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2.备课资料(1.1.2 弧度制)



备课资料 一、密位制度量角 度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用密位制.密位制的单位是“密位”.1 密位 就是圆的

1 所对的圆心角(或这条弧)的大小.因为 360° =6 000 密位,所以 6000

1° =

6000 密位 360? ≈16.7 密位,1 密位= =0.06°=3.6′≈216″. 360 6000

密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线,例如 7 密位写成 0—07,读作“零, 零七”,478 密位写成 4—78,读作“四,七八”. 二、备用习题 1.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A.

? 3

B.

? 6

C.1

D.π )

2.圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增大到原来的 2 倍,则( A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 3.下列表示的为终边相同的角的是( )

? ? 与 2kπ+ (k∈Z) 4 4 2? ? C.kπ与 kπ+ (k∈Z) 3 3
A.kπ+

B.

k? ? 与 kπ+ (k∈Z) 2 2

D.(2k+1)π 与 3kπ(k∈Z)

4.已知 0<θ<2π,7θ 角的终边与 θ 角的终边重合,则 θ=________________. 5.已知扇形的周长为 6 cm,面积为 2 cm2,求扇形的中心角的弧度数. 6.若 α∈(-

? ? ,0),β∈(0, ),求 α+β,α-β 的范围,并指出它们各自所在的象限. 2 2

7.用弧度表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包 括边界,如图 4 所示).

图4 8.(1)角 α,β 的终边关于直线 y=x 对称,写出 α 与 β 的关系式; (2)角 α,β 的终边关于直线 y=-x 对称,写出 α 与 β 的关系式. 参考答案: 1.A 2.B 3.C 4.

? 2? 4? 5? , ,π, , 3 3 3 3

5.解:设扇形所在圆的半径为 R,扇形的中心角为 α,依题意有

αR+2R=6,且

1 2 αR =2, 2

∴R=1,α=4 或 R=2,α=1. ∴α=4 或 1. 6.解: ?

?
2

<α+β<

? , 2

∴α+β 在第一象限或第四象限,或 α+β 的终边在 x 轴的非负半轴上. -π<α-β<0, ∴α-β 在第三象限或第四象限,或 α-β 的终边在 y 轴的非正半轴上.

? 5? <θ<2kπ+ ,k∈Z}; 12 6 3? 3? (2){θ|2kπ-<θ<2kπ+ ,k∈Z}; 4 4 ? ? 7? 3? (3){θ|2kπ+ <θ<2kπ+ ,k∈Z}∪{θ|2kπ+ <θ<2kπ+ ,k∈Z} 6 2 6 2 ? ? ={θ|nπ+ θ<nπ+ ,n∈Z}. 6 2 ? 8.解:(1)β= -α+2kπ,k∈Z; 2 ? (2)β= +α+2kπ,k∈Z. 2
7.解:(1){θ|2kπ三、钟表的分针与时针的重合问题 弧度制、角度制以及有关弧度的概念,在日常生活中有着广泛的应用,我们平时所见到的 时钟上的时针、分针的转动,其实质都反映了角的变化.时间的度量单位时、分、秒分别与角 2π(rad),

? ? (rad), (rad)相对应,只是出于方便的原因,才用时、分、秒.时钟上的数学问题 30 1800

比较丰富,下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨. 例题 在一般的时钟上,自零时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数 是多少(在不考虑角度方向的情况下)? 甲生:自零时(此时时针与分针重合,均指向 12)开始到分针与时针再一次重合,设时针转 过了 x 弧度,则分针转过了 2π+x 弧度,而时针走 1 弧度相当于经过 弧度相当于经过

6

2? , ? 11 ? ? 2? 24? ∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是 +2π= (rad). 11 11 30
min,故有

?

h=

360

?

min,分针走 1

360

x=

30

(2π+x),得 x=

乙生:设再一次重合时,分针转过弧度数为 α,则 α=12(α-2π)(因为再一次重合时,时针比分 针少转了一周,且分针的旋转速度是时针的 12 倍),得 α=

24? , 11 24? ∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是 (rad). 11

点评:两名同学得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.甲 同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解,而乙同学则从时针与分针所转过的 弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数 α-2π 与时针所转过的弧度数相

等,利用弧度数之间的关系列出方程求解. ?(设计者:房增凤)



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