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2017年新课标3理科数学含答案



2017 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)

理科数学
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

) x ? y ? 1 ,B= ( x, y│ ) y ? x ,则 A ? B 中元素的个数为 1.已知集合 A= ( x , y│
2 2

?

?

?

?

A.3

B.2

C.1

D.0

2.设复数 z 满足(1+i)z=2i,则∣z∣= A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳 4.( x + y )(2 x - y )5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为

A.-80 5 .已知双曲线 C :

B.-40

C.40

D.80

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a > 0,b > 0) 的一条渐近线方程为 y ? x , 且与椭圆 2 a b 2

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,则 C 的方程为 12 3 x2 y 2 ? ?1 A. 8 10
6.设函数 f(x)=cos(x+

x2 y 2 ? ?1 B. 4 5
? ),则下列结论错误的是 3

x2 y 2 ? ?1 C. 5 4

x2 y 2 ? ?1 D. 4 3

A.f(x)的一个周期为?2π C.f(x+π)的一个零点为 x=

B.y=f(x)的图像关于直线 x=

8? 对称 3

? 6

D.f(x)在(

? ,π)单调递减 2

7.执行下面的程序框图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为

A.5

B.4

C .3

D.2

8.已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的 体积为 A. π B.

3π 4

C.

π 2

D.

π 4

9.等差数列 ?an ? 的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6 成等比数列,则 ?an ? 前 6 项的和 为 A.-24 B.-3 C .3 D.8

10.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为 a 2 b2

直径的圆与直线 bx ? ay ? 2ab ? 0 相切,则 C 的离心率为

A.

6 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

11.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? a(e x?1 ? e? x?1 ) 有唯一零点,则 a= A. ?

1 2

B.

1 3

C.

1 2

D.1

12. 在矩形 ABCD 中, AB=1, AD=2, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若 AP = ?

??? ?

??? ? ???? AB + ? AD ,则 ? + ? 的最大值为
A.3 B.2 2 C. 5 D.2

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

?x ? y ? 0 ? 13.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 3x ? 4 y 的最小值为__________. ?y ? 0 ?
14.设等比数列 ?an ? 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则 a4 = ___________.
? x ? 1,x ? 0, 1 15.设函数 f ( x) ? ? x 则满足 f ( x) ? f ( x ? ) ? 1 的 x 的取值范围是_________。 2 ?2 ,x ? 0,

16.a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a, b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线 AB 与 a 成 60° 角时,AB 与 b 成 30° 角; ②当直线 AB 与 a 成 60° 角时,AB 与 b 成 60° 角; ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45° ; ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60° ; 其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号) 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)

△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinA+ 3 cosA=0,a=2 7 ,b=2. (1)求 c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD ? AC,求△ABD 的面积. 18.(12 分) 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元, 未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求 量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最 高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为 了确定六月份的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布表: 最高气温 天数 [10,15) 2 [15,20) 16 [20,25) 36 [25,30) 25 [30,35) 7 [35,40) 4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的 进货量 n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值? 19.(12 分) 如图,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD, AB=BD.

(1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC; (2) 过 AC 的平面交 BD 于点 E, 若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分, 求二面角 D–AE–C 的余弦值. 20.(12 分) 已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 与 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直 径的圆.

(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线 l 与圆 M 的方程. 21.(12 分) 已知函数 f ( x ) =x﹣1﹣alnx. (1)若 f ( x) ? 0 ,求 a 的值; (2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1+ 值. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](10 分)
? x ? 2+t , 在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为 ? (t 为参数),直线 l2 的参数方程 ? y ? kt ,

1 1 1 )(1+ 2 )?(1+ n ) ﹤m,求 m 的最小 2 2 2

? x ? ?2 ? m, ? 为? .设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. (m为参数) m y? , ? k ?
(1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ(cosθ+sinθ)- 2 =0, M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径. 23.[选修 4 - 5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=│x+1│–│x–2│. (1)求不等式 f(x)≥1 的解集; (2)若不等式 f(x)≥x2–x +m 的解集非空,求 m 的取值范围.

