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[新人教版]2012中考数学二轮复习18 一次函数


中考复习 18 一次函数
知识考点: 1、掌握一次函数的概念及图像; 2、掌握一次函数的性质,并能求解有关实际问题; 3、会用待定系数法求一次函数的解析式。 精典例题: 【例 1】已知直线 y = kx + b ( k ≠0)与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴上,下列结论: ① k >0, b >0;② k >0, b <0;③ k <0, b >0;④ k <0, b <0,其中正确结论的 个数为( ) A、1 B、2 C、3 D、4 解:根据题意知,直线 y = kx + b ( k ≠0)的图像可以如图 1,这时 k >0, b <0; 也可以如图 2,这时 k <0, b >0。故选 B。

y

y

y B′
O B A

O

x

O

x

x

例1图1

例1图2

例2图

评注:本题关键是掌握一次函数 y = kx + b 中的系数 k 、 b 与图像性质之间的关系。 ,与 x 轴相交于点 B,且 tan∠OAB= 【例 2】一直线与 y 轴相交于点 A(0,-2)

1 , 3

求这条直线的解析式。 分析:欲求直线的解析式,需要两个独立的条件建立关于 k 、 b 的方程组,结合题目 条件,本题要分两种情况讨论,如上图所示。

答案: y = 3 x ? 2 或 y = ?3 x ? 2
【例 3】如下图,已知直线 y = kx + b 与 y = mx + n 交于点 P(1,4) ,它们分别与 x 轴交于 A、B,PA=PB,PB= 2 5 。 (1)求两个函数的解析式; (2)若 BP 交 y 轴于点 C,求四边形 PCOA 的面积。

解析:
1

(1)作 PH⊥AO,则 PH=4,OH=1,BH= ( 2 5 ) ? 4 = 2
2 2

∴ B ( - 1 , 0 ) 设 A ( a , 0 ) 则 AH = a ? 1 , AP = AB = a + 1 , 。 ,

(a + 1) 2 = (a ? 1) 2 + 4 2 ,解得 a = 4 。∴A(4,0) ,故直线 PB: y = 2 x + 2 ;直线 AP:
4 16 y =? x+ 。 3 3
(2) S四边形PCOA = S ?ABP ? S ?OBC = 9 评注:灵活运用勾股定理等几何知识求线段长,进而求点的坐标,是解函数题的常用 方法。

y
B
P C B O H A

y
B

y
N M O C A

x

O

C

A

x

x

例3图

问题一图

问题一解析图

探索与创新:
【问题一】如上图,已知直线 y = ? x + 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、B,另一直线

y = kx + b ( k ≠0)经过点 C(1,0) ,且把△AOB 分成两部分。
(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等,求经过 C 的直线解析式; (2)若△AOB 被分成的两部分面积比为 1∶5,求经过 C 的直线解析式。

解析: (1)如上图,过 B(0,2) ,C(1,0)的直线解析式为 y = ?2 x + 2 ;
(2)设 y = kx + b 与 OB 交于 M(0, h ) ,分△AOB 面积为 1∶5 得:

1 1 1 1 S ?OAB ,则 × 1 × h = × × 2 × 2 6 2 6 2 2 2 解得 h = ,所以 M(0, ) 3 3 2 2 经过点 M 作直线 MN∥OA 交 AB 于 N( a , ) ,则 S ?OMC = S ?CAN ,因 N( a , ) 3 3 4 4 2 在直线 y = ? x + 2 上,所以 a = ,故 N( , ) 3 3 3 3 2 ∴直线 CM: y = ? x + ,直线 CN: y = 2 x ? 2 2 3
S ?OMC =
评注:本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。
2

【问题二】某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量 - 服用后,那么服药后 2 小时血液中含药量最高,达每毫升 6 微克, 微克=10 3 毫克) (1 , 接着逐步衰减,10 小时时血液中含量为每毫升 3 微克,每毫升血液中含药量 y (微克)随 时间 x (小时)的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后: (1)分别求出 x ≤2 和 x ≥2 时 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如果每毫升血液中含药量为 4 微克或 4 微克以上时,在治疗疾病时是有效的, 那么这个有效的时间是多长?

y (微千)

解析: (1)设 x ≤2 时, y = kx ,把坐标(2,6) 6 代入得: y = 3 x ;设 x ≥2 时, y = k ′x + b ,把坐标 (2,6)(10,3)代入得: y = ? ,
3

O 2 10 x (小小) 3 27 x+ 。 问题二图 8 4 3 27 (2)把 y = 4 代入 y = 3 x 与 y = ? x + 中 8 4 4 22 22 4 得: x1 = , x 2 = ,则 t = x 2 ? x1 = ? = 6 (小时) ,因此这个有效时间为 6 小 3 3 3 3

时。 评注:本题是一道一次函数与医药学综合的题目,解题的关键是要将函数图像抽象成 解析式,然后结合函数的知识求解。本题趣味性强,能从中了解医药的一些知识。 跟踪训练: 一、选择题: 1、若函数 y = ? x ? b 2 与 y = 2 x + 4 的图像交于 x 轴上一点 A,且与 y 轴分别交于 B、C 两点,则△ABC 的面积积为( A、6 B、 4 + )

2

C、 4 ? 2

D、2

2、已知 M(3,2) ,N(1,-1) ,点 P 在 y 轴上,且 PM+PN 最短,则点 P 的坐标是( ) A、 (0,

1 ) 2

B、 (0,0)

C、 (0,

11 ) 6

D、 (0, ?

