π ∴当 2x- = ,即 x= 时,f(x)最大值= 3; 6 2 3 π π 3 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)最小值=- . 6 6 2 思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面: 一是已知函数模型求解数学问题; 二是把 实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. (3)研究 y=Asin(ω x+φ )的性质时可将 ω x+φ 视为一个整体,利用换元法和数形结合思 想进行解题. 已知函数 f(x)=cos(3x+ 则 m 的取值范围是__________. 2π 5π 答案 [ , ] 9 18 解析 画出函数的图象. π π 3 ), 其中 x∈[ , m], 若 f(x)的值域是[-1, - ], 3 6 2

π 5π π π 由 x∈[ ,m],可知 ≤3x+ ≤3m+ , 6 6 3 3 π 5π 3 2π 3 因为 f( )=cos =- 且 f( )=cos π =-1,要使 f(x)的值域是[-1,- ],只 6 6 2 9 2 要 2π 5π 2π 5π ≤m≤ ,即 m∈[ , ]. 9 18 9 18

4.三角函数图象与性质的综合问题

9

x π x π 典例 (14 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )·cos( + )-sin(x+π ). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, 6 π ]上的最大值和最小值. 思维点拨 (1)先将 f(x)化成 y=Asin(ω x+φ )的形式再求周期; π (2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x- ,得 g(x),然后利用整体思想求最值. 6 规范解答

x π x π 解 (1)f(x)=2 3sin( + )·cos( + )-sin(x+π )= 3cos x+sin x 2 4 2 4
[4 分] π =2sin(x+ ), 3 2π 于是 T= =2π . 1 π π (2)由已知得 g(x)=f(x- )=2sin(x+ ), 6 6 [9 分] π π 7π ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈[ , ], 6 6 6 π 1 ∴sin(x+ )∈[- ,1], 6 2 π ∴g(x)=2sin(x+ )∈[-1,2]. 6 故函数 g(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2,最小值为-1. [12 分] [13 分] [14 分] [6 分] [7 分]

解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步:(化简)将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式; 第二步:(用辅助角公式)构造 f(x)= a +b ·(sin x·
2 2 2 2

a a +b
2 2

+cos x·

b a +b2
2

);

第三步:(求性质)利用 f(x)= a +b sin(x+φ )研究三角函数的性质; 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

10

x π 1.(教材改编)函数 y=2sin( + )的最小正周期是________. 2 5
答案 4π 2π 解析 最小正周期 T= =4π . 1 2 π 2.(2016·无锡期末)将函数 f(x)=2sin 2x 的图象上每一点向右平移 个单位长度,得函数 6

y=g(x)的图象,则 g(x)=__________.
π 答案 2sin(2x- ) 3 π 解析 函数 f(x)=2sin 2x 的图象上每一点向右平移 个单位长度, 可得函数 g(x)=2sin 2(x 6 π π π - )=2sin(2x- )的图象,故 g(x)=2sin(2x- ). 6 3 3 3.已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0), x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中, 若相邻交点距离的最小值为 答案 π π 解析 f(x)= 3sin ω x+cos ω x=2sin(ω x+ )(ω >0). 6 π π 1 由 2sin(ω x+ )=1,得 sin(ω x+ )= , 6 6 2 π π π 5 ∴ω x+ =2kπ + 或 ω x+ =2kπ + π (k∈Z). 6 6 6 6 π π π 5 令 k=0,得 ω x1+ = ,ω x2+ = π , 6 6 6 6 2π ∴x1=0,x2= . 3ω π 2π π 由|x1-x2|= ,得 = ,∴ω =2. 3 3ω 3 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π 4.(2017·江苏通州中学月考)函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0,- <φ < )的部分图象如 2 2 图所示,则 ω ,φ 的值分别是________. π ,则 f(x)的最小正周期为________. 3

11

π 答案 2,- 3 3 5π π 3 3π 2π 2π 解析 由题中图象可知 T= -(- )? T= ? T=π ,则 ω = = =2.又图象过 4 12 3 4 4 T π 5π 点( ,2), 12 5π 5π 5π ∴f( )=2? 2sin( +φ )=2? sin( +φ )=1. 12 6 6 π π π 5π 4π ∵- <φ < ,∴ <φ + < , 2 2 3 6 3 ∴ 5π π π +φ = ,∴φ =- . 6 2 3

π? π ? 5.函数 f(x)=sin(2x+φ )?|φ |< ?的图象向左平移 个单位后所得函数图象的解析式是 2? 6 ?

