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2013.4.28 春季高三数学精品小班辅导讲义 7



学乐教育内部讲义

学乐教育 2013 春季高三数学 VIP 辅导讲义
第七讲
1.已知复数 z ?
1? i 2?i

模拟题
.

一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 的虚部为
1 x ? 1 3
2

2.

已知集合 A ? { x |

} , B ? { x | x ? 3 x ? 4 ? 0 , x ? Z } ,则 A ? B ?

. .

3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为 4.根据图中的伪代码,输出的结果 I 为 .

5.已知等差数列 { a n } 的公差为 d ,若 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 的方差为 8 ,则 d 的值为

.

6.如下图所示,在正三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, A B ? 2 , A A1 ? 3 ,点 M , N 在棱 C C 1 , B B 1 上,且
C M ? B 1 N ,则四棱锥 A ? B C M N 的体积为

.

T ?1 I ? 3

While I ? 2 0
T ? T ? I I ? I ?2

End While Print I (第 4 题图) (第 6 题图) (第 7 题图) . .

7.函数 f ( x ) ? 2 s in ( ? x ? ? )( ? , ? 为常数, ? ? 0 ) 的部分图像如图所示,则 f ( ? ) 的值为 8.已知两点 A (3, 2 ) 和 B ( ? 1, 4 ) 到直线 l : m x ? y ? 3 ? 0 的距离相等,则实数 m 的值为
2

9.已知动圆 M 的圆心在抛物线 ? : x ? 2 0 1 2 y 上,且与直线 y ? ? 5 0 3 相切,则动圆 M 过定 点 .
? log 2 (1 ? x ), x ? 0 ? f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0
S 3n Sn

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? ?

,则 f ( 2013 ) 的值为

.

11.已知各项均为正数的等差数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ,若

恒为常数,则

a2 a1

的值为

.

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f ( x ) ? ln x ( x ? 1) 的图像上的动点,该图像在 点 P 处的切线 l 交 x 轴于点 M ,过点 P 作 l 的垂线交 x 轴于点 N ,设线段 M N 的中点的横坐 标为 t ,则 t 的最大值为 . 13.若不等式 x+ y≤ k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,则 k 的取值范围为
1



学乐教育内部讲义
14.在 ? A B C 中,角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c , C ? 1 2 0 , a , b , c 为整数,且 1 3 ? a ? b ,若
a ? b ? c ? 5 ,则 ? A B C 的周长为
?

.

二、解答题(本题共 6 小题,共计 90 分) 15.(本题满分 14 分) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c , a c s in B ? A B ? A C ? (1)求 ta n
A 2

??? ???? ?

1 5

bc .

的值;(2)若 a ? 2 2 ,求 ? A B C 面积的最大值.

16.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, P D ? 平面 A B C D , A B / / C D ,
A D ? D C , E , F 分别为 B C , P A 的中点.

(1)求证: A D ? P C ;(2)求证: E F / / 平面 P C D .

(第 16 题图)

2

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17.(本题满分 14 分) 某公园有个池塘,其形状为直角 ? A B C , ? C ? 9 0 , A B ? 2 0 0 米, B C ? 1 0 0 米. (1)现在准备放养一批供游客观赏的鱼,分别在 A B , B C , C A 上取点 D , E , F ,如图(1),使得
E F / / A B , E F ? E D ,游客可以在 ? D E F 内喂食,求 ? D E F 面积 S 的最大值;
?

(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 A B , B C , C A 上 取点 D , E , F ,如图(2),建造 ? D E F 连廊(不考虑宽度) 供游客休憩,且使 ? D E F 为正三角形,求 ? D E F 边长 的最小值.

18.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 ( a ? 1) x ? 6 a x ( a ? R ) .
3 2

(1)若函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上单调递增,求实数 a 的取值集合; (2)当 x ? [1, 3 ] 时, f ( x ) 的最小值为 4 ,求实数 a 的值.

3

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19.(本题满分 16 分) 已知 A ( 0 ,1 ) 、 B ( 0 , 2 ) 、 C ( 4 t , 2 t 2 ? 1)( t ? R ) ,⊙ M 是以 AC 为直径的圆,再以 M 为圆 心、BM 为半径作圆交 x 轴交于 D、E 两点. (1)若 ? C D E 的面积为 14,求此时⊙ M 的方程; (2)试问:是否存在一条平行于 x 轴的定直线与⊙ M 相切?若存在,求出此直线的方程; 若不存在,请说明理由; (3)求
BD BE ? BE BD

的最大值,并求此时 ? D B E 的大小.

20.(本题满分 16 分)
2 2 数列 { a n } 和 { b n } 的各项均为正数,且对于任意 n ? N * , a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? ( a 2013 ? a 2012 ) ,

bn ? a n ? 1 ,

(1)求

a 2011 ? a 2013 a 2012



a 2012 ? a 2014 a 2013

值;

(2)求证:数列 { a n } 为等差数列; (3)若数列 { b n } 为等比数列,求 a 2 ? a 1 的值.