2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题正式答案
一、选择题

1.B 7.D

2.C 8.B

3.A 9.A

4.C 10.A

5.B 11.C

6.D 12.A

二、填空题 15.(-

13. -1 三、解答题 17.解:

14. -8

1 , +?) 4

16. ②③

(1)由已知得 tanA= ? 3,所以A= 在 △ABC 中,由余弦定理得

2? 3

2? ,即c 2 +2c-24=0 3 解得c ? ?(舍去), 6 c=4 28 ? 4 ? c 2 ? 4c cos
(2)有题设可得 ?CAD =

?
2

,所以?BAD ? ?BAC ? ?CAD ?

?
6

1 ? AB ?AD ? sin 2 6 ?1 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 1 AC ?AD 2
又△ABC 的面积为 18.解: (1)由题意知, X 所有的可能取值为 200,300,500,由表格数据知
P ? X ? 200? ? P ? X ? 300? ?
P ? X ? 500? ?

1 ? 4 ? 2 sin ?BAC ? 2 3,所以?ABD的面积为 3. 2

2 ? 16 ? 0.2 90 36 ? 0.4 90
25 ? 7 ? 4 ? 0.4 . 90

因此 X 的分布列为

X
P

200

300

500

0.2

0.4

0.4

⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑 200 ≤ n ≤ 500

当 300 ≤ n ≤ 500 时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间 ? 20,,25? ,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n; 因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当 200 ≤ n ? 300 时, 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n; 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。 19.解: (1)由题设可得, ?ABD ? ?CBD, 从而AD ? DC 又 ?ACD 是直角三角形,所以 ?ACD =900 取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO 又由于 ?ABC是正三角形,故BO ? AC 所以 ?DOB为二面角D ? AC ? B的平面角
在Rt ?AOB中,BO 2 ? AO 2 ? AB 2 又AB ? BD, 所以 BO 2 ? DO 2 ? BO 2 ? AO 2 ? AB 2 ? BD 2,故?DOB=900 所以平面ACD ? 平面ABC

(2)

由题设及 (1) 知,OA, OB, OD 两两垂直, 以 O 为坐标原点, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O -xyz ,则

??? ? ??? ? 的方向为 x 轴正方向, OA OA

A(1, 0, 0),B(0,3, 0),C(?1, 0, 0),D(0, 0, 1)

由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的

1 ,从而 E 到平面 ABC 的距离 2

为 D 到平面 ABC 的距离的

? 1 3 1? ,即 E 为 DB 的中点,得 E ? 0, , ? .故 ? 2 2? 2 ? ?

???? ???? ??? ? ? 3 1? AD ? ? ?1, 0, 1?, AC ? ? ?2, 0, 0 ?, AE ? ? ? 1 , ,? ? 2 2? ? ?

???? ?x ? z ? 0 ?n?AD ? 0, ? ? ? 设 n = ? x, y,z ? 是平面 DAE 的法向量,则 ? ??? 即? ? 3 1 y? z ?0 n ? AE ? 0 , ? ?? x ? ? 2 2 ?
可取 n = ? 1,

? ? ?

3 ? ,1 ? 3 ? ?

???? ? ?m ?AC ? 0, 设 m 是平面 AEC 的法向量,则 ? ??? 同理可得 m ? 0, ?1, 3 ? ? ?m ?AE ? 0,

?

?

则 cos n , m ?

n?m 7 ? n m 7
7 7

所以二面角 D-AE-C 的余弦值为 20.解

(1)设 A? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ?,l : x ? my ? 2 由?

? x ? my ? 2 ? y ? 2x
2

可得 y2 ? 2my ? 4 ? 0,则 y1 y2 ? ?4
2

?y y ? y12 y22 又 x1 = ,x2 = ,故x1 x2 = 1 2 =4 2 2 4
因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 所以 OA⊥OB 故坐标原点 O 在圆 M 上. (2)由(1)可得 y1 +y2 =2m,x1 +x2 =m ? y1 +y2 ?+4=2m 2 ?4
2 故圆心 M 的坐标为 m +2,m ,圆 M 的半径 r ?

y1 y2 -4 ? = =-1 x1 x2 4

?

?

?m

2

? 2? ? m2
2

由于圆 M 过点 P(4,-2) ,因此 AP?BP ? 0 ,故 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? ? ? y1 ? 2?? y2 ? 2? ? 0 即 x1 x2 ? 4 ? x1 +x2 ? ? y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 20 ? 0 由(1)可得 y1 y2 =-4,x1 x2 =4 , 所以 2m ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1或m ? ?
2

??? ? ??? ?

