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对数和对数函数练习题(答案)



对数与对数函数专题
一、选择题: 1.
log8 9 的值是( log2 3



A.

2 3

B.1

C.

3 2

D.2 )

2.若 log2 [log1 (log2 x)] ? l

og3[log1 (log3 y)] ? log5 [log1 (log5 z)]=0,则 x、y、z 的大小关系是(
2 3 5

A.z<x<y B.x<y<z

C.y<z<x D.z<y<x
3 2

3.已知 x= 2 +1,则 log4(x3-x-6)等于( )A. 4.已知 lg2=a,lg3=b,则 D.
a ? 2b 1? a ? b

B.
2a ? b 1? a ? b

5 4

C.0 B.

D.

1 2

lg 12 等于( lg 15

)A.

a ? 2b C 1? a ? b



2a ? b 1? a ? b

5.已知 2 lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 (
y

)A.1

B.4

C.1 或 4

D.4 或

6.函数 y= log 1 (2 x ? 1) 的定义域为(
2

)A.( ,+∞)

1 2

B. [1,+∞ ) C.(

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1) 7.已知函数 y=log 1 (ax2+2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是(
2



A.a > 1

B.0≤a< 1 )A.e5
y x O x

C.0<a<1 B.5e C.ln5 )
x

D.0≤a≤1 D.log5e

8.已知 f(ex)=x,则 f(5)等于(
y O x O y

9.若 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1), 且f ?1 (2) ? 1, 则f ( x) 的图像是(
y O

A

B

C

D


10.若 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. [2 ? 2 3, 2]
? B. ? ? 2 ? 2 3, 2 ? C. ? 2 ? 2 3, 2 ? D. ? 2 ? 2 3, 2 ?

1

11.设集合 A ? {x | x 2 ? 1 ? 0}, B ? {x | log2 x ? 0 |}, 则A ? B 等于( A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} 12.函数 y ? ln
y?



C. {x | x ? ?1} D. {x | x ? ?1或x ? 1} ( )

x ?1 , x ? (1,?? ) 的反函数为 x ?1

A

ex ?1 ex ?1 ex ?1 ex ?1 , x ? ( 0 , ?? ) y ? , x ? ( 0 , ?? ) y ? , x ? ( ?? , 0 ) y ? , x ? (??,0) B . C . D . ex ?1 ex ?1 ex ?1 ex ?1

二、填空题: 13.计算:log2.56.25+lg
1 +ln e + 21?log2 3 = 100

. . . .

14.函数 y=log4(x-1)2(x<1=的反函数为 15.已知 m>1,试比较(lgm)0.9 与(lgm)0.8 的大小
4 4

16.函数 y =(log 1 x)2-log 1 x2+5 在 2≤x≤4 时的值域为 三、解答题:

17.已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

18.已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值 范围.

19.已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数

a 的值,并求此时 f(x)的最小值?
2

20.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小。

21.已知函数 f(x)=loga(a-ax)且 a>1, (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在 其定义域上的单调性; (3)证明函数图象关于 y=x 对称。

22.在对数函数 y=log2x 的图象上(如图),有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 a、a +1、a+2,其中 a≥1,求△ABC 面积的最大值.

3

参考答案 一、选择题: ADBCB CDCBA AB 二、填空题:13. 三、解答题: 17.解析: 先求函数定义域: 由 2-ax>0, 得 ax<2, 又 a 是对数的底数, ∴a>0 且 a≠1, ∴x<
2 a 2 a 25 13 ,14.y=1-2x(x∈R), 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8,16. ? y ? 8 2 4

由递减区间[0,1]应在定义域内可得 >1,∴a<2,又 2-ax 在 x∈[0,1]是减函数 ∴y=loga(2-ax)在区间[0,1]也是减函数,由复合函数单调性可知:a>1,∴1<a<2 18、解:依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立.当 a2-1≠0 时,其充要 条件是:
2 ? 5 ?a ? 1 ? 0 解得 a<-1 或 a> 又 a=-1,f(x)=0 满足题意,a=1,不合题 ? 2 2 3, ? ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0

