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竞赛中的圆锥曲线问题



2002 年第 12 期               数学通讯

43

竞赛中的圆锥曲线问题
刘康宁
( 西安市西光中学 , 陕西   710043)

   随着数学竞赛内容向课本的靠近 , 解析几何中 的圆锥曲线在高中数学联赛中的位置更加突出 . 从
1997 年到 2001 年 ,

联赛一试中都有三个左右的圆锥

证明如下 :
2 设 B ( t2 1 , t 2 ≠1 ) , 则直 1 , 2 t1 ) , C ( t2 , 2 t2 ) ( t1 ≠

曲线问题 . 这些题目源于课本而高于课本 , 背景深 刻 , 综合性强 , 方法灵活 , 能有效地考查不同层次考 生的思维品质 .
x y 2 + 2 = a b 1 ( a > b > 0) 中 , 记左焦点为 F , 右顶点为 A , 短轴上
2 2

线 B C 的方程为

y - 2 t1 x - t1 = 2 , 化简得 2 t2 - 2 t1 t2 2 - t1

2

2 x - ( t1 + t2 ) y + 2 t1 t2 = 0.

∵直线 B C 过点 ( 5 , - 2) , ∴ 10 + 2 ( t 1 + t 2 ) + 2 t 1 t 2 = 0 , 即 ( t 1 + 1 ) ( t 2 +
1) = - 4 . 2 t1 - 2 2 t2 - 2 4 ?2 = ( t 1 + 1 ) ( t 2 + 1) t2 t2 - 1 1 - 1

例 1  ( 2000 年全国联赛试题) 在椭圆

方的 端 点 为 B . 若 该 椭 圆 的 离 心 率 为 ∠A B F =
.

5- 1 ,则 2

∴ k AB ? kA C =
= - 1.

故 A B ⊥A C , 即 △A B C 为直角三角形 , 选 ( C) . 说明   本题也可以设直线 B C 的方程为 x = k
( y + 2) + 5 , 代入 y 2 = 4 x , 应用韦达定理来解 .

讲解   离心率揭示了椭圆中三个基本量 a , b , c 的关系 , 而 △A B F 的三边长可以用 a , b , c 来表示 , 要求 ∠A B F 的大小 , 容易联想到余弦定理 . 设 c 为椭圆的半焦距 , 则由
2 2 2

例 3  ( 1999 年全国联赛试题 ) 给定点 A ( - 2 ,
2) , 已知 B 是椭圆
x2

c 5- 1 = ,得 a 2
2

25

+

y2

16

= 1 上的动点 , F 是左焦

c + ac - a = 0 , 即 ac = a - c .

因为| A B | 2 = a2 + b2 , | B F| 2 = a2 , 所以| A B | 2 + | B F| 2 = 2 a2 + b2 = 3 a2 - c2 . 又 | A F| 2 = ( a + c) 2 = a2 + 2 ac + c2 = 3 a2 - c2
= | A B | 2 + | B F| 2 ,

点 . 当| A B | +

5 | B F| 取最小值时 , 求 B 点的坐标 . 3 讲解   在圆锥曲线中 , 对于涉及曲线上的点与

焦点的距离问题 , 可考虑转化为该点到准线的距离 , 问题就容易得到解决 . 设椭圆的长半轴 、 短半轴 、 半焦距 、 离心率分别
3 , 左准线为 5 25 25 x= . 如图 1 , 过点 B 作左准线 x = 的垂线 , 3 3 25 | B F| 3 垂足为 N , 则 | B N | = x + , = e= , 从而 3 | BN| 5 5 | B N | = | B F| . 3 5 所以  | A B | + | B F| 3 = | AB| + | BN| .