? π? 奇函数,则函数 f(x)在?0, ?上的最小值为________. 2? ?
答案 - 3 2

π? π ? 解析 由函数 f(x)的图象向左平移 个单位得 g(x)=sin?2x+φ + ?的图象, 3? 6 ? π 因为是奇函数,所以 φ + =kπ ,k∈Z, 3 π π 又因为|φ |< ,所以 φ =- , 2 3 π? ? 所以 f(x)=sin?2x- ?. 3? ? π ? π 2π ? ? π? 又 x∈?0, ?,所以 2x- ∈?- , ?, 2 3 ? 3 ? 3 ? ? 所以当 x=0 时,f(x)取得最小值为- 3 . 2

π? ? 6.(2016·连云港模拟 ) 已知函数 f(x) = sin(ω x + φ ) ?ω >0,|φ |< ? 的最小正周期是 2? ? π π ,若将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称,则下列关于函数 f(x) 3 的图象说法正确的是________. π ①关于直线 x= 对称 12 5π ②关于直线 x= 对称 12 ④关于点?

?π ? ③关于点? ,0?对称 ?12 ?
答案 ② 2π 解析 由题意知 =π ,∴ω =2; ω

?5π ,0?对称 ? ? 12 ?

12

2 ? π ? π? ? 又由 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 y=sin[2?x- ?+φ ]=sin?2x+φ - π ?, 此时 3? 3 ? 3 ? ? 关于原点对称, 2π ∴- +φ =kπ ,k∈Z, 3 2π ∴φ = +kπ ,k∈Z, 3 π 又|φ |< , 2 π ∴φ =- , 3 π? ? ∴f(x)=sin?2x- ?. 3? ? π 当 x= 时, 12 π π 2x- =- , 3 6 ∴①、③错误; 5π 当 x= 时, 12 π π 2x- = , 3 2 ∴②正确,④错误. 7.(2016·苏北四市期末)函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图象如图所示,若 AB=5, 则 ω 的值为________.

答案

π 3

解析 如图,过点 A 作垂直于 x 轴的直线 AM,过点 B 作垂直于 y 轴的直线 BM,直线 AM 和直 1 2π π 2 2 线 BM 相交于点 M,在 Rt△AMB 中,AM=4,BM= · = ,AB=5,由勾股定理得 AM +BM 2 ω ω =AB ,
2

13

π 2 π π 所以 16+( ) =25, =3,ω = . ω ω 3 π π 8.(2016·南通质检)设函数 y=sin(ω x+ )(0<x<π ),当且仅当 x= 时,y 取得最大值, 3 12 则正数 ω 的值为________. 答案 2 π π π π 解析 因为 0<x<π ,ω >0,所以 ω x+ ∈( ,ω π + ),又函数当且仅当 x= 时取得 3 3 3 12 最大值, π 5π ? ?ω π + 3 ≤ 2 , 所以? πω π π ? ? 12 + 3 = 2 ,

解得 ω =2.

