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12.5 二项分布及其应用



§12.5 二项分布及其应用
一、选择题 1.甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的纪录知,一年中下雨天甲市占 20%,乙市占 18%,两市同时下雨占 12%.则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为 ( ) B.0.7 D.0.66

A.0.6 C.0.8

解析 甲市为雨天记为事件 A, 乙市为雨天记为事件 B, P(A)=0.

2,(B)=0.18, 则 P

P(AB)=0.12,
∴P(B|A)= 答案 A 2. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A, “骰子向上的点数是 3”为事件 B, 则事件 A, 中至少有一件发生的概率是( B ) 5 1 7 3 A. B. C. D. 12 2 12 4 解析 本题涉及古典概型概率的计算.本知识点在考纲中为 B 级要求.由题意得 1 1 P(A)= ,P(B)= ,则事件 A,B 至少有一件发生的概率是 1-P( A )·P( B )=1 2 6 1 5 7 - × = . 2 6 12 答案 C 3.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 两次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( A.[0.4,1] C.(0,0.6]
1 3

P? AB? 0.12 = =0.6. P? A? 0.2

).

B.(0,0.4] D.[0.6,1]
2 2 2

解析 设事件 A 发生的概率为 p,则 C4p(1-p) ≤C4p (1-p) ,解得 p≥0.4,故 选 A. 答案 A 4.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大 臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚;方法二: 在 5 箱中各任意抽查两枚. 国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记 为 p1 和 p2.则( ).

A.p1=p2 C.p1>p2 1 ? ? ? 99 ? 解析 p1=1-?1- ?10=1-? ?10 100? ? ?100? ? 9 801 ?5 ?, =1-? ?10 000?

B.p1<p2 D.以上三种情况都有可能

p2=1-?

2 ? C99 ?5 ? 98 ?5 ? 2 ? =1-? ?C100? ?100?

则 p1<p2. 答案 B 5.位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位, 2 1 移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 ,向右移动的概率为 ,则质点 3 3 P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( ) 4 8 40 80 A. B. C. D. 243 243 243 243 40 ?2? ?1? 解析 左移两次,右移三次,概率是 C2? ?2? ?3= . 5 ?3? ?3? 243 答案 C 6.袋中有 5 个小球(3 白 2 黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次, 则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( 3 A. 5 1 C. 2 B. D. 3 4 3 10 ).

解析 在第一次取到白球的条件下,在第二次取球时,袋中有 2 个白球和 2 个黑 2 1 球共 4 个球,所以取到白球的概率 P= = ,故选 C. 4 2 答案 C 7.一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 1 为 6 个开关,其闭合的概率都是 ,且是相互独立的, 2 则灯亮的概率是( 1 A. 64 ). B. 55 64

1 C. 8

D.

1 16

解析 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T,

E 与 F 至少有一个不闭合的事件为 R,
1 1 3 则 P(T)=P(R)=1- × = , 2 2 4 所以灯亮的概率 P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)= 答案 B 二、填空题 8.有一批书共 100 本,其中文科书 40 本,理科书 60 本,按装潢可分精装、平 装两种,精装书 70 本,某人从这 100 本书中任取一书,恰是文科书,放回后再 任取 1 本,恰是精装书,这一事件的概率是________. 解析 设“任取一书是文科书”的事件为 A,“任取一书是精装书”的事件为 B, 则 A、B 是相互独立的事件,所求概率为 P(AB). 据题意可知 P(A)= 40 2 70 7 = ,P(B)= = , 100 5 100 10 55 . 64

2 7 7 ∴P(AB)=P(A)·P(B)= × = . 5 10 25 答案 7 25

9.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随 机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________. 解析 设种子发芽为事件 A,种子成长为幼苗为事件 B(发芽,又成活为幼苗)出 芽后的幼苗成活率为:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件概率公式 P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长 为幼苗的概率为 0.72. 答案 0.72 12.三支球队中,甲队胜乙队的概率为 0.4,乙队胜丙队的概率为 0.5,丙队胜 甲队的概率为 0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者 对丙队, 第三局是第二局胜者对第一局的败者,第四局是第三局胜者对第二局败 者,则乙队连胜四局的概率为________. 解析 设乙队连胜四局为事件 A,有下列情况:第一局中乙胜甲(A1),其概率为 1

-0.4=0.6;第二局中乙胜丙(A2),其概率为 0.5;第三局中乙胜甲(A3),其概 率为 0.6; 第四局中乙胜丙(A4), 其概率为 0.50, 因各局比赛中的事件相互独立, 故乙队连胜四局的概率为:P(A)=P(A1A2A3A4)=0.62×0.52=0.09. 答案 0.09 11.将一枚硬币抛掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 ________. 解析 由题意知,正面可以出现 6 次,5 次,4 次,所求概率

P=C6? ?6+C5? ?6+C4? ?6 6 6 6
1+6+15 11 = = . 64 32 答案 11 32

?1? ?2?