故 ∠A B F = 90° .
5- 1 的椭圆称 2 之为 “黄金椭圆” , 它给人以不扁不臌的感觉 . 读者不

说明  我们把离心率为黄金比

为 a , b , c , e ,则 a = 5 , b = 4 , c = 3 , e =

难证明 , 双曲线也有类似的性质 . ( 本试题是由笔者 提供的) 例 2  ( 1999 年全国联赛试题) 已知点 A ( 1 , 2 ) , 过点 ( 5 , - 2) 的直线与抛物线 y 2 = 4 x 交于另外两点
B , C , 那么 △A B C 是 (    )

( A) 锐角三角形 .   (B) 钝角三角形 . ( C) 直角三角形 .   ( D) 答案不确定 .

当 A , B , N 三点共线 , 即 取 A , B , M 位置时 , | A B | +
| B N | 最短 . 这时点 A , B 的

讲解   可先就特殊情况进行探索 , 再加以证明 . 例如 , 当 B C ⊥x 轴时 , 则 B ( 5 , 2 5 ) , C ( 5 , - 2 5 ) , 计算得 k AB ? k A C = - 1 . 猜想 : △A B C 为直角三角形 .

纵坐标相等 , 都是 2 , 代入椭

图1   例3 解 答 用 图

44
圆方程 , 求得 x = 5 3. 2

数 学 通 讯               2002 年第 12 期 是钝角三角形 , 是出于对图形的观察 . 另外 , 对点 P ,
Q , R 横坐标的排序 , 也是解答本题的一个技巧 . 第

5 3 ,2 . 2 说明   上述解法应用了椭圆的第二定义 , 更贴

故点 B 的坐标为 近课本内容 .

2) 小题充分利用了图形的对称性 , 从而使问题变得

非常的简单 . 例 5  ( 1998 年全国高中联赛试题) 已知抛物线
2 y = 2 px 及定点 A ( a , b) , B ( - a , 0 ) ( ab ≠0 , b ≠ 2

例 4  ( 1997 年全国联赛试题 ) 设双曲线 xy = 1 的两支为 C1 , C2 , 正 △PQ R 的三顶点位于此双曲线 上.
1) 求证 :点 P , Q , R 不能都在双曲线的同一支

2 pa) , M 是抛物线上的点 , 设直线 A M , B M 与抛物

线的另一交点分别为 M 1 , M 2 . 求证 : 当 M 点在抛物 线上变动时 ( 只要 M 1 , M 2 存在 , 且 M 1 ≠M 2 ) , 直线
M 1 M 2 恒过一个定点 , 并求出这个定点的坐标 .

上;
2 ) 设 P ( - 1 , - 1) 在 C2 上 , Q , R 在 C1 上 , 求顶

讲解   这里 M , M 1 , M 2 都是抛物线上的点 , 它 们的坐标都应满足抛物线的方程 . 另外 , A , M , M 1 三点共线 , B , M , M 2 三点共线 , 在这些条件限制下 , 我们先来研究直线 M 1 M 2 的变动规律 . 设点 M , M 1 , M 2 的 坐 标 分 别 为
2 y1

点 Q , R 的坐标 . 讲解   对于第 1) 小题 , 可考虑用反证法 . 对于第
2) 小题 , 要充分挖掘题设中的隐含条件 , 应用对称

性 , 巧设点的坐标 , 利用正三角形三边相等建立点坐 标的方程 .
1) 假设顶点 P , Q , R 位于双曲线的同一支 C1
(第一象限 ) 上 , 其 坐 标 分 别 为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) , 不妨设 0 < x 1 < x 2 < x 3 , 则必有 y 1 > y 2 > y 3 > 0 . 于是 , 有

y2 0 ,y 2p 0

,

2p

, y1 y2 1

,

2 y2

2p
y2 0

, y 2 . 由 A , M , M 1 三点共线 , 得 y2 0

2p

-

2p

y1 - y0
2 2

=

2p

- a
, 即 y1 =

y0 - b

by 0 - 2 pa y0 - b

( 1) ( 2)

| PQ | 2 + | R Q | 2 - | PR |
2

= [ ( x 1 - x 2 ) + ( x 2 - x 3 ) - ( x 1 - x 3 ) 2 ] + [ ( y1 2 2 2 y 2 ) + ( y 2 - y3 ) - ( y 1 - y 3 ) ] 2 = (2 x2 2 - 2 x 1 x 2 - 2 x 2 x 3 + 2 x 3 x 1 ) + ( 2 y2 - 2 y1 y2 -

