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20-1.6微积分基本定理(2)



复习课: 微积分基本定理
教学目标
重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义, 并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:理解微积分基本定理的推导.. 能力点:掌握正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系, 培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思

维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错.

学法与教具
1.学法:讲授法、讨论法. 2.教具:投影仪.

一、 【知识结构】
导数的概念 导数 导数运算法则 导数的应用 微 积 分 定积分的概念 定积分 微积分基本定理

二、 【知识梳理】
1.导数的概念; 2.定积分的概念、性质; 3.微积分基本定理; 4.常见基本函数的定积分:

三、 【范例导航】
? ?? ? ?sin x, ? 0 ? x ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? 例 1 已知函数 f ( x ) ? ?1, ? ? x ? 2 ? 先画出函数图象,再求这个函数在 ? 0, 4? 上的定积分. ? ? ?2 ? x ? 1, ? 2 ? x ? 4 ? ? ?
【分析】被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. 【解答】

?

4

0

f ( x)dx ? ? 2 sin xdx ? ?? 1dx ? ? ( x ? 1)dx
0 2 2

?

2

4

1 2 4 ? (? cos x) |02 ? x |2 ? ? ( x ? x ) |2 2 2 ? 1 ? (2 ? ) ? (4 ? 0) ? 7 ? 2 2
【点评】(1)分段函数在区间 ? a, b? 的定积分可分成 n 段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分段标 准进行. (2)带绝对值号的解析式,可先化为分段函数,然后求解.

?

?

?

变式训练:
? x 3 (0 ? x ? 1) ? ? 1.求函数 f ( x) ? ? x (1 ? x ? 2) ,在区间 [0,3] 上的定积分. ?2 x (2 ? x ? 3) ? ?
答案: ?

5 4 4 ? 2? 12 3 ln 2
x

2.设 f ( x) ? e , 求
4 2

?

4

?2

f ( x)dx .

答案: e ? e ? 2 . 例 2 计算下列积分 (1) (2)

?

?

0

x cos 2 dx 2

?

2

0

e2 x dx

【分析】先化简,再求积分,准确找到原函数. 【解答】 (1)

?

?

0

? 1 ? cos x x 1 1 cos 2 dx ? ? dx ? x ? ? sin x 0 0 2 2 2 2

?
0

?

?
2

.

1 1 2x ? 1 2 x ?? ? 2x 2x (2)由 ? e ? ? 2e2 x 知, ? e ? ? e ,则 ? e dx ? e 0 2 ?2 ?

2x

1 0

e2 ? 1 ? . 2

【点评】求定积分应该注意的几点: (1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)对求符合函数的定积分,关键找准原函数.

变式训练
计算下列定积分 (1)
?

?

2 0

cos 2 x dx . cos x ? sin x
2 0

(2)

?

4 ? x 2 dx

答案: (1)2(2) ? . 例 3(2008 年山东)已知函数 f ( x) ? ax2 ? c(a ? 0) ,若 【分析】先求出

?

1

0

f ( x)dx ? f ( x0 ) , 0 ? x0 ? 1 ,求 x0 的值.

?

1

0

f ( x)dx 的值,再列出方程求 x0 的值.

【解答】因为 f ( x) ? ax 2 ? c(a ? 0) ,

且?

?a 3 ?? x ? cx ? ? ax 2 ? c , ?3 ?

所以

?

1

0

1 a ?a ? 2 f ( x)dx ? ? (ax 2 ? c)dx ? ? x3 ? cx ? 1 ? ? c ? ax0 ?c 0 0 3 ?3 ?

解得 x0 ?

3 3 或 x0 ? ? (舍去). 3 3 3 . 3

即 x0 ?

【点评】利用定积分求参数时,注意方程思想的应用.一般地,首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积 函数中含有参数时,必须分清常数和变量,再进行计算;其次要注意积分下限不大于积分上限.

四、 【解法小结】
1.求定积分的一些常用技巧: (1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分. 2. 利用定积分求参数时,注意方程思想的应用.

五、 【布置作业】
必做题: 1.计算下列定积分 (1)

?

2

x

0

e 2 dx

(2)

?

?

0

x sin 2 dx 2
3

(3)

?? cos 2xdx
4 6

?

(4)

?

3

1

2 x dx .

2.计算定积分 (1)

?

2?

0

sin x dx
1 0

(2)
2

?

1

x ? 2 dx .

3.求函数 f (a) ?

? (6x

? 4ax ? a 2 )dx 的最小值.

必做题答案:1.(1) 2e ? 2 (2) 选做题:1.求定积分 (1)

? ?2
4

(3)

1 3 ? 2 4

(4)

6 2.(1)4 (2)1 ln 2

3. 1

?

1

0

(2 x ?1) dx

2

(2)

?

2

1

x2 ? 2x ? 3 dx . x

1 (at 2 ? bt ? 1)dt 为奇函数,且 f (1) ? f (?1) ? ,求 a , b 的值. 3 14 1 5 选做题答案:1.(1) (2) ? ? 3ln 2 2. a ? ? , b ? 0 3 2 2 六、 【教后反思】
2.已知函数 f ( x) ?

?

x

0

本教案的亮点是:一是利用结构图呈现了导数与定积分的关系,是对所学知识的宏观把握;二是例题选 择有代表性,分别为分段函数、复合函数求定积分及定积分的综合应用;三是讲解透彻,学生反映较好.



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