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2013.4.28 春季高三数学精品小班辅导讲义 7


学乐教育内部讲义

学乐教育 2013 春季高三数学 VIP 辅导讲义
第七讲
1.已知复数 z ?

模拟题

一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分)

1? i 的虚部为 . 2?i 1 1 2 2.已知集合 A ? {x | ? }, B ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0, x ? Z } ,则 A ? B ? x 3
3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为 4.根据图中的伪代码,输出的结果 I 为 . .

.

5.已知等差数列 {an } 的公差为 d ,若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的方差为 8 ,则 d 的值为

.

6.如下图所示,在正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB ? 2, AA 1 ? 3 ,点 M , N 在棱 CC1 , BB 1 上,且

CM ? B1 N ,则四棱锥 A ? BCMN 的体积为
T ?1 I ?3

.

While I ? 20

T ?T ? I I ? I ?2

End While Print I (第 4 题图) (第 6 题图) (第 7 题图) . .

7.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(?, ? 为常数, ? ? 0) 的部分图像如图所示,则 f (? ) 的值为 8.已知两点 A(3, 2) 和 B(?1, 4) 到直线 l : mx ? y ? 3 ? 0 的距离相等,则实数 m 的值为

9.已知动圆 M 的圆心在抛物线 ? : x 2 ? 2012 y 上,且与直线 y ? ?503 相切,则动圆 M 过定 点 .

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 ) 的值为 ,则 f (2013 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
S3 n a 恒为常数,则 2 的值为 a1 Sn

.

11.已知各项均为正数的等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,若

.

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f ( x) ? ln x( x ? 1) 的图像上的动点,该图像在 点 P 处的切线 l 交 x 轴于点 M ,过点 P 作 l 的垂线交 x 轴于点 N ,设线段 MN 的中点的横坐 标为 t ,则 t 的最大值为 . 13.若不等式 x+ y≤ k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,则 k 的取值范围为
1



学乐教育内部讲义
14. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c , C ? 120 , a, b, c 为整数 , 且 13 ? a ? b , 若
?

a ? b ? c ? 5 ,则 ?ABC 的周长为
二、解答题(本题共 6 小题,共计 90 分) 15.(本题满分 14 分)

.

在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , ac sin B ? AB ? AC ? (1)求 tan

??? ? ????

1 bc . 5

A 的值;(2)若 a ? 2 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 2

16.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , AB / / CD ,

AD ? DC , E , F 分别为 BC, PA 的中点.
(1)求证: AD ? PC ;(2)求证: EF / / 平面 PCD .

(第 16 题图)

2

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17.(本题满分 14 分) 某公园有个池塘,其形状为直角 ?ABC , ?C ? 90 , AB ? 200 米, BC ? 100 米. (1)现在准备放养一批供游客观赏的鱼 ,分别在 AB, BC , CA 上取点 D, E, F ,如图(1),使得
?

EF / / AB, EF ? ED ,游客可以在 ?DEF 内喂食,求 ?DEF 面积 S 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘 ,分别在 AB, BC , CA 上 取点 D, E, F ,如图(2),建造 ?DEF 连廊(不考虑宽度) 供游客休憩,且使 ?DEF 为正三角形,求 ?DEF 边长
的最小值.

18.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? 2x ? 3(a ? 1) x ? 6ax(a ? R) . (1)若函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值集合;
3 2

(2)当 x ? [1,3] 时, f ( x ) 的最小值为 4 ,求实数 a 的值.

3

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19.(本题满分 16 分) 已知 A(0,1) 、 B(0, 2) 、 C (4t ,2t 2 ? 1)(t ? R) ,⊙ M 是以 AC 为直径的圆,再以 M 为圆 心、BM 为半径作圆交 x 轴交于 D、E 两点. (1)若 ?CDE 的面积为 14,求此时⊙ M 的方程; (2)试问:是否存在一条平行于 x 轴的定直线与⊙ M 相切?若存在,求出此直线的方程; 若不存在,请说明理由; (3)求

BD BE 的最大值,并求此时 ?DBE 的大小. ? BE BD

20.(本题满分 16 分)
2 2 数列 {an } 和 {bn } 的各项均为正数 , 且对于任意 n ? N * , an ?1 ? an an?2 ? (a2013 ? a2012 ) ,

bn ? an ? 1 , a ? a2013 a2012 ? a2014 (1)求 2011 及 值; a2012 a2013 (2)求证:数列 {an } 为等差数列; (3)若数列 {bn } 为等比数列,求 a2 ? a1 的值.