1 . 2

当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1) ,圆 M 的半径为 10 ,圆 M 的方程为 ? x ? 3 ? ? ? y ? 1? ? 10
2 2

当m ? ?

1 ?9 1? 时,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,圆心 M 的坐标为 ? , - ? ,圆 M 的半径为 2 ?4 2?
2 2

85 9 ? ? 1 ? 85 ? ,圆 M 的方程为 ? x ? ? + ? y+ ? ? 4 4 ? ? 2 ? 16 ?
21.解: (1) f ? x ? 的定义域为 ? 0, +? ? . ①若 a ? 0 ,因为 f ? ? =- +a ln 2<0 ,所以不满足题意; ②若 a>0 ,由 f ' ? x ? ? 1 ?

?1? ?2?

1 2

a x?a ? 知,当 x ? ? 0,a ? 时, f ' ? x ?< 0 ;当 x ? ? a, +?? 时, x x

f ' ? x ?>0 , 所 以 f ? x ? 在 ? 0,a ? 单 调 递 减 , 在 ? a, +? ? 单 调 递 增 , 故 x=a 是 f ? x ? 在 x ? ? 0, +?? 的唯一最小值点.
由于 f ?1? ? 0 ,所以当且仅当 a=1 时, f ? x ? ? 0 . 故 a=1 (2)由(1)知当 x ? ?1 , +?? 时, x ? 1 ? ln x>0 令 x =1+

1 ? 1? 1 得 ln ? 1+ n ? < n ,从而 n 2 ? 2 ? 2

1 1 ? 1? ? 1? ? 1? 1 1 ln ? 1+ ? + ln ? 1+ 2 ? + ??? + ln ? 1+ n ? < + 2 + ??? + n =1- n <1 2 2 ? 2? ? 2 ? ? 2 ? 2 2

故 ? 1+ ?? 1+

? ?

1 ?? 2 ??

1? ? 1? ? ??? ? 1+ ? <e 22 ? ? 2n ? 1 ?? 1 ? ?? 1+ ?>2 ,所以 m 的最小值为 3. 22 ?? 23 ?

而 ? 1+ ?? 1+ 22.解:

? ?

1 ?? 2 ??

( 1 )消去 参数 t 得 l1 的 普通 方程 l1 : y ? k ? x ? 2? ; 消去 参数 m 得 l2 的普 通方 程

l2 : y ?

1 ? x ? 2? k

? y ? k ? x ? 2? ? 设 P(x,y),由题设得 ? ,消去 k 得 x2 ? y2 ? 4 ? y ? 0? . 1 ? y ? ? x ? 2? k ?
所以 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 4 ? y ? 0? (2)C 的极坐标方程为r
2

? cos q
2

? sin2q

, ? ? 4 ? 0<q <2p q

?p

?

2 2 2 ? ?r ? cos q ? sin q ? ? 4 联立 ? 得 cos q ? sin q =2 ? cos q + sin q ?. r cos q + sin q 2=0 ? ? ? ?

q ?? 故 tan
代入r
2

1 9 1 2 sin2q = ,从而 cos q = , 3 10 10
2 2

? cos q - sin q ? =4 得r

2

=5 ,所以交点 M 的极径为 5 .

23.解:

? ?3 , ? (1) f ? x ? ? ?2 x ? 1, ?3, ?

x< ? 1 ?1 ? x ? 2 x>2

当 x< ? 1 时, f ? x ? ? 1 无解; 当 ?1 ? x ? 2 时,由 f ? x ? ? 1 得, 2 x ? 1 ? 1 ,解得 1 ? x ? 2 当 x>2 时,由 f ? x ? ? 1 解得 x>2 . 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 x x ? 1 . (2)由 f ? x ? ? x2 ? x ? m 得 m ? x ? 1 ? x ? 2 ? x2 ? x ,而

?

?

x ? 1 ? x ? 2 ? x 2 ? x ? x +1+ x ? 2 ? x 2 ? x 3? 5 ? =- ? x - ? + 2? 4 ? 5 ? 4
且当 x ?
2

3 5 2 时, x ? 1 ? x ? 2 ? x ? x = . 2 4

故 m 的取值范围为 ? -?, ?

? ?

5? 4?



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