意. 所以 a 的取值范围是:(-∞,-1]∪( ,+∞) 19、 解析: 由 f(-1)=-2 , 得: f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2, 解之 lga-lgb=1, ∴ =10,
a b
5 3

a=10b.
又由 x∈R,f(x)≥2x 恒成立.知:x2+(lga+2)x+lgb≥2x,即 x2+xlga+lgb≥0,对

x∈R 恒成立,
由 Δ=lg2a-4lgb≤0,整理得(1+lgb)2-4lgb≤0,即(lgb-1)2≤0,只有 lgb=1,不等式 成立. 即 b=10,∴a=100.∴f(x)=x2+4x+1=(2+x)2-3,当 x=-2 时,f(x) min=-3. 20.解法一:作差法 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|
lg(1 ? x) lg(1 ? x ) 1 |-| |= (|lg(1-x)|-|lg(1+x)|) | lg a | lg a lg a
4

∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x ∴上式=-
1 1 [(lg(1-x)+lg(1+x)]=- ·lg(1-x2) | lg a | | lg a | 1 ·lg(1-x2)>0, | lg a |

由 0<x<1,得,lg(1-x2)<0,∴- ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法二:作商法
| loga (1 ? x) | =|log(1-x)(1+x)| | loga (1 ? x) |

∵0<x<1,∴0<1-x<1+x,∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 1 由 0<x<1,∴1+x>1,0<1-x2<1 ∴0<(1-x)(1+x)<1,∴ ∴0<log(1-x)
1 >1-x>0 1? x

1? x

1 <log(1-x)(1-x)=1 1? x

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法三:平方后比较大小 ∵loga2(1-x)-loga2(1+x)=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)] =loga(1-x2)·loga 1 ? x =
1? x 1? x 1 ·lg(1-x2)·lg 2 1? x | lg a | 1? x 1? x <1∴lg(1-x2)<0,lg <0 1? x 1? x

∵0<x<1,∴0<1-x2<1,0<

∴loga2(1-x)>loga2(1+x),即|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法四:分类讨论去掉绝对值 当 a>1 时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2) ∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x2<1 ∴loga(1-x2)<0,∴-loga(1-x2)>0 当 0<a<1 时,由 0<x<1,则有 loga(1-x)>0,loga(1+x)<0
5

∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x2)>0 ∴当 a>0 且 a≠1 时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 21.解析:(1)定义域为(-∞,1),值域为(-∞,1) (2)设 1>x2>x1∵a>1,∴ a x ? a x ,于是 a- a x <a- a x
2 1
2

1

则 loga(a-a a x )<loga(a- a x )
2 1

即 f(x2)<f(x1) ∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数 (3)证明:令 y=loga(a-ax)(x<1),则 a-ax=ay,x=loga(a-ay) ∴f-1(x)=loga(a-ax)(x<1) 故 f(x)的反函数是其自身,得函数 f(x)=loga(a-ax)(x<1=图象关于 y=x 对称. 22.解析:根据已知条件,A、B、C 三点坐标分别为(a,log2a),(a+1,log2(a+1)),(a+2, log2(a+2)),则△ABC 的面积 S=
[log 2 a ? log 2 ( a ? 1)] [log 2 ( a ? 1) ? log 2 ( a ? 2)] ? ? [log 2 a ? log 2 ( a ? 2)] 2 2

(a ? 1) 2 1 a(a ? 2)(a ? 1) 2 1 ? log2 ? log 2 2 a(a ? 2) 2 [a(a ? 2)]2
?
1 1 a 2 ? 2a ? 1 1 ? log 2 (1 ? 2 ) log2 2 2 a ? 2a 2 a ? 2a

因为 a ? 1 ,所以 S max ? log 2 (1 ? ) ? log 2

1 2

1 3

1 2

4 3

6



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