同理 , 由 B , M , M 2 共线 , 得 y 2 =   y1 y 2 = y ( y 1 + y 2 ) - 2 px

2 pa
y0

设 P ( x , y ) 是直线 M 1 M 2 上的点 , 则有
( 3)

2 y2 y3 + 2 y3 y1 ) = 2 ( x 2 - x 1 ) ( x 2 - x 3 ) + 2 ( y 2 - y 1 ) ( y 2 - y3 ) < 0 ,

由 ( 1) , ( 2) , ( 3) 消去 y 1 , y 2 , 整理得
( 2 px - by ) y 2 0 + 2 pb ( a - x ) y 0 + 2 pa ( by - 2 pa)

因此 , | PQ | 2 + | Q R | 2 < | PR | 2 . 这说明 △PQ R 是钝角三角形 , 与 △PQ R 为正 三角形矛盾 , 故点 P , Q , R 不能位于双曲线的同一 支上 .
2) 注 意 对 称 性 , 易 知
PQ 的倾斜角为 75° , PR 的

= 0.

上式对任意的实数 y 0 恒成立的充要条件是
2 px - by = 0 ,
a- x =0, by - 2 pa = 0 .

  解得 x = a , y =

2 pa
b .

.

故动直线 M 1 M 2 恒过定点 a ,

2 pa
b

倾斜角为 15° . ( 如图 2 ) , 不 妨设 Q
1) , 则 R
x0 ,

说明   上述解法以 y 0 为参变数为突破口 , 应用 恒等式的定义 , 确定了动直线过定点 a ,
2 pa
b . x + a2
2

1
x0

( 0 < x0 <

1
x0

, x0 .
图2  例 4 解答用图
2

例 6  ( 2001 年全国联赛试题) 设曲线 C1 :
2

由 | PQ | = | PR | =
| Q R| ,得
( x 0 + 1) 2 +

y = 1 ( a 为正常数 ) 与 C2 : y = 2 ( x + m ) 在 x 轴上

方仅仅有一个公共点 P.
1
x0
2

+1

= 2 x0 -

1
x0

2

,

1) 求实数 m 的取值范围 ( 用 a 表示) ; 2) O 为原点 , 若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A , 1 时 , 试求 △OA P 面积的最大值 ( 用 a 表 2

化简得 x 0 +

1
x0

= 4 . 解得 x 0 = 2 - 3 .

当0< a< 示) .

故 Q (2 - 3 , 2 + 3) , R (2 + 3 , 2 - 3) . 说明   对于第 1) 小题 , 之所以想到证明 △PQ R

讲解   可将曲线 C1 与 C2 的公共点的个数问题

2002 年第 12 期               数学通讯

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1 1 ∴当 0 < a ≤ 时 , a a - a2 ≤ a 1 - a2 ; 3 2 1 1 1 当 < a < 时 , a a - a2 > a 1 - a2 . 3 2 2

转化为研究方程组解的个数问题 .
1) 由
x 2 2 + y =1, a y = 2 ( x + m) , x 2 + 2 a2 x + 2 a2 m - a2 = 0 ( 1)
2 2

消去 y , 得

问题转化为方程 ( 1) 在区间 ( - a , a) 上有惟一解 或两个相等的实根 . 设 f ( x ) = x 2 + 2 a2 x + 2 a2 m a .
2

故 ( S △OA P) max =

1 a 2
a

1 - a2 0 < a ≤
a- a
2

1 3
.

;

1 1 < a< 3 2 说明   本题主要考查考生思维的严谨性 .