4

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参考答案
一、填空题 题号 答案 题号 答案 二、解答题 15.(1) ta n 16.略.
A 2 ? 2 ; (2) 1 .
1 2

1
3 5

2 {-1,3,4} 9
(0, 5 0 3)

3
1 2

4
21

5
? 2

6
3 -

7
3

8 或 ?6

10
0

11 1或3

12
1 1 (e? ) 2 e

13
k ? 6 2

14 75

18. (1) {1} ; (2)
f '( x ) = 6 ( x - 1)( x - a )


5 3

(i)当 a≤1 时,f (x) 在区间[1,3]上是单调增函数,最小值为 f (1). 由于 f (1)=4,即 2 (ii)当 1 < a < 最小值.
3
3( a + 1) + 6 a = 4

.解得 a

=

. > 1 (舍去)

时,f (x)在区间(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故 f (a)为 f (a)=4,即 a 3 - 3 a 2 + 4 = 0 . 解得 a = - 1 (舍去) a = 2 . ,
5

学乐教育内部讲义
(iii)当 a≥3 时,f (x)在区间(1,a)上是减函数,f (3)为最小值. f (3)=4,即 5 4 综上所述, a 19. (1) M
2 7 ( a + 1) + 1 8 a = 4

.解得 a

=

23 9

< 3

(舍去) .

= 2


2

(2t, t )

,以 M 为圆心、BM 为半径的圆方程为 ( x
t
2
4

? 2t)

2

? (y ? t ) ? t
2

4

? 4



其交 x 轴的弦 D E ⊙ M 的方程为 ( x (2)∵ M A
?

? 2

? 4 ? t

4

? 4
2

, S ?CDE ;

?

1 2

D E ? (2t

2

? 1) ? 1 4

,? t ? ? 2 ,

? 4)
2

? ( y ? 4)
2

? 25
2

( 2 t ) ? (t

? 1)

2

? t

? 1 , yM ? t

2



∴存在一条平行于 x 轴的定直线 y ? ? 1 与⊙ M 相切; (3)在 ? BDE 中,设 ? DBE ? ? , S ? B D E ∴ BD
? BE ? 8 s in ?
2

?

1 2

B D ? B E ? s in ? ?

1 2

? 4? 2 ? 4



; BD 2
16

? BE

2

? 16 ? 2 ?

8 s in ?

? cos ?



∴ BD 2 ∴
BD BE

? BE

?

s in ?
2

cos ? ? 16
2


?
4

?

BE BD

=

BD

? BE

BD ? BE

? 2 s in ? ? 2 c o s ? ? 2

2 s in ( ? ?

), ? ? ( 0 ,

? ?
? 2 ?



故当 ?

?

?
4

时,

BD BE

?

BE BD

的最大值为 2

2



2 2 20. (1)∵ a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? ( a 2013 ? a 2012 )

? a 2012 ? a 2011 a 2013 ? ( a 2013 ? a 2012 ) ? ∴? , 2 2 ? a 2013 ? a 2012 a 2014 ? ( a 2013 ? a 2012 ) ?
2 2

∴?

? 2 a 2012 ? a 2011 ? a 2013 ? 2 a 2013 ? a 2014 ? a 2012
a 2011 ? a 2013 a 2012





? 2,

a 2012 ? a 2014 a 2013

? 2;

2 2 (2)∵ a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? ( a 2013 ? a 2012 ) ,①

2 2 ∴ a n ? 2 ? a n ? 1 a n ? 3 ? ( a 2013 ? a 2012 ) ,②

2 2 ①-②,得: a n ? 1 - a n ? 2 ? a n a n ? 2 - a n ? 1 a n ? 3 ,

∴ a n ?( a n ? 1 ? a n ? 3)?( a n ? a n ? 2) a n ? 2 1

6

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a n ?1 ? a n ? 3 a n?2 a n ? a n?2 a n ?1 ? a n ? a n?2 a n ?1 a n ? a n?2 a n ?1



∴数列{

}为常数列,由(1)知

? 2,

∴ a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? ? ? a 2 ? a 1 , ∴数列 { a n } 为等差数列; (3)∵ b n ? a n ? 1 ,且数列 { b n } 为等比数列,
2 ∴ b n ?1 ? b n ? 2 ? b n ,

2 ∴ ( a n ? 1 ? 1 ) ? ( a n ? 2 ? 1 ) ? ( a n ? 1 ),

2 ∴ a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 1 ? a n ? 2 a n ? a n ? 2 ? a n ? 1,

∴ a n ?1 ? a n ? 2 a n ? (
2

a n?2 ? a n 2

) ,∴ ( a n ? 2 ? a n )
2

2

? 0



∴ a n ? 2 ? a n ,∴ a n ? 1 ? a n ,∴ a 2 ? a 1 ? 0 .

7



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