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山西省太原外国语学校2015年高二理科数学暑假作业 第二部分:导数



第二部分:导数
一、选择题: 1.函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2
B. ? 0,1?

) C. ?1, ?? ? ) D. ? 0, ?? ?

A. ? ?1,1? 2.若 f′(x)=3,则 A.3 1 B. 3

f(x0-m)-f(x0)

等于( 3m
C.-1 D.1

3.若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 在点 (1, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A. a ? ?1, b ? 2 B. a ? 1, b ? 2 C. a ? 1, b ? ?2 ) D.ln 2



D. a ? ?1, b ? ?2

4.设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为 ( A.e
2

B.e

ln 2 C. 2

5.已知 f ( x) ? x 3 ? ax 在[1,+ ? )上是单调增函数,则 a 的最大值是 ( A.0 B.1 C.2



D.3 π π ? ? 6.已知函数 f(x)=x-sin x,若 x1,x2∈?- , ?,且 f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式 ? 2 2? 中正 确的是( ) A.x1>x2 B.x1<x2 C.x1+x2>0 D.x1+x2<0 3 7.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( ) 1 A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1 D.0<a< 2 8.函数的 f ( x) ?

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 图像经过四个象限,则实数 a 的取值范围是 3 2
( )

A. ?

6 3 ?a?? 5 16

B.a ? ?

6 5

C. ?

9.已知函数 y ? f ? x ? 对于任意的 x ? (?

? ?

6 3 ?a?? 5 16

D.a ? ?

3 16

, ) 满足 f ? ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? 0 (其中 2 2


f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数) ,则下列不等式不成立的是(
A. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

3

C. f (0) ?

2f( ) 4
x 2

?

4

B. 2 f ( ?

?

) ? f (? ) 3 4

?

D. f (0) ? 2 f ( )

?

3

10.已知函数 f ( x) ? ex , g (x ) ? ln ? 最小

1 的图象分别与直线 y ? m 交于 A, B 两点 , 则 | AB | 的 2

值为( A.2 二、填空题

) B. 2 ? ln2 C. e2 ?

1 2

D. 2e ? ln

3 2

11.设曲线 y ?

2 ? cos x ? 在点 ( , 2) 处切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则 a ? . sin x 2

12.已知函数 f ?x ? ? f ??

?? ? ? sin x ? cos x ,则 ?2?

?? ? f ? ? =_____ ?4?

13.已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且在(0,+ ? )上有 f ?? x ? >0,若 f (?1) ? 0 ,那么 关 于 x 的不等式 xf ?x ? ? 0 的解集是_________ 14.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表,

f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象如图所示.
下列关于 f ? x ? 的命题: ①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 与 4; ②函数 f ? x ? 在 ? 0 , 2? 上是减函数; ③如果当 x ? ? ?1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ( x) ? a 零点的个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 . 三、解答题 15.已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a .
3 2

(1)求 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若 f ( x ) 在区间 [?2 ,2] 上的最大值是 20,求它在该区间上的最小值。

3 2 16 . 设 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1 的 导 数 f ?? x ? 满 足 f ??1? =

2a , f ??2? = ? b , 其 中 常 数

a, b ? R .

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)设 g ( x) ? f ?? x ?

e

?x

, 求函数 g ( x) 的极值.

17.已知函数 f ( x ) =x -ax +bx+c 的图象为曲线 E . (1)若函数 f ( x ) 可以在 x=-1 和 x=3 时取得极值,求此时 a,b 的值; (2)在满足(1)的条件下, f ( x ) <2c 在 x∈[-2,6]恒成立,求 c 的取值范围.

3

2

18.已知函数 f ? x ? ?

a ? ln x ,其中 a ? R . x

(1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若不等式 f ? x ? ? 1 在 x ? ? 0, e? 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

19.已知 f ( x) ? 2ax ? (1) 求 a , b 的值;

1 b ? ln x 在 x ? 1 与 x ? 处都取得极值. 2 x

( 2 )设函数 g (x) = x ? 2mx+m,若对任意的 x1 ? [
2

1 1 ,2] ,总存在 x2 ? [ ,2] ,使得、 2 2

g (x1 ) ? f (x2 ) ? ln x2 ,求实数 m 的取值范围。

20.已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? a)e
2

?x

.

(I)若函数 y ? f ( x) 在点(0, f (0) )处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (II)当 x ? ?0, 4? 时, f ( x) ? e?4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

第二部分:导数 答案: 1---10 BCABD CBCAB 11.1 12.0 13. x x ? ?1或0 ? x ? 1

?

?

14.①②⑤

15.解: (1) f ' ( x) ? ?3x 2 ? 6 x ? 9 , 令 f ' ( x) ? 0 得: x ? ?1 或 x ? 3 故 f ( x) 在 (??, ? 1) 和 (3, ? ?) 上单调递减。……………6 分 (2)由(1)可知, f ( x) 在 x ? [?2,2] 上的最大值为 f (?2) 或 f ( 2) 取得。

f (?2) = a ? 2 , f (2) ? a ? 22 ? a ? 2
所以 f ( x)max ? f (2) ? a ? 22 ? 20 , a ? ?2 ∴ f ( x) min ? f (?1) ? ?7 16.(1)6x+2y-1=0 (2) g ?x?极小值 ? g ?0? ? ?3 ……………13 分