2 时 , x p = - a . 由 - a < - a < a , 得 0 < a < 1 . 这时方
2 2

当 Δ = 4 a4 - 4 ( 2 a2 m - a2 ) = 0 , 即 m =

a2 + 1

习    题
1 . ( 1997 年全国联赛试题) 在平面直角坐标系

程 ( 1) 有等根 . 当 f ( - a) ? f ( a ) < 0 , 即 - a < m < a 时 , 方程
( 1) 在区间 ( - a , a) 内有一根 ( 另一根在区间外) .

中 , 若方程 m ( x 2 + y 2 + 2 y + 1) = ( x - 3 y + 3) 2 表示 的曲线为椭圆 , 则 m 的取值范围为
). A. ( 0 , 1) .       B. ( 1 , + ∞ ). C. ( 0 , 5) .       D. ( 5 , + ∞
2

(    )

当 f ( - a ) = 0 , 即 m = a 时 , x p = a - 2 a2 . 由
- a < a - 2 a < a , 得 0 < a < 1 . 这时方程 ( 1 ) 在区间
( - a , a) 内有惟一解 ; 当 f ( a ) = 0 , 即 m = - a 时 , xp = - a - 2 a . 由 - a < - a - 2 a < a ,得 a ∈ . 故 m ≠- a. a2 + 1
2 2 2

+ (y 4 2 2 a) = 1 与抛物线 x = 2 y 有公共点 , 则实数 a 的取

2 . ( 1998 年全国联赛试题 ) 若椭圆

x

值范围是
x
2

.

3 . ( 1999 年全国联赛试题 ) 已知点 P 在双曲线
,或 - a <

综合上述 , 当 0 < a < 1 时 , m =
m ≤a ; 当 a ≥ 1 时, - a < m < a,

2 1 ay p . 2

16

-

y

2

9

= 1 上 , 并且 P 到这条双曲线的右准线的距

2) ∵ A ( - a , 0) , ∴ S △OA P =

离恰是 P 到这条曲线的两个焦点的距离的等差中 项 , 那么点 P 的横坐标是
.

1 当0< a< 时 , 由 1 ) 知 - a < m ≤a 或 m = 2 2 a +1 . 若 - a < m ≤a , 由方程 ( 1) 得 2
xp = - a + a
2

4 . ( 2000 年全国联赛试题 ) 已知曲线 C0 : x 2 +
y = 1 和 C1 : x2 y2 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) . 试问 :当且仅当 a b a , b 满足什么条件时 , 对 C1 上任意一点 P , 均存在
2

a2 + 1 - 2 m .
2

以 P 为顶点 、 与 C0 外切 、 与 C1 内接的平行四边形 ? 并证明你的结论 .
5 . ( 1999 年希望杯邀请赛试题 ) 已知点 A ( 5 , 0) 和曲线 y = 2 5 ) 上的点 P1 , P2 , - 1 ( 2 ≤x ≤ 4 …, Pn , 若| A P1 | , | A P2 | , …, | A Pn | 成等差数列 , 并
x
2

xp 显然 , x p > 0 , 从而 y p = 1 - 2 . a 要使 y p 最大 , 则 x p 应最小 , 易知当 m = a 时 , ( x p ) min = a - 2 a2 . 从而 ( y p ) max = 2 a - a2 .

故此时 ( S △OA P) max = a 当 m =
1- a .
2

2 a- a .

a +1

2

2

时 , x p = - a2 , 从 而 y p =

1 1 且公差 d ∈ 5 , , 求 n 的最大值 . 5

故此时 S △OA P =

1 a 2
2

1 - a2 . 1
b2

习题参考答案
17 64 1 1 . ( D) .   2 . - 1 ≤a ≤ .   3. .   4. 2 8 5 a + = 1 ( 证明略) ;   5 . n 的最大值为 14 .

1 下面比较 a a - a 与 a 1 - a2 的大小 . 2 2 1 1 ∵ ( a a - a2 ) 2 = …= a 1 - a2 2 4 ( 3 a - 1) ( 1 - a) ,

( 收稿日期 :2002 - 04 - 08)



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