?1? ?2?

?1? ?2?

12.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回 答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率 都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋 级下一轮的概率等于________. 解析 由已知条件第 2 个问题答错,第 3、4 个问题答对,记“问题回答正确” 事件为 A,则 P(A)=0.8,

P=P?? A∪ A ? ?

A AA? ?

=(1-P(A)] P(A) P(A)=0.128. 答案 0.128 三、解答题 1 13. 某人向一目标射击 4 次, 每次击中目标的概率为 .该目标分为 3 个不同的部 3 分,第一、二、三部分面积之比为 1∶3∶6.击中目标时,击中任何一部分的概 率与其面积成正比. (1)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (2)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击 中 2 次”,求 P(A). 解析 (1)依题意 X 的分布列为 X P 0 16 81 1 32 81 2 24 81 3 8 81 4 1 81

(2)设 Ai 表示事件”第一次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2. Bi 表示事件”第二次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,A=A1 B1 ∪ A1 B1∪A1B1∪A2B2, 所求的概率为 P(A)=P(A1 B1 )+P( A1 B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P( B1 )+P( A1 )P(B1)+ P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2) =0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28. 14.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人 都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投 1 一张票, 每人投三类票中的任何一类票的概率都为 ,他们的投票相互没有影响, 3 规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃 对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为

P=C2? ?2? ?+C3? ?3= . 3 3
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种 情形: “同意”票 张数 事件 A 事件 B 事件 C 事件 D 0 1 1 0 “中立”票 张数 0 0 1 1 “反对”票 张数 3 2 1 2

?1? ?2? ?3? ?3?

?1? ?3?

7 27

P(A)=C3? ?3= , 3 P(B)=C1? ?3= , 3 P(C)=C1C1? ?3= , 3 2
?1? ?3? 2 9 ?1? ?3? 1 9

?1? ?3?

1 27

P(D)=C1? ?3= . 3
∵A、B、C、D 互斥, ∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= 13 . 27

?1? ?3?

1 9

15.根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: API 级别 0~50 Ⅰ 51~100 Ⅱ 101~150 Ⅲ1 151~200 Ⅲ2 201~250 Ⅳ1 251~ 300 Ⅳ2 中度 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重污 染 >300 Ⅴ 重度 污染

对某城市一年(365 天)的空气质量进行监测,获得的 API 数据按照区间[0,50], (50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率 分布直方图如下图. (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量为良或轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示.已知 57=78 125,27=128, 3 2 7 3 8 123 + + + + = ,365=73×5) 1 825 365 1 825 1 825 9 125 9 125

解析 (1)x=

2 7 3 8 ? 1 ? 3 + + + + ? -? 50 ?1 825 365 1 825 1 825 9 125?

119 = . 18 250 2 ? ? 119 + ?×50×365=219. (2)? ?18 250 365? (3)每天空气质量为良或轻微污染的概率为 P,则 P= 质量为良或轻微污染的天数 3? ? 则 X~B?7, ?, 5? ? 219 3 = ,设 X 是一周内空气 365 5

P(X=0)=C0? ?7, 7 P(X=1)=C1? ?? ?6, 7 P=1-? ?7-
?2? ?5? 7×3×26 57 ?3??2? ?5??5?

?2? ?5?

78 125-128-1 344 = 78 125 76 653 = . 78 125 16.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙 箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个 箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束 后将球放回原箱) (1)求在 1 次游戏中, (ⅰ)摸出 3 个白球的概率; (ⅱ)获奖的概率; (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). 解析 (1)(ⅰ)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0,1,2,3), C2 C1 1 3 2 则 P(A3)= 2· 2= . C5 C3 5 (ⅱ)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3. C2 C2 C1C1 C1 1 3 2 3 2 2 又 P(A2)= 2· 2+ 2 · 2= ,且 A2,A3 互斥, C5 C3 C5 C3 2

1 1 7 所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = . 2 5 10 (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. 7? ? 由于 X 服从二项分布,即 X~B?3, ?. 10? ? 7? 9 ? ∴P(X=0)=?1- ?2= , 10? 100 ?

P(X=1)=C1 ×?1- ?= , 2 P(X=2)=? ?2=
?7? ?10? 49 . 100

7 10

? ?

7? 10?

21 50

所以 X 的分布列是

X P X 的数学期望 E(X)=0×

0 9 100

1 21 50

2 49 100

9 21 49 7 +1× +2× = . 100 50 100 5



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