4

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参考答案
一、填空题 题号 答案 题号 答案 二、解答题 15.(1) tan 16.略. 1 2 {-1,3,4} 9 3 4 5 6 7

3 5
8

1 2
10

21
11 1或3

?2
12

3
13

- 3
14 75

1 或 ?6 2

(0,503)

0

1 1 (e ? ) k ? 6 2 e 2

A ? 2 ; (2) 1 . 2

18. (1) {1} ; (2) f '( x) = 6( x - 1)( x - a) . (i)当 a≤1 时,f (x) 在区间[1,3]上是单调增函数,最小值为 f (1).

5 . > 1 (舍去) 3 (ii)当 1 < a < 3 时,f (x)在区间(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故 f (a)为 最小值.
由于 f (1)=4,即 2 - 3( a + 1) + 6 a = 4 .解得 a = f (a)=4,即 a3 - 3a 2 + 4 = 0 . 解得 a = - 1 (舍去) ,a = 2.
5

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(iii)当 a≥3 时,f (x)在区间(1,a)上是减函数,f (3)为最小值. f (3)=4,即 54 - 27( a + 1) + 18 a = 4 .解得 a = 综上所述, a = 2 . 19. (1) M (2t , t 2 ) ,以 M 为圆心、BM 为半径的圆方程为 ( x ? 2t )2 ? ( y ? t 2 ) ? t 4 ? 4 , 其交 x 轴的弦 DE ? 2 t 4 ? 4 ? t 4 ? 4 , S?CDE ? ⊙ M 的方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 ; (2)∵ MA ? (2t )2 ? (t 2 ? 1)2 ? t 2 ? 1 , yM ? t 2 , ∴存在一条平行于 x 轴的定直线 y ? ?1 与⊙ M 相切; (3)在 ?BDE 中,设 ?DBE ? ? , S?BDE ? ∴ BD ? BE ?

23 . < 3 (舍去) 9

1 DE ? (2t 2 ? 1) ? 14 ,? t ? ?2 , 2

1 1 BD ? BE ? sin ? ? ? 4 ? 2 ? 4 , 2 2

8 8 ; BD2 ? BE 2 ? 16 ? 2 ? ? cos ? , sin ? sin ? 16 cos ? ? 16 , sin ?

∴ BD2 ? BE 2 ? ∴

? ?? BD BE BD 2 ? BE 2 ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 2 sin(? ? ), ? ? (0, ? , = ? BD ? BE 4 2? BE BD

故当 ? ?

?
4

时,

BD BE 的最大值为 2 2 . ? BE BD

2 2 20. (1)∵ an ?1 ? an an?2 ? (a2013 ? a2012 )
2 2 ? ?a 2012 ? a 2011 a 2013 ? (a2013 ? a 2012 ) ∴? 2 , 2 ? ?a 2013 ? a 2012 a 2014 ? (a 2013 ? a 2012 )

∴?

?2a 2012 ? a 2011 ? a 2013 ?2a 2013 ? a 2014 ? a 2012





a2011 ? a2013 a ? a2014 ? 2 , 2012 ? 2; a2012 a2013

2 2 (2)∵ an ?1 ? an an?2 ? (a2013 ? a2012 ) ,① 2 2 ∴ an ? 2 ? an?1an?3 ? (a2013 ? a2012 ) ,② 2 2 ①-②,得: an ?1 - an? 2 ? an an? 2 - an?1an?3 ,

∴ an? ( ? (an ? an?2)an?2 1 an?1 ? an?3)

6

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an?1 ? an?3 an ? an? 2 , ? an? 2 an?1 an ? an? 2 a ? an? 2 }为常数列,由(1)知 n ? 2, an?1 an?1

∴数列{

∴ an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? ? ? a2 ? a1 , ∴数列 {an } 为等差数列; (3)∵ bn ? an ? 1 ,且数列 {bn } 为等比数列,
2 ∴ bn ?1 ? bn?2 ? bn ,

∴ (an?1 ? 1) 2 ? (an?2 ? 1) ? (an ? 1),
2 ∴ an , ?1 ? 2an?1 ? 1 ? an?2 an ? an?2 ? an ? 1

∴ a n ?1 ? a n ? 2 a n ? (
2

an? 2 ? an 2 ) ,∴ (an?2 ? an ) 2 ? 0 , 2

∴ an? 2 ? an ,∴ an?1 ? an ,∴ a2 ? a1 ? 0 .

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