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2013届高三数学一轮复习必备精品第9讲:空间几何体的表面积和体积



2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第9讲
一.【课标要求】

空间几何体的表面积和体积

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。

二.【命题走向】
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知

面积或体 积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几 何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会 运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解 问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测 2010 年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转体 中某些元素有关的计算问题;

三.【要点精讲】
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

1 h(S 上底+S 下底 3

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱 长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2



S侧 S全
V

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、 下底面半径,R 表示半径

四.【典例解析】
9-1

题型 1:柱体的体积和表面积 例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: ?

?2( xy ? yz ? zx) ? 20 ?4( x ? y ? z ) ? 24

(1) ( 2)

由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系。 例 2.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3, AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积

图1 图2 解析:(1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON ⊥AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠ A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而 OM=ON。 ∴点 O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos

1 3 ? =3× = 2 2 3 AM 3 ∴AO= = 2。 ? 2 cos 4
又在 Rt△AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-

9 9 = , 2 2

∴A1O=

3 2 3 2 ? 30 2 。 ,平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ? 2 2

题型 2:柱体的表面积、体积综合问题

9-2

例 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,这个长方体对角线的长是 ( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

解析:设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1,b= l= a ? b ? c ?
2 2 2

2 ,c= 3 ,则对角线 l 的长为

6 ;答案 D。

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱 分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。 解:设三棱柱的高为 h,上下底的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴S△AEF=

1 S, 4

V1=

1 1 1 7 h(S+ S+ S ? )= Sh 4 12 3 4

V2=Sh-V1=

5 Sh, 12

∴V1∶V2=7∶5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型 3:锥体的体积和表面积 例 5. 7. (2009 山东卷理)一空间几何体的三视图如 图所示,则该几何体的体积为( ). A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. E A 2B O D C 2 P

2 3 2? ? 3

2 3 D. 4? ? 3

【解析】 :该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底 面 边长为 2 ,高为 3 ,所以体积为 ?

1 3

? 2? ?
2

3?

2 3 3
2

所以该几何体的体积为 2? ?

2 3 . 3

答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

9-3

计算出.几何体的体积. (2009 四川卷文)如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB 则下列结论正确的是
A. PB ? AD B. 平面PAB ? 平面PBC C. 直线 BC ∥ 平面PAE D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45° 【答案】D 【解析】∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直,所以 A 不成立,又,平面 PAB⊥平面 PAE,所以

平面PAB ? 平面PBC 也不成立;BC∥AD∥平面 PAD, ∴直线 BC ∥ 平面PAE 也不成立。
在 Rt?PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°. ∴D 正确 (2009 全国卷Ⅱ文)设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45° 角的平面 截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于 答案:8π 解析:本题考查立体几何球面知识,注意结合平面几何知识进行运算,由

7? ,则球 O 的表面积等于 4

×

7 ? 2 4 ) 2 ? 8? . S ? 4?R ? 4? (4 14?
例 61.(2009 年广东卷文)(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

9-4

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示. (2)该安全标识墩的体积为: V ? VP ? EFGH ? VABCD ? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ? PO ? HF 又 EG ? HF ? HF ? 平面 PEG 又 BD P HF

? BD ? 平面 PEG;

.

例 7. ABCD 是边长为 4 的正方形, F 分别是 AB、 的中点, 垂直于正方形 ABCD E、 AD GB 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFC 的距离? 解:如图,取 EF 的中点 O,连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 B-EFG。

9-5

设点 B 到平面 EFG 的距离为 h,BD= 4 2 ,EF ? 2 2 ,CO=

3 ×4 2 ? 3 2 。 4

GO ? CO 2 ? GC 2 ? (3 2 ) 2 ? 2 2 ? 18 ? 4 ? 22 。
而 GC⊥平面 ABCD,且 GC=2。 由 VB ? EFG ? VG ? EFB ,得

1 1 EF·GO·h ? S △EFB · 6 3

点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点,△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程 是解这类题的方法,从而简化了运算。 例 8.2009 年上海卷理)已知三个球的半径 R1 ,
A

R2 , R3 满足 R1 ? 2 R2 ? 3R3 ,则它们的表面积

O

D F

S 1 , S 2 , S 3 ,满足的等量关系是___________.
B E C

【答案】 S1 ? 2 S 2 ? 3 S3
2 【解析】S1 ? 4?R1 , S 1 ? 2 ? R1 , 同理: S 2 ? 2 ? R 2

S 3 ? 2 ? R3 ,即 R1=

S1 2 ?



