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③空间点、线、面之间的位置关系课后限时作业



课后限时作业(五十二)
(60 分钟,150 分) (详解为教师用书独有) A组 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1.若点 Q 在直线 b 上,b 在平面β 内,则 Q、b、β 之间的关系可写作 ( ) A.Q∈b∈β B.Q∈b ? β C.Q ? b ? β D.Q ? b∈β 解析:直线与平面均视为点的集合. 答案:B 2.下列四个

命题中,真命题的个数为 ( ) (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则 M∈l; (4)空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:命题(1) (4)错误,只有(3)是真命题. (2) 答案:A 3.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若两条直线异面,则两条直线无公共点;反之,若两条直线无公共点,两直线未必异 面(还可能平行). 答案:A 4.一个正方体的六个面把空间分成 ( ) A.3 个部分 B.9 个部分 C.18 个部分 D.27 个部分 解析:上下两面把空间分成三层,而每一层被分为 9 个部分,共 27 个部分. 答案:D 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AD 的中点,则异面直线 C1E 与 BC 所成的角的余弦 值是 A. ( )

10 5

B.

10 10

C.

1 3

D.

2 2 3
1 . 3

解析:由于 AD∥BC,连结 C1D,在 Rt△DEC1 中,cos∠DEC1 为所求角的余弦值,为 答案:C 6.下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,

①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是 ( ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 解析:①BM 与 ED 异面;②CN 与 BE 是平行直线;③CN 与 BM 是面对角线,成 60°角; ④DM 是面对角线,BN 是体对角线,成 90°. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 7.若点 A∈平面α ,点 B ? 平面α ,则直线 AB 与平面α 内的直线的位置关系可能是 . 解析:当平面α 内的直线过点 A 时,AB 与它相交.当平面α 内的直线不过点 A 时,AB 与它 异面. 答案:相交或异面 8.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论:

①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为 .(注:把你认为正确的结论的序号都填上)

解析:直线 AM 与 CC1 是异面直线,直线 AM 与 BN 也是异面直线,故①②错误. 答案:③④ 9.在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,过对角线 BD′的一个平面交 AA′于 E,交 CC′于 F,则

①四边形 BFD′E 一定是平行四边形; ②四边形 BFD′E 有可能是正方形; ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④平面 BFD′E 有可能垂直于平面 BB′D. 以上结论正确的为 . (写出所有正确结论的编号)

解析:由平行平面的性质可得①;当 E、F 为棱中点时,四边形为菱形,但不可能为正方形; ③④显然正确. 答案:①③④ 10.已知 a、b 为不垂直的两条异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在α 上的射影有可能是: ①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及直线外一点.在上 面的结论中,正确结论的编号是 .(写出所有正确结论的编号) 解析:当 a、b 在平面α 上的射影为同一条直线时,必有 a∥b 或 a 与 b 相交,这与 a 与 b 为 不垂直的异面直线相矛盾,故③错误. 答案:①②④ 三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 11.如图,已知 E、F、G、H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、BC、CC1、C1D1 的 中点,证明:EF、HG、DC 三线共点.

1 证明:易证:HE∥BC1,GF∥BC1,且 HE=BC1,GF= BC1. 2 1 则 HE∥GF,且 GF= HE. 2 由此,E、F、G、H 四点共面,并且 HG 交 EF 交于一点,设为点 K. 则点 K 既在面 C1D 中,也在面 AC 中,则点 K 一定在两面交线 DC 上, 则 EF、HG、DC 三线共点于 K. 12.如图所示正方体 ABCD-A1B1C1D1.

(1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小; (2)若 E、F 分别是 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. 解:(1)如图,连结 AC、AB1,由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,知 AA1C1C 为平行四边形, 所以 AC∥A1C1,从而 B1C 与 AC 所成的锐角或直角∠B1CA 就是 A1C1 与 B1C 所成的角.

由 AB1=AC=B1C 可知,∠B1CA=60° , 即 A1C1 与 B1C 所成的角为 60° . (2)如图,连结 AC、BD,由 AA1∥CC1,且 AA1=CC1, 可知 A1ACC1 是平行四边形,

因此 AC∥A1C1, 则 AC 与 EF 所成的锐角或直角就是 A1C1 与 EF 所成的角. 因为 EF 是△ABD 的中位线, 所以 EF∥BD. 又因为 AC⊥BD,所以 EF⊥AC,即所求角为 90° . B组 一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 1.若 P 为两条异面直线 l,m 外的任意一点,则 ( ) A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 解析:异面直线 l,m 平移成相交直线,确定一个平面,过平面外一点只能作一条直线与平 面垂直,垂直平面即垂直于直线 l,m. 答案:B 2.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 有两个动点 E,F,且 EF= 则下列结论中错误的是 (

2 , 2
)

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 解析:AC⊥平面 BDD1B1,BE ? 平面 BDD1B1,则 AC⊥BE;EF∥BD,EF ? 平面 ABCD, 则 EF∥平面 ABCD;三棱锥 A-BEF 以△BEF 为底面,面积不变为 S= 高 h=

1 EF·BB1,其棱锥 2

1 AC 不变,由体积公式知三棱锥 A-BEF 的体积为定值.选D. 2

答案:D 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 3.空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC 和 BD 的长分别为 6 和 4,它们所成的角为 90°,则 四边形两组对边中点的距离等于 . 解析:连结两组对边中点,构成直角三角形.由三角形中位线定理得,两直角边长分别为 3 和 2,解得对边中点的距离为 32 ? 22 ? 13 . 答案: 13

4.空间四边形 ABCD 中,各边长均为 1,若 BD=1,则 AC 的取值范围是 . 解析:如图①所示,△ABD 与△BCD 均为边长为 1 的正三角形,当△ABD 与△CBD 重合 时,AC=0;将△ABD 以 BD 为轴转动,到 A,B,C,D 四点再共面时,AC= 3 ,如图 ②.故 AC 的取值范围是 0<AC< 3 .

答案: 0, 3

?

?

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 14 分,共 28 分) 5.如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 上的点,请回 答下列问题: (1)满足什么条件时,四边形 EFGH 为平行四边形? (2)满足什么条件时,四边形 EFGH 为矩形? (3)满足什么条件时,四边形 EFGH 为正方形?

解: (1)当 E,F,G,H 分别为所在边的中点时,四边形 EFGH 为平行四边形,证明如下: 因为 E,H 分别是 AB,AD 的中点,

(2)当 E,F,G,H 分别为所在边的中点且 BD⊥AC 时, 四边形 EFGH 为矩形. (3)当 E,F,G,H 分别为所在边的中点且 BD⊥AC,AC=BD 时, 四边形 EFGH 为正方形.

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?



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