π 1 9.(2016·扬州期末)已知函数 f(x)=sin(2x+ )(0≤x<π ), 且 f(α )=f(β )= (α ≠β ), 3 2 则 α +β =________. 答案 7π 6

π π 7π 1 π 5π 13π 解析 因为 0≤x<π ,所以 2x+ ∈[ , ),所以由 f(x)= ,得 2x+ = 或 , 3 3 3 2 3 6 6 π 11π 1 π 11π 7π 解得 x= 或 ,由于 f(α )=f(β )= (α ≠β ),所以 α +β = + = . 4 12 2 4 12 6 10.先把函数 f(x)=sin(x- π 1 )的图象上各点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变), 再把新得 6 2

π π 3π 到的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象.当 x∈( , )时,函数 g(x)的值域为 3 4 4 ________. 答案 (- 3 ,1] 2

解析 依题意得

g(x)=sin[2(x- )- ]=sin(2x-

π 3

π 6

5π ), 6

π 3π 5π π 2π 当 x∈( , )时,2x- ∈(- , ), 4 4 6 3 3

14

5π 3 此时 sin(2x- )∈(- ,1], 6 2 故 g(x)的值域是(- 3 ,1]. 2

π 11.(2016·江苏海安中学调研)若函数 f(x)=sin(ω x+ )(ω >0)图象的两条相邻的对称轴 6 π π 之间的距离为 ,且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈[0, ],则 x0=________. 2 2 答案 5 π 12

T π 2π 解析 两条相邻的对称轴之间的距离为 = ,所以 T=π .而 T= ,得 ω =2.因为 f(x) 2 2 ω
π π π 的图象关于点(x0,0)成中心对称,所以 sin(2x0+ )=0.又因为 x0∈[0, ],所以 2x0+ 6 2 6 π 7 π 5 ∈[ , π ],所以 2x0+ =π ,即 x0= π . 6 6 6 12 12.(2016·江苏扬州中学月考)将 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位(φ >0),使得平移后 π 3 的图象仍过点( , ),则 φ 的最小值为________. 3 2 答案 π 6

2π 3 解析 由题意得 sin( -2φ )= , 3 2 2π π 2π 2π π ∴-2φ + =2kπ + (k∈Z)或-2φ + =2kπ + (k∈Z),∴φ =-kπ + (k∈Z) 3 3 3 3 6 或 φ =-kπ (k∈Z), π 又 φ >0,∴φ 的最小值为 . 6 π π 13.设函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)在区间[ , ] 6 2 π 2π π 上具有单调性,且 f( )=f( )=-f( ),则 f(x)的最小正周期为________. 2 3 6 答案 π 解析 记 f(x)的最小正周期为 T.

T π π π 由题意知 ≥ - = , 2 2 6 3
π 2π π 由 f( )=f( )=-f( ), 2 3 6 且 2π π π - = , 3 2 6

可作出示意图如图所示(一种情况):

15

π π 1 π ∴x1=( + )× = , 2 6 2 3

x2=( +

π 2

2π 1 7π )× = , 3 2 12

T 7π π π ∴ =x2-x1= - = ,∴T=π . 4 12 3 4
π 14.函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,0<φ < )的部分图象如图所示. 2

(1)求 f(x)的解析式; π 2 π π (2)设 g(x)=[f(x- )] ,求函数 g(x)在 x∈[- , ]上的最大值,并确定此时 x 的值. 12 6 3

T π 解 (1)由题图知 A=2, = , 4 3
则 2π π 3 =4× ,∴ω = . ω 3 2

π 3 π 又 f(- )=2sin[ ×(- )+φ ] 6 2 6 π =2sin(- +φ )=0, 4 π ∴sin(φ - )=0, 4 π π π π ∵0<φ < ,∴- <φ - < , 2 4 4 4 π π ∴φ - =0,即 φ = , 4 4 3 π ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin( x+ ). 2 4 (2)由(1)可得

f(x- )=2sin[ (x- )+ ]
3 π =2sin( x+ ), 2 8 π 1-cos?3x+ ? 4 π 2 ∴g(x)=[f(x- )] =4× 12 2

π 12

3 2

π 12

π 4

16

π =2-2cos(3x+ ), 4 π π π π 5π ∵x∈[- , ],∴- ≤3x+ ≤ , 6 3 4 4 4 π π ∴当 3x+ =π ,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4

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