R2=

S2 2 ?

,R3=

S3 2 ?

,由 R1 ? 2 R2 ? 3R3 得 S1 ? 2 S 2 ? 3 S3

例 9.(2009 安徽卷文)(本小题满分 13 分) 如图,ABCD 的边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行,g 和 F 式 l 上的两个不同点,且 EA=ED,FB=FC, (Ⅰ)证明:直线 和 是平面 ABCD 内的两点, 垂直且平分线段 AD: 和 都与平面 ABCD 垂直,

.

(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面 体 ABCDEF 的体积。 【思路】根据空间线面关系可证线线垂直,由分割法可求得多面体体积,体现的是一种部分 与整体的基本思想 【解析】(1)由于 EA=ED 且 ED ' ? 面ABCD ? E ' D ? E ' C
9-6

? 点 E ' 在线段 AD 的垂直平分线上,同理点 F ' 在线段 BC 的垂直平分线上. 又 ABCD 是四方形 ? 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 E ' F ' 都居线段 AD 的垂直平分线上. 所以,直线 E ' F ' 垂直平分线段 AD. (2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E—ABCD 和正四面体 E—BCF 两
.

部分.设 AD 中点为 M,在 Rt△MEE ' 中,由于 ME ' =1, ME ? 3 ? EE ' ? 2 .

?VE —ABCD ? ? S四方形 ABCD ? EE ' ? ? 22 ? 2 ?

1 3

1 3

4 2 3

又 VE —BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC ?

1 1 1 2 2 S? ABC ? EE ' ? ? ? 22 ? 2 ? 3 3 2 3

?多面体 ABCDEF 的体积为 VE—ABCD+VE—BCF= 2 2
例 10.(1)(2009 浙江卷理)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的 中点, F 为线段 EC (端点除外)上一动点.现将 ?AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD ? 平面

ABC .在平面 ABD 内过点 D
作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是 .

答案: ?

?1 ? ,1? ?2 ?

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于 F 位于 DC 的中点时, t ? 1,随着 F 点 到 C 点 时 , 因 CB ? AB, CB ? DK ,?CB ? 平 面 A D B, 即 有 C B? B D 对 于 ,

C D? 2 , B C 1 ? B D ,又 AD ? 1, AB ? 2 ,因此有 AD ? BD ,则有 t ? ? , ? 3
取值范围是 ?

1 ,因此 t 的 2

?1 ? ,1? ?2 ?

.

例 11.3.(2009 浙江卷文)若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积

9-7



cm3 .

【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图,通过三视图的考查充分体现了几何体直观 的考查要求,与表面积和体积结合的考查方法. 【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 ,上面的长方体体积为

3 ? 3 ?1 ? 9 ,因此其几何体的体积为 18

例 12 . 2009 全 国 卷 Ⅰ 理 ) 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO? 中,易得球半径 R ? 球的表面积为 4? R ? 20? .
2

5 ,故此

例 13 . 已 知 过 球 面 上 A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且

AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R ,
则 O?A ?

2 3 2 3 ? ?2 ? , 3 2 3
2 2 2

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O , ∴R ?(
2

2 3 2 1 2 ) ? R , 3 4

∴R?

4 , 3
2

∴ S ? 4? R ?

64 ?。 9

点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。 例 14.如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

9-8

解析:如图,设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面的 距离为 d。 在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。

由正弦定理,得

2a 6 =2r,∴r= a。 sin 60 ? 3

又根据球的截面的性质,有 OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC,
2 2 2 ∴P、O、O′共线,球的半径 R= r ? d 。又 PO′= PA ? r = a ?
2 2

3 2 2 a = a, 3 3

∴OO′=R -

3 3

a=d= R ? r ,(R-
2 2

3 3

a)2=R2 – (

6 2 3 a) ,解得 R= a, 3 2

∴S 球=4π R2=3π a2。 点评:本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内 接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R=

3 a,下略 2

题型 9:球的面积、体积综合问题 例 15. (1)表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相 切的一个小球,求球 O1 的体积。 解:(1)设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,

则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ? 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,
2

2a ,

∴ AC ?