1 ) 4


3、若一次函数 y = (1 ? 2k ) x ? k 的图像不经过第二象限,则 k 的取值范围是( A、 k <

1 2

B、0< k <

1 2

C、0≤ k <

1 2

D、 k <0 或 k >

1 2


4、直线 y = kx + b 经过点 A(-1, m )与点 B( m ,1) ,其中 m >1,则必有(

A、 k >0, b >0 B、 k >0, b <0 C、 k <0, b >0 D、 k <0, b <0 5、小李以每千克 0.80 元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售了部 分西瓜后余下的每千克降价 0.40 元,全部售完。销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如
3

图所示,那么小李赚( ) A、32 元 B、36 元 二、填空题: 1、若

C、38 元

D、44 元

a b c 1 = = = ,则直线 y = px + p 一定经过第 b + c a + c a +b 2p

象限。

,B(3,0) ,若将该图像沿着 x 轴向左平 2、一次函数 y = kx + b 的图像经过点 A(0,1) 移 4 个单位,则此图像沿 y 轴向下平移了 单位。

3、如图,已知直线 PA: y = x + 1 交 y 轴于 Q,直线 PB: y = ?2 x + m 。若四边形 PQOB 的面积为

5 ,则 m = 6



金金(元) 76 64

y

Q P

y(千千/小小)



A O B

) O 4 10 25

O

40 质质(千千)

x

x(小小)

选择第 5 题图

填空第 3 题图

填空第 4 题图

4、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程,开始时风速平均每小时增加 2 千米,4 小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加 4 千米,一段时间 风速保持不变, 。当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少 1 千米,最终停 止。结合风速与时间的图像填空: ①在 y 轴( )内填入相应的数值; ②沙尘暴从发生到结束共经过 小时; ③当 x ≥25 时,风速 y (千米/小时)与时间 x (小时)之间的函数关系式是 。

三、解答题: 1、一位投资者有两种选择:①中国银行发行五年期国债,年利率为 2.63%。②中国 人寿保险公司涪陵分公司推出的一种保险―鸿泰分红保险, 投资者一次性交保费 10000 元(10 份) ,保险期为 5 年,5 年后可得本息和 10486.60 元,一般还可再分得一些红利, , 但分红的金额不固定,有时可能多,有时可能少。 (1)写出购买国债的金额 x (元)与 5 年后银行支付的本息和 y1 (元)的函数关系 式; (2)求鸿泰分红保险的年利率,并写出支付保费 x (元)与 5 年后保险公司还付的 本息和 y 2 (元)的函数关系式(红利除外) ; (3)请你帮助投资者分析两种投资的利弊。
4

2、如图,已知一次函数 y =

1 x + 1 的图像与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点,点 C、 3

D 都在 x 轴的正半轴上,D 点坐标为(2,0) ,若两钝角∠ABD=∠BCD。 (1)求直线 BC 的解析式; (2)若 P 是直线 BD 上一点,且 S ?CDP =

y
B
C

y
P

1 S ?CDB ,求 P 点坐标。 2 y l
B R P

A

O

C

D

x

A

O

B

T

x

O

Q

A

x

第 2 题图
3、如图,直线 y =

第 3 题图

第 4 题图

1 x + 2 分别交 x 轴、 y 轴于 A、C,P 是该直线上在第一象限内 2

的一点,PB⊥ x 轴于 B, S ?ABP = 9 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设点 R 与点 P 在同一反比例函数的图像上,且点 R 在直线 PB 的右侧,作 RT⊥ x 轴于 T,当以 B、R、T 为顶点的三角形与△AOC 相似时,求点 R 的坐标。 4、如图,直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,且 OA、OB 的长是方 程 x ? 14 x + 4( AB + 2) = 0 的两个根(OB>OA) 为直线 l 上 A、B 两点之间的一动点 ,P
2

(不与 A、B 重合) ,PQ∥OB 交 OA 于点 Q。 (1)求 tan∠BAO 的值; (2)若 S ?PAQ =

1 S 时,请确定点 P 在 AB 上的位置,并求出线段 PQ 的长。 3 四边形OQPB

(3)在 y 轴上是否存在点 M,使△MPQ 为等腰直角三角形。若存在,请直接写出点 M 的坐标,若不存在,请说明理由。

参考答案
一、选择题:ADCCB 二、填空题: 1、二、三象限;2、 三、解答题: 1、 (1) y1 = (1 + 5 × 2.63%) x ; (2) y 2 = (1 + 5 × 0.97%) x ; (3)各有利有弊,当保险分红大于 828.40 元时,买保险有利,但分红只是预测,
5

4 ;3、2;4、①8,32;②57;③ y = ? x + 57 (25≤ x ≤57) 3

不能保证。 2、 (1) y = ? x + 1 ; (2)P(1,

1 1 )或(3, ? ) 2 2

3、 (1)P(2,3)(2)B(3,2)或( 1 + 13 , ; 4、 (1)tan∠BAO=

13 ? 1 ) 2

4 24 12 ; (2)PQ=4; (3)存在,M(0,0)或(0, )或(0, ) 3 7 5

6



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