g ?x?极大值 ? g ?3? ? 15e?3

2 17.解: (1)若函数 f ( x ) 可以在 x=-1 和 x=3 时取得极值,则 f ?( x ) =3x -2ax+b=0

有两个解 x=-1,x=3,易得 a=3,b=-9. (2)由(1)得 f ( x ) =x -3x -9x+c,根据题意:c> x -3x -9x(x∈[-2,6])恒 成立,∵函数 g(x)= x -3x -9x(x∈[-2,6])在 x=-1 时有极大值 5(用求导的方法) 且在端点 x=6 处的值为 54, 3 2 ∴函数 g(x)=x -3x -9x(x∈[-2,6])的最大值为 54,∴c>54. 18. 解: (1)当 a ? 0 时, 在定义域 (0, ??) 上单调递增; 当 a ? 0 时, 单调递增区间:( a, ??) ,单调递减区间: (0, a ) ;(2) a ? 1
3 2 3 2 3 2

a 1 x?a ? ? 2 ,……………………2分 x2 x x ①当 a ? 0 时,? x ? 0,? x ? a ? 0,? f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在定义域 (0, ??) 上单调递增;……………………4分 ②当 a ? 0 时,当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 0 ? x ? a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. ? 函数 f ( x) 的单调递增区间: (a, ??) ,单调递减区间: (0, a ) ………………7分 a a (2) f ( x) ? 1 ? ? ln x ? 1 ? ? ? ln x ? 1 ? a ? ? x ln x ? x 对任意 x ? ? 0, e? 恒成立 x x 令 g ( x) ? ? x ln x ? x, x ? ? 0, e? ,所以由g ?( x) ? ? ln x ? 0得x=1 ………………10分
解析: (1)定义域为 (0, ??), f ?( x) ? ?

? g ( x) 在 x ? (0,1] 上单调递增,在 x ? ?1, e? 上单调递减 ? g ( x)max ? g (1) ? 1 ,? a ? 1 ……………………12分.
19.解: (Ⅰ)

? f ( x) ? 2ax ?
.1 分

b b 1 ? ln x,? f ?( x) ? 2a ? 2 ? ............................... x x x

? f ( x) ? 2ax ?

1 b ? ln x 在 x ? 1 与 x ? 处都取得极值 2 x ? 2a ? b ? 1 ? 0 1 1 ∴ f ?(1) ? 0 , f ?( ) ? 0 , ∴ ? 解得: a ? b ? ? .............4 2 3 ?2a ? 4b ? 2 ? 0


1 ? 2( x ? 1)( x ? ) 1 2 1 1 2 ? 当 a ? b ? ? 时, f ( x) ? ? ? 2 ? = , 3 3 3x x 3x 2 1 所以函数 f ( x ) 在 x ? 1 与 x ? 处都取得极值. 2


a?b??

1 3

.........................................

............6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 y =f ( x) ? ln x ? ? ∴

1 2 1 2] 上递减, x+ 在 [ , 2 3 3x

[f (x) ? ln x]min =f (2)= ?

7 . ..................................................... 6

................... 8 分 又 函数 g (x) = x ? 2mx+m 图象的对称轴是 x=m
2

(1)当 m <

1 1 1 1 1 7 ? ? 成立, ∴ m < 时: g (x ) min =g ( )= ,依题意有 2 2 2 4 4 6

(2)当

1 7 ? m ? 2 时: g (x)min =g (m)=m ? m2 , ∴ m ? m 2 ? ? ,即 6m2 ? 6m ? 7 ? 0 , 2 6
又∵

解得:

3 ? 51 3+ 51 ?m? 6 6

1 1 3+ 51 ? m ? 2 ,∴ ? m ? 2 2 6 7 31 , ?m ? , 又 m >2 ,∴ 6 18

(3)当 m >2 时: g (x)min =g (2)=4 ? 3m ,∴ 4 ? 3m ? ?

m ??
综 上 :

m?

3+ 51 6


................................................................

... 12 分 所 以





m













( ? ?,

3+ 51 ] 6

.....................................13 分

20. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

点 (0, f (0)) 的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, 所以 1 ? a ? 3 , a ? ?2 . (Ⅱ) f ?( x) ?

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1? a ,由条件知 f ?(0) ? 1 ? a ,因为函数 f ( x ) 在 ex

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ?(ax ? 1 ? a )( x ? 1) ? ex ex ①当 a ? 0 时, x ? 1 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数;在 (1,4) 上,有 f ?( x ) ? 0
?4 函数 f ( x ) 是减函数, f (0) ? 0, f (4) ? 4e

函数 f ( x ) 的最小值为0,结论不成立.

②当 a ? 0 时, x1 ? 1, x2 ? 1 ?

(1)若 a ? 0 , f (0) ? a ? 0 ,结论不成立

1 a

1 ? 0 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数; a 在 (1,4) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数,
(2)若 0 ? a ? 1 ,则 1 ?

? f (0) ? e ?4 ?4 只需 ? ,所以 e ? a ? 1 ?4 ? f (4) ? e 1 1 (3)若 a ? 1 ,则 0 ? 1 ? ? 1 ,在 (0,1 ? ) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数; a a 1 (1 ? ,1) ,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数; 在 a 在 (1,4) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数. 1 ? 1 1 ? f (1 ? ) ? e ? 4 ? ? 函数在 x ? 1 ? 有极小值, f ( x) min ? ? f (1 ? ), f (4)? 只需 ? a a a ? ? ? f ( 4 ) ? e ?4 ?

1 1 ? 3? ? ?3? ?2 a ? 1 ? e a 得到 ? ,因为 2a ? 1 ? 1, e a ? 1 ,所以 a ? 1 . ? ? 17a ? 4 ? 1 ?4 综上所述可得 a ? e .



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