AC ?2 ? CC ?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,
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∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576

9-9

(2)如图,设球 O 半径为 R,球 O1 的半径为 r,E 为 CD 中点,球 O 与平面 ACD、BCD 切于点 F、G,球 O1 与平面 ACD 切于点 H
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由题设

AG ?

AE 2 ? GE 2 ?

6 a 3

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△AOF∽△AEG



6 a?R R 6 3 ? ,得 R ? a 12 3 3 a a 6 2

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△AO1H∽△AOF



6 a ? 2R ? r r 6 3 a ? ,得 r ? 24 R 6 a?R 3
3

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V球O1

4 4 ? 6 ? 6 3 ? ?r 3 ? ? ? a? ? a 3 3 ? 24 ? 1728 ? ?

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点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等 题型 10:球的经纬度、球面距离问题 例 19.(1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球 半径大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过这 三点的截面的距离。 解:(1)如图, A 是北纬 40 上一点, AK 是它的半径,
? ? ?

9-10

∴ OK ? AK , 设 C 是北纬 40 的纬线长, ∵ ?AOB ? ?OAK ? 40 ,
? ?

∴ C ? 2? ? AK ? 2? ? OA ? cos ?OAK ? 2? ? OA ? cos 40

?

? 2 ? 3.14 ? 6370 ? 0.7660 ? 3.066 ?104 (km)
答:北纬 40 纬线长约等于 3.066 ?10 km .
? 4

(2)解:设经过 A, B, C 三点的截面为⊙ O? , 设球心为 O ,连结 OO? ,则 OO? ? 平面 ABC , ∵ AO? ?

3 2 ?12 ? ? 4 3 , 2 3
2 2

∴ OO? ? OA ? OA? ? 11 , 所以,球心到截面距离为 11cm . 例 16.在北纬 45 圈上有 A, B 两点,设该纬度圈上 A, B 两点的劣弧
?

长为

2 ? R ( R 为地球半径),求 A, B 两点间的球面距离 4
?

解:设北纬 45 圈的半径为 r ,则 r ? 圆心, ?AO' B ? ? , ∴?r ? ∴? ?

2 R ,设 O? 为北纬 45? 圈的 4

2 2 2 R? ? ?R, ? R ,∴ 2 4 4
,∴ AB ?

?
2

2r ? R ,

∴ ?ABC 中, ?AOB ?

?
3



所以, A, B 两点的球面距离等于

? R. 3

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,进 而求出这两点的球面距离 2009 江苏卷)(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A B1 C1 中, E 、 F 分别是 A1 B 、 AC 的中点,点 D 在 B1C1 上, 1 1

A1 D ? B1C



9-11

求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C . 【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位 置关系,考查空间想象能力、推理论证能力。满分 14 分

五.【思维总结】
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;
2

(2)体积:V=

2 3 a; 12 2 a; 2

(3)对棱中点连线段的长:d=

(4)内切球半径:r=

6 a; 12
R=

(5)外接球半径

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2.直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角 四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积 V=

1 abc; 6
a 2b2 ? b2c2 ? c2a 2 ;

④底面△ABC=
2

1 2

⑤S △ABC=S△BHC·S△ABC; 2 2 2 2 ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC ⑦

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c
9-12

⑧外切球半径

R=

1 2

a 2 ? b2 ? c2 ;

⑨内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β ,母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,底面半径为 r, 则 sinα =cos α +

? =90° ? 2
cosα =sin

? h = , l 2

? r = . 2 l

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,上、下底面半径分别 为 r ′、r,则 h=lsinα ,r-r′=lcosα 。 ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R - d .
2 2

4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

9-13

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平面 所成的二面角的度数 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

?

5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们 把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式:(其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
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