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人教版选修2-2



复习
直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、 公理、定理,直接推理证明结论的真实性。 常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果;分析法的思路是执果索因。

在解决有关问题时,常常把分析法和综合法结合起 来使用。先用分析法寻求解题思路,再用综合法解 答或证明;有时要分析法和综合法结合起来交替使 用。


小故事

路边苦李

古时候有个人叫王戎,7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩,看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了,小伙伴们都跑去摘,只 有王戎站着没动。他说:“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝, 李子果然苦的没法吃。

小伙伴问王戎:“这就怪了!你又 没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”

王戎说:“如果李子是甜的,树 长在路边,李子早就没了!李 子现在还那么多,所以啊,肯 定李子是苦的,不好吃!”

引例
证明:在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个 不小于60°

引例2:
将9个球分别染成红色或白色。那么 无论怎样染,至少有5个球是同色的。你 能证明这个结论吗?
间接证明: 不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。

反证法:
假设命题结论不成立(即命题结论的反面成立), 经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
反证法的一般步骤:
(1)反设:假设命题结论不成立(即假设结论的反面成立); (2)归缪:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)下结论:由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题成立。 归缪矛盾:
(1)与已知条件矛盾;(2)与公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾。

注意:反证法引出矛盾没有固定的模式,需要认真观察、分析, 洞察矛盾。

反证法的思维方法:
正难则反

例1

已知a≠0,证明x的方程ax=b

有且只有一个根。
b 证:由于a ? 0,因此方程至少有一个根x ? a

假设方程ax ? b ? 0(a ? 0)至少存在两个根

不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x2

则ax1 = b,ax2 = b

∴ax1 = ax2

∴ax1 - ax2 = 0
∴a(x1 - x2) =0
∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0

∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立,结论成立。

例2 求证: 2 是无理数。
证明:假设 2不是无理数,则 2是有理数 m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n 2 2

∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2

∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)

从而有4k = 2n ,即n = 2k ?n也是偶数 ∴n2也是偶数,
这与m,n互质矛盾!

2

?假设不成立, ? 2是无理数。

应用反证法的情形:
⑴直接证明困难; ⑵需分成很多类进行讨论. ⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题;

⑷结论为 “唯一”类命题;

反证法的思维方法:正难则反

常见否定用语 是---不是 有---没有 等---不等 成立--不成立 都是--不都是,即至少有一个不是 都有--不都有,即至少有一个没有 都不是-部分或全部是,即至少有一个是 唯一--至少有两个 至少有一个有(是)--全部没有(不是) 至少有一个不-----全部都

练习:证明:圆的两条不全是直径的相 交弦不能互相平分. 已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P,且 AB、CD不全是直径 求证:AB、CD不能互相平分。
C A O P B D

用反证法证明:圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知:如图,在⊙O中,弦AB、 CD交于点P,且AB、CD不是直径. 求证:弦AB、CD不被P平分. 连结 AD、BD、BC、AC,
A O P C B D

证明:假设弦AB、CD被P平分,

因为弦AB、CD被P点平分,所以四边形ACBD是平行四边形 所以 ?ACB ? ?ADB, ?CAD ? ?CBD 因为 ABCD为圆内接四边形 ? ? 所以 ?ACB ? ?ADB ? 180 , ?CAD ? ?CBD ? 180 因此 ?ACB ? 90? , ?CAD ? 90? 所以,对角线AB、CD均为直径,

这与已知条件矛盾,即假设不成立 所以,弦AB、CD不被P平分。

用反证法证明:圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知:如图,在⊙O中,弦AB、 CD交于点P,且AB、CD不是直径. 求证:弦AB、CD不被P平分.
A O

证法二 证明:假设弦AB、CD被P平分,
P

D

C
B

由于P点一定不是圆心O,连结OP, 根据垂径定理的推论,有 OP⊥AB,OP⊥CD, 即过点P有两条直线与OP都垂直,

这与垂线性质矛盾,即假设不成立
所以,弦AB、CD不被P平分。

思考?
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说 C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎,为什么?
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.

总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论

2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?

用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾,自相